等比数列前n项和公式和性质ppt课件.ppt

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1、,等比数列前n项和公式,细节决定成败 态度决定一切,复习:等比数列 an,(1) 等比数列:,(2) 通项公式:,(4) 重要性质:,注:以上 m, n, p, q 均为自然数,引入：印度国际象棋发明者的故事,（西 萨）,引入新课,它是以为首项公比是的等比数列，,分析：由于每格的麦粒数都是前一格的倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：,麦粒的总数为:,请同学们考虑如何求出这个和？,这种求和的方法,就是错位相减法!,18446744073709551615,如果1000粒麦粒重为40克，那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨。根据统计资料显示，全世界小麦的年产量约为6亿吨，就是说全世界都要100

2、0多年才能生产这么多小麦，国王无论如何是不能实现发明者的要求的。,如何求等比数列的Sn:, ，得,错位相减法,1.使用公式求和时，需注意对 和 的情况加以讨论；,2.推导公式的方法：错位相减法。,注意：,显然，当q=1时，,等比数列的前n项和表述为：,Sn = a1 + a2 + a3 + .+ an-1 + an,= a1 + a1q + a1q2 +.+ a1qn-2 + a1qn-1,= a1+ q ( a1 + a1q + .+ a1qn-3 + a1qn-2 ),= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn an ),证法二：,借助Sn-an =Sn-1,(一) 用等比定理

3、推导,当 q = 1 时 Sn = n a1,因为,所以,用等比定理：,证法三：,已知a1 、n、 q时,已知a1 、an、 q时,等比数列的前n项和公式,知三求二,前n项和公式：,两个公式共有5个基本量:,可知“三求二”.,通项公式：,知识回顾：,S,S,【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑 .,倒序相加,错位相减,公比是否为1,探究1：,1. 前n项和公式的函数特征：,当q=1时,性质1：,等比数列前n项和的性质一：,练习1：,若等比数列an中，Snm3n1，则实数m_.,-1,例1、求下列等比数列前8项的和,说明：,.,.,例3.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量

4、比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？,分析：第1年产量为 5000台,第2年产量为,5000(1+10%)=50001.1台,第3年产量为,5000(1+10%) (1+10%),第n年产量为,则n年内的总产量为：,1数列2n1的前99项和为()A21001B12100C2991 D1299,答案：C,改为数列2n-1呢？,2在等比数列an中，已知a13，an96，Sn189，则n的值为()A4 B5C6 D7,答案：C,3已知等比数列an中，an0，n1,2,3，a22，a48，则前5项和S5的值为_,答案：31,4在等比数列an中

5、，已知a1a2an2n1，则a12a22an2等于_,5设数列an是等比数列，其前n项和为Sn，且S33a3，求公比q的值,我们知道，等差数列有这样的性质：,等比数列前n项和的性质二：,是否成等比数列?,35,探究2：,Sn为等比数列的前n项和， Sn0，则Sn,S2nSn,S3nS2n是等比数列,性质2：,已知等比数列an中，前10项和S1010，前20项和S2030，求S30.,解：,题后感悟等比数列前n项和的常用性质：(1)“片断和”性质：等比数列an中，公比为q，前m项和为Sm(Sm0)，则Sm，S2mSm，S3mS2m，SkmS(k1)m，构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项

6、的和与以后依次m项的和构成等比数列,各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于( )A80B30C26 D16,解析：Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n成等比数列(S2nSn)2Sn(S3nS2n)(S2n2)22(14S2n)，解得S2n6又(S3nS2n)2(S2nSn)(S4nS3n)(146)2(62)(S4n14)S4n30.故选B.,练习2：,70,63,(1) 等比数列中，S1010，S2030，则 S30_.(2) 等比数列中，Sn48，S2n60，则 S3n_.,解：,探究3：,在等比数列中，若项数为2n(nN *)，S偶与S奇分

7、别为偶数项和与奇数项和，,则,q,性质3：,等比数列前n项和的性质三：,推导过程:,已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数由题目可获取以下主要信息：等比数列的奇数项与偶数项分别依次构成等比数列；当项数为2n时，S偶S奇q.解答本题的关键是设出项数与公比，然后建立方程组求解,，得q2，代入得22n256，解得2n8，所以这个数列共8项，公比为2.,80,解：,5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？,提示：,4.等比数列an共2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求该数列的公比q.,性质4：,题后感悟错位相减法 一般来说，如果数列an是等差数列，公差为d；数列bn是等比数列，公比为q，则求数列anbn的前n项和就可以运用错位相减法,.3求和：,练习：,小结：,等差数列前n项和的性质：,