高等数学第07章：定积分的几何应用课件.ppt

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1、一、定积分的微元法二、用定积分求平面图形的面积、在直角坐标系中求平面图形的面积 、在极坐标系下求平面图形的面积 三、用定积分求体积、旋转体的体积四、平面曲线的弧长,第一节 定积分的几何应用,第一节 定积分的几何应用,微元法是运用定积分解决实际问题的常用方法. 定积分所要解决的问题是求非均匀分布的整体量（如:曲边梯形面积). 采用“分割取近似,求和取极限”的四个步骤,通过 分割将整体问题化为局部问题,以均匀代替非均匀（或以直代曲)求得近似值,再通过求和取极限得到精确值. 其中第二步是关键. 下面先回顾求曲边梯形面积的四个步骤,一、 定积分的微元法,一、 定积分的微元法,确定各部分量的近似值(小矩

2、形面积);,分割区间a,b,将所求量(曲边梯形面积 ) 分为部分量(小曲边梯形面积 ）之和;,求曲边梯形面积的四个步骤:,求和得所求量的近似值（各小矩形面积之和);,对和式取极限得所求量的精确值（曲边梯形面积）.,确定各部分量的近似值(小矩形面积); 分割区间a,b,于是面积就是将这些微元在区间上的“无限累加”, 即从 到 的定积分.这个方法通常称为 微元分析法,简称微元法.,其中形式 与积分式中的被积式 具有相同的形式.如果把 用 替代, 用 替代, 这样上述四个步骤简化为两步：,第二步找到面积微元 求定积分.,第一步选取积分变量 并确定其范围 ；,于是面积就是将这些微元在区间上的“无限累加

3、”, 即从 到,概括可得：凡是具有可加性连续分布的非均匀量的求和问题, 一般可通过微元法得到解决操作步骤： 建立坐标系,选取积分变量并确定积分区间； 找到相应的微元； 以此微元作积分表达式,在积分区间上求定积分.微元法在自然科学研究和生产实践中有着广泛的应用,概括可得：凡是具有可加性连续分布的非均匀量的求和问题, 一般,由微元法分析： 其中面积微元为 ， 它表示高为 、底为 的一个矩形面积.,、在直角坐标系中求平面图形的面积 由定积分几何意义可知,当 时,由曲线 ，直线 与 轴所围成的曲边梯形的面积 为定积分即,二、用定积分求平面图形的面积,由微元法分析： 、在直角坐标系中求平面图形的面积 二

4、、用,由定积分几何意义可知,当 时,由曲线 ，直线 与 轴所围成的曲边梯形的面积A为 .,当 在区间 上的值有正有负时，则曲线 ，直线 与 轴围成的面积是在 轴上方和下方曲边梯形面积的差. 同样可由微元法分析,由定积分几何意义可知,当 时,由曲线,其中面积微元为., 一般地，根据微元法由曲线 及直线 所围的图形（如图所示）的面积为,注意：曲线 的上下位置,其中面积微元为. 一般地，根据微元法由曲线 注意：曲线,由微元法分析： (1)在区间 上任取小区间 ,在此小区间上的图形面积近似于高为 ,底为 的小矩形面积,从而得面积微元为,(2)以 为被积表达式,在区间 作定积分就是所求图形的面积.,由微

5、元法分析：(2)以 为被积表达,类似地,由曲线 及直线 所围成的平面图形(如图所示)的面积为,其中面积微元,注意：曲线 的左右位置.,类似地,由曲线,利用微元法求面积： 例1 计算由两条抛物线 所围成图形的面积,解:作出图形，确定积分变量 ， 解方程组 得两条抛物线的交点为 (0,0)和(1,1)， 则积分区间为0,1 （如右图所示）,利用微元法求面积： 解:作出图形，确定积分变量 ，,在积分区间0,1上任取一小区间 ， 与之相应的窄条的面积近似地等于高为 、 底为 的矩形面积（如上页图中阴影部分的面积）, 从而得面积微元,求定积分得所求图形面积为,在积分区间0,1上任取一小区间,解:(方法一

