等比数列的性质ppt课件.ppt

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1、【课标要求】 1理解等比数列的性质并能应用 2了解等比数列同指数函数间的关系 3会用等比数列的性质解题【核心扫描】 1等比数列的性质及应用(重点) 2等比数列与等差数列的综合应用(重点) 3与函数、方程、不等式等结合命题(难点),第2课时 等比数列的性质及应用,等比数列的项与序号的关系以及性质设等比数列an的公比为q.(1)两项关系：an_(m，nN*)(2)多项关系：若mnpq(m，n，p，qN*)，则aman_.(3)若m，n，p(m，n，pN*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两,自学导引,1,2,amqn

2、m,apaq,an1,ank1,等比数列的“子数列”的性质若数列an是公比为q的等比数列，则(1)an去掉前几项后余下的项仍组成公比为_的等比数列；(2)奇数项数列a2n1是公比为_的等比数列；偶数项数列a2n是公比为_的等比数列；(3)在数列an中每隔k(kN*)取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk1.,3,q,q2,q2,：如果等比数列an中，mn2k(m，n，kN*)，那么amanak2是否成立？反之呢？提示：如果等比数列的三项的序号成等差数列，那么对应的项成等比数列事实上，若mn2k(m，n，kN*)，则aman(a1qm1)(a1qn1)a12qmn2a1

3、2(qk1)2ak2.在等比数列an中，若amanapaqak2，不一定有mnpq2k，如非零常数列,等比数列的单调性(1)当q1，a10或01，a10时，等比数列an是递减数列(3)当q1时，等比数列an是常数列(4)当q0时，等比数列an是摆动数列等比数列的运算性质(1)若an是公比为q的等比数列，则can(c是非零常数)是公比为q的等比数列；|an|是公比为|q|的等比数列；,名师点睛,1,2,anm(m是整数常数)是公比为qm的等比数列特别地，若数列an是正项等比数列时，数列anm(m是实数常数)是公比为qm的等比数列(2)若an，bn分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列anbn是

4、公比为q1q2的等比数列(3)数列an是各项均为正数的等比数列时，数列lg an是公差为lg q的等差数列,题型一等比数列性质的应用,已知数列an为等比数列(1)若an0，且a2a42a3a5a4a636，求a3a5的值；(2)若a1a2a37，a1a2a38，求数列an的通项公式思路探索 应用等比数列的性质：a2a4a32，a4a6a52，a1a3a22，化简已知，可求解解(1)法一an0，a10，q0.又a2a42a3a5a4a636，a1qa1q32a1q2a1q4a1q3a1q536，即a12q42a12q6a12q836，,【例1】,a12q4(12q2q4)36，即a12q4(1q

5、2)236，a1q2(1q2)6，a3a5a1q2a1q4a1q2(1q2)6.法二a2a42a3a5a4a636，a322a3a5a5236，(a3a5)236，a3a56.(2)a22a1a3代入已知，得a238，a22.,在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果,(2)已知数列an成等比数列若a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值解(1)在等比数列an中，a1a9a3a7，由已知可得：a3a764与a3a720联立得：,【变式1】 (1)在递增

6、等比数列an中，a1a964，a3a720，求a11的值,有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数思路探索 根据等差数列和等比数列的性质，设出未知数，结合题中条件求解即可,题型二灵活设项求解等比数列,【例2】,所以，当a4，d4时，所求四个数为0,4,8,16；当a9，d6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.当a8，q2时，所求四个数为0,4,8,16；故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.,三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各

7、减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数,【变式2】,某市2010年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.思路探索本题主要考查构建数学模型解决实际问题，通过阅读之后，找出题目中的相关信息，构造等差数列和等比数列,题型三等比数列的实际应用,【例3】,解 (1)设中低价房面积构成

8、数列an，由题意可知，an是等差数列，其中a1250，d50，令25n2225n4 750，即n29n1900，解得n19或n10，而n是正整数n10.故到2019年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米,(2)设新建住房面积构成数列bn，由题意可知，bn是等比数列，其中b1400，q1.08，则bn400(1.08)n1，由题意可知an0.85bn，即250(n1)50400(1.08)n10.85满足上述不等式的最小正整数n6.故到2015年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.,本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的

9、关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算不要在运算中出现问题,始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机受此拖累，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元你能求出7月到9月平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了等比数列an，记：a1147(7月份价格)，则8月份价格：a2a1(1x)147(1x)；9月份价格：a3a2(1x)147(1x)2.147(1x)297，解得x

10、18.8%.设an34，则34147(118.8%)n1，解得n8.即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶,【变式3】,(2)是否存在m，使得数列bn中存在某项bt满足b1，b4，bt(tN*，t5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由审题指导 (1)由anSnSn1(n2)求得anbb1b8求得m.(2)由2b4b1bt可得以m为变量，t为函数的关系式由t5，tN*可得m的取值,题型四等差数列与等比数列的综合应用,【题后反思】 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式(2)方程思想的应

11、用往往是破题的关键,(1)求通项公式an及Sn；(2)设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式解(1)因为an是首项为19，公差为2的等差数列，所以an192(n1)2n21，即an2n21；,【变式4】 已知an是首项为19，公差为2的等差数列，Sn为an的前n项和,A(n1)2 Bn2C(n1)2 Dn(2n1)错解 易得an2n，且log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1)log2213(2n1),误区警示因没数清数列的项数致误,【示例】,对等差数列1,3，2n1的项数没数清,正解 a5a2n522nan2，an0，an2n，log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1)log2213(2n1)log22n2n2.故选B.答案B,解决此类问题时，可根据通性通法，但有时用等比数列的性质，能加快解题速度，提高解题效率，达到事半功倍的效果,