二阶常系数齐次线性微分方程ppt课件.ppt

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第五节 二阶常系数齐次线性微分方程,一、定义二、线性微分方程的解的结构三、二阶常系数齐次线性方程的解法四、n阶常系数齐次线性方程解法五、小结,一、定义,二阶常系数齐次线性方程,二阶常系数非齐次线性方程,其中 p 、q 为常数,二、线性微分方程的解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,问题:,例如,三、二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,将其代入方程, 得,故有,特征方程,特征根,特征根, 有两个相等的实根,一特解为,得齐次方程的通解为, 有两个不相等的实根,两个线性无关的特解,得齐次方程的通解为, 有一对共轭复根,由欧拉公式,重新组合,得齐次方程的通解为,定义,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,解,特征方程为,解得特征根,故所求通解为,例1,解,特征方程为,解得特征根,故所求通解为,例2,四、n阶常系数齐次线性方程解法,特征方程为,注意,n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.,特征根为,故所求通解为,解,特征方程为,例3,五、小结,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,(见下表),练 习 题,练习题答案,