6、) (1) 作图，选定 为积分变量， 解方程组 得两曲线的交点为(1,1)， 可知积分区间为0,1. （如右图所示）,例:求曲线 与 轴围成平面图形的面积,解:(方法一) (1) 作图，选定 为积分变量， 例,(2)在区间0,1上任取小区间 ，对应的 窄条面积近似于高为 底为 的矩形面积，从而面积微元为,（3）所求图形的面积为,(2)在区间0,1上任取小区间 ，,在0,1上的微元为 在1,2上的微元为,解:(方法二)若选取 作为积分变量，容易得出积分区间为0,2，但要注意，面积微元在0,1和1,2两部分区间上的表达式不同（如下图所示）,在0,1上的微元为 解:(方法二,故所求面积为,这种解法比

7、较繁琐，因此，选取适当的积分变量，可使问题简化,故所求面积为 这种解法比较繁琐，因此，选取适当的积分变量，,另外，还应注意利用图形的特点（如对称性），以简化分析、运算,解 由右图所示 选取 为积分变量， 记第一象限内阴影 部分的面积为 ， 利用函数图形的对称性，,例3 求 与半圆 所围图形的面积,另外，还应注意利用图形的特点（如对称性），以简化分析、运算,可得图形的面积为:,可得图形的面积为:,步骤：作草图，确定积分变量和积分限；求出面积微元；计算定积分注意：积分变量选取要适当；合理利用图形的特点（如对称性）.,步骤：,即曲边扇形的面积微元为 曲边扇形的面积为,、在极坐标系下求平面图形的面积

8、计算由曲线 及射线 围成的曲边扇形的面积（如下图所示）,利用微元法，取极角 为积分变量，它的变化区间为 .在任意小区间 上相应的小曲边扇形的面积可用半径为 中心角为 的圆扇形的面积近似代替，,即曲边扇形的面积微元为 、在极坐标系下求平面图形的面积,解: 取 为积分变量, 面积微元为 于是,例 计算阿基米德螺线 上对应 于 从变到 的一段 曲线与极轴所围成图形的 面积.（右图所示）,解: 取 为积分变量, 例 计算阿基米德螺线,例5 计算双纽线 所围成的平面图形的面积（下图所示）,解因 ,故 的变化范围是 , 图形关于极点和极轴均对称 面积微元为,例5 计算双纽线 解因,故所求面积为,故所求面积

9、为,设一立体介于过点 且垂直于 轴的两平面之间，如果立体过 且垂直于 轴的截面面积 为 的已知 连续函数，则称此立体为 平行截面面积已知的立体， 如右图所示,、平行截面面积已知的立体体积,下面利用微元法计算它的体积,三、用定积分求体积,、平行截面面积已知的立体体积下面利用微元法计算它的体积,于是所求立体的体积为,即体积微元为,取 为积分变量,它的变化区间为 ,立体中相应于 上任一小区间 的薄片的体积近似等于底面积为 ,高为 的扁柱体的体积(右图所示)，,于是所求立体的体积为 即体积微元为 取 为积分变量,解：(法一) 取平面与圆柱体底面的交线为 轴,底 面上过圆中心且垂直于 轴的直线为 轴,建

10、立 坐标系.如右图所示 此时,底圆的方程为 立体中过点 且 垂直于 轴的截面 是一个直角三角形.,例6 一平面经过半径为 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角 (如下图)，计算这个平面截圆柱所得立体的体积.,解：(法一) 取平面与圆柱体底面的交线为 轴,底,它的两条直角边的长度分别是 及即 及 于是截面面积为,故所求立体的体积为,它的两条直角边的长度分别是 及故所求立体的体积为,(法二) 取坐标系同上（下图所示），过 轴上点 作垂直于 轴的截面,则截得矩形, 其高为 、底为 ,从而截面面积为,(法二) 取坐标系同上（下图所示），过 轴上点 作垂,于是所求立体的体积为,于是所求立体的体积为,从而,

