计算机视觉中的多视图几何第一章 2 D射影几何和变换ppt课件.pptx

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1、第1章2 D射影几何和变换,平面几何,射影几何,点 齐次表示：直线 二次曲线 ax+bxy+cy+dx+ey+f=0平行线 平行直线无交点,点 齐次表示:直线 齐次表示:二次曲线 其中二次曲线系数矩阵c：平行线 平行直线交与理想点无穷远线 所有理想点的集合,1.1 平面几何与射影几何的对比：,1.2 2D射影平面,1.2.1 点与直线：,结论1.1：点X在直线L上的充要条件是：,结论1.2：两直线L和L的交点是点X：,结论1.3：过两点X和X的直线L是：,1.2.2 理想点与无穷直线,理想点的齐次表示:,无穷直线的齐次表示： =,射影平面的模型：,结论1.4：对偶原理 2维射影集合中的任何定理

2、都有一个对应的对偶定理，它可以通过互换定理中的点和线的作用而导出。,射影平面的模型。 IP的点和线分别表示为过IR中过原点的射线和平面 。X1X2-上的射线表示理想点，而 x1x2- 平面表示,1.2.3 二次曲线与对偶二次曲线,二次曲线的切线：,结论1.5 过（非退化）二次曲线C上点X的切线L由,对偶二次曲线：,结论1.6：对偶二次曲线C的切线L由,非退化二次曲线,非满秩矩阵C所定义的二次曲线称作退化二次曲线，退化的点二次曲线包含两条线（秩2）或一条重线（秩1）。,1.3 射影变换,定义1.7 射影映射是IP到它自身的一种满足下列条件的可逆映射h：三点x1，x2和x3共线当且仅当h(x1),

3、h(x2)和h(x3)也共线。 射影映射组成一个群。,定理1.8 映射h：IP IP是射影映射的充要条件是：存在一个3X3的非奇异矩阵H，使得IP的任何一个用矢量X表示的点都满足h（X）=HX。,定义1.9 射影变换就是X=HX,1.3.1 直线与二次曲线的变换,直线的变换：,二次曲线的变换：在点变换X=HX下，,结论1.10 在点变换X=HX下，对偶二次曲线 变化为,1.4 变换的层次,等距变换,相似变换,仿射变换,射影变换,射影变换的层次图,1.4.1 等距变换,等距变换的矩阵表示：,其中,简洁的分块形式写为：,等距变换就是图形进行一个旋转和位移得到另一个图形的过程。,等距变换失真情况,1

4、.4.2 相似变换,相似变换的矩阵表示：,简洁的分块形式写成：,其中s为缩放量，。,等距变换的不变性质：长度，面积,相似变换就是在等距变换的基础上进行了一个S的缩放。,相似变换失真情况,相似变换的不变性质：长度比，夹角，虚圆点。,1.4.3 仿射变换,仿射变换是一个非奇异线性变换与一个平移变换的复合。它的矩阵表示为：,它的分块形式：,可以把仿射变换中A看作两个基本变换旋转和非均匀缩放的复合。,仿射变换的失真情况,仿射变换的不变性质：平行，面积比，共线线段或平行线段的长度比，矢量的线性组合,1.4.4 射影变换,射影变换的分块形式：,射影变换是在仿射变换的基础上进行的非线性的缩放。它的不变性质：

5、共点，共线，接触的阶：相交；相切；拐点；切线不连续性和歧点。交比。,1.5 1D射影几何,交比 交比是射影不变量。给定4个点 ，交比定义为：,在任何直线的射影变换下，交比的值不变：如 则：,1.6 从图像恢复仿射和度量性质,1.6.1 无穷远线,结论1.11 由上式可知在射影变换H下，无穷远直线为不动直线的充要条件是H是仿射变换。,1.6.3 虚圆点及其对偶,在相似变换下，无穷远直线上有两个不动点，它们是虚圆点I,J，其标准坐标是：,结论1.12 在射影变换H下的，虚圆点I和J为不动点的充要条件是H是相似变换。,与虚圆点对偶的二次曲线 二次曲线,与虚圆点对偶。这条曲线是由虚圆点构成的退化的线二

6、次曲线。,因为对偶二次曲线变换遵循结论 ，可以验证在点相似变换 下：,结论1.13 对偶二次曲线 在射影变换H下不变的充要条件是H是相似变换。,1.6.4 射影平面上的夹角,结论1.13 一旦二次曲线 在射影平面上被辨认，那么欧氏角可以测量，公式为：,结论1.14 如果 ，则直线I和m正交。,1.6.5 由图像恢复度量性质,结论1.15 在射影平面上，一旦 被辨认，那么射影失真可以矫正到相差一个相似变换。,1.7 二次曲线的其他性质,1.7.1极点-极线关系,点X和二次曲线C定义一条直线L=CX。L称为X关于C的极线，而点X称为L关于C的极点。,如果点在C上，则它的极线就是二次曲线过点X的切线。,1.8 不动点与直线,变换的一个特征矢量对应一个不动点，由下面的公式可知：,同理变换的一个特征矢量对应一个不动直线：,谢谢！,