11、所求的体积为,、旋转体的体积 应用定积分计算由曲线 直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而形成的 立体体积（下图所示）,取 为积分变量,其变化区间为 ,由于过点 且垂直于 轴的平面截得旋转体的截面是半径为 的圆,其面积为,从而,所求的体积为 、旋转体的体积 取 为积分变量,该旋转体的体积为,类似地,若旋转体是由连续曲线 ,直线 及 轴所围成的图形,绕 轴旋转一周而成(下图所示),该旋转体的体积为类似地,若旋转体是由连续曲线,解： 如右图所示,所求体积,例 求由曲线 与直线 及 轴所围成的图形绕 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.,解： 如右图所示,所求体积 例 求由曲线,例8 求底圆半径为

12、 高为 的圆锥体的体积,解 以圆锥体的轴线为 轴，顶点为原点建立直角坐标系（下图所示） 过原点及点 的直线方程为 此圆锥 可看成由直线 及 轴所围成的 三角形绕 轴旋转而成，,例8 求底圆半径为 高为 的圆锥体的体积 解 以圆,故其体积为,故其体积为,设有一条光滑曲线弧 ,现在计算它的长度（称为弧长） ,所谓光滑曲线是指曲线 在 上连续，在 内各点存在不垂直于 轴的切线， 并且切线随切点的移动 而连续转动； 即 在 上连续， 在 内连续,四、平面曲线的弧长,所谓光滑曲线是指曲线 在 上连续，,以 为积分变量，相应于 上任一小区间 的一段弧长 可用曲线在 点 处切线上相应小段直线 的长度来近似代

13、替（如上图所示）,切线上小段直线的长度为 因而弧长微元（也称为弧微分）为 从 到 积分得,以 为积分变量，相应于 上任一小区间切线上小段直,例9 求曲线 的长,解 函数的定义域为 ， 故 于是,例9 求曲线 的长,若曲线弧 由参数方程 给出，其中 在 上具有连续导数，则弧微元为从而，所求弧长为,若曲线弧 由参数方程,例10 求曲线 上相应于从 到 一段的弧长（其中 ）,解 因为 ， 所以 从而,例10 求曲线 解 因为,一、变力作功二、液体的压力,第二节 定积分在的物理学中的应用,一、变力作功二、液体的压力第二节 定积分在的物理学中的,设一物体受连续变力 的作用,沿力的方向作直线运动,求物体从

14、 移动到 ,变力 所作的功（如下图所示）.,由于 是变力,因此这是一个非均匀变化的问题.所求的功为一个整体量,在 上具有可加性,可用定积分的微元法求解.,一、变力作功,由于 是变力,因此这是一个非均匀变化的问题.所求的,在 上任一小区间 .由于 是连续变化的,当 很小时 变化不大可近似看作常力,因而在此小段上所作的功近似为在 上的功微元 . 因此,从 到 变力所作的功为,在 上任一小区间 .由于,析：这个电场对周围的电荷有作用力，由库仑定律知，位于,解取 为积分变量， 其变化区间为 ， 功微元为 于是功为,解取 为积分变量，,解建立坐标系， 如右图所示. 取深度 为积分变量， 其变化区间为0,

15、5，,例2一圆柱形的贮水桶高为米，底圆半径为米，桶内盛满了水试问要把桶内的水全部吸出，需作多少功？,解建立坐标系， 例2一圆柱形的贮水桶高为米，底圆半径,功微元 所求的功为,功微元,二、液体的压力,由物理学可知,在深为 处液体的压强为 ,其中 是液体的密度， （牛顿千克）. 如果有一面积为 的平板，水平地放置在液体中深为 处，则平板一侧所受的压力为,二、液体的压力,如果平板垂直放在液体中，那么由于液体的深度不同，就不能用上式计算平板一侧所受到的压力，须用定积分求解下面举例说明,例3一个横放的半径为 的圆柱形油桶盛有半桶油，油的密度为 计算桶的圆形一侧所受的压力,如果平板垂直放在液体中，那么由于液体的深度不同，就不能用上式,解建立坐标系， 如右图所示,取 为积分变量，它的变化区间为则压力微元为,解建立坐标系，取 为积分变量，,得所求压力,得所求压力,