高等代数第八章 λ 矩阵(北大版)ppt课件.pptx

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1、2022/12/23,数学与应用数学,2 矩阵的标准形,3 不变因子,1 矩阵,4 矩阵相似的条件,6 若当(Jordan)标准形的理论推导,5 初等因子,小结与习题,第八章 矩阵,2022/12/238.1 矩阵,数学与应用数学,一、矩阵的概念,二、矩阵的秩,8.1 矩阵,三、可逆矩阵,2022/12/238.1 矩阵,数学与应用数学,定义：,若矩阵A的元素是 的多项式，即 的元素，则,设P是一个数域，是一个文字，是多项式环，,称A为 矩阵，并把A写成,一、矩阵的概念,注：, 数域P上的矩阵数字矩阵也,是 矩阵.,2022/12/238.1 矩阵,数学与应用数学,其定义与运算规律与数字矩阵相

2、同., 对于 的 矩阵，同样有行列式,它是一个 的多项式，且有,这里 为同级 矩阵., 与数字矩阵一样，矩阵也有子式的概念.,矩阵的各级子式是 的多项式., 矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算，,2022/12/238.1 矩阵,数学与应用数学,若矩阵 中有一个 级子式不为零，,而所有 级的子式（若有的话）皆为零，则称,的秩为r .,二、矩阵的秩,定义：,零矩阵的秩规定为0.,2022/12/238.1 矩阵,数学与应用数学,三、可逆矩阵,一个 的 矩阵 称为可逆的，如果有一,一个 的矩阵 ，使,定义：,这里E是n级单位矩阵.,称 为 的逆矩阵(它是唯一的)，记作,2022/12/238.

3、1 矩阵,数学与应用数学,（定理1） 一个 的矩阵 可逆,是一个非零常数.,证: “ ”,若 可逆，则有 ，使,两边取行列式，得,都是零次多项式，即为非零常数.,判定：,2022/12/238.1 矩阵,数学与应用数学,“ ”,设 是一个非零常数.,为的伴随矩阵，则,可逆.,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学,一、矩阵的初等变换,二、矩阵的初等矩阵,8.2 矩阵的标准形,三、等价矩阵,四、矩阵的对角化,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学,矩阵的初等变换是指下面三种变换:, 矩阵两行（列）互换位置；, 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c ；,是一个多项

4、式., 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的 倍，,一、矩阵的初等变换,定义：,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学,代表第 行乘以非零数 c ；,代表把第 行(列)的 倍加到第,为了书写的方便，我们采用以下记号,代表 两行(列)互换；,注：,行(列).,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学,将单位矩阵进行一次矩阵的初等变换所得的,矩阵称为 矩阵的初等矩阵.,二、矩阵的初等矩阵,定义：,注：, 全部初等矩阵有三类：,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学,i 行,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学, 初等矩阵皆可逆.

5、, 对一个 的 矩阵 作一次初等行变换,就相当于在 在的左边乘上相应的 的初等矩,阵；对 作一次初等列变换就相当于在 的右,边乘上相应的 的初等矩阵.,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学,为矩阵 ，则称 与 等价.,矩阵 若能经过一系列初等变换化,1) 矩阵的等价关系具有:,反身性: 与自身等价.,对称性: 与 等价 与 等价.,传递性: 与 等价, 与 等价,与 等价.,三、等价矩阵,定义：,性质：,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学,2) 与 等价 存在一系列初等矩阵,使,1.（引理）设 矩阵 的左上角元素,且 中至少有一个元素不能被它整除，那么

6、一定,可以找到一个与 等价的矩阵 ，它的左上,角元素 ，且 .,四、矩阵的对角化,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学,证：根据 中不能被 除尽的元素所在的,位置，分三种情形来讨论:,i) 若在 的第一列中有一个元素 不能被,除尽，,其中余式 ，且,对 作下列初等行变换:,则有,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学,的左上角元素 符合引理的要求，,故 为所求的矩阵.,ii) 在 的第一行中有一个元素 不能被,除尽，这种情况的证明i)与类似.,iii) 的第一行与第一列中的元素都可以被,除尽，但 中有另一个元素,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数

7、学与应用数学,被 除尽.,对 作下述初等行变换:,我们设,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学,矩阵 的第一行中，有一个元素：,不能被左上角元素 除尽，转为情形 ii) .,证毕.,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学,2.（定理2）任意一个非零的 的 一矩阵,都等价于下列形式的矩阵,多项式，且,称之为的标准形.,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学,证: 经行列调动之后，可使 的左上角元素,若 不能除尽 的全部元素，,由引理，可以找到与 等价的 ，且,由引理，又可以找到与 等价的 ，且,如此下去，将得到一系列彼此等价的 矩阵：,左上

8、角元素 ，,若 还不能除尽 的全部元素，,左上角元素 ，,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学,但次数是非负整数，不可能无止境地降低.,因此在有限步以后，将终止于一个矩阵,它的左上角元素 ，而且可以除尽,的全部元素 即,对 作初等变换:,它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低.,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学,中的全部元素都是可以被 除尽的，,因为它们都是 中元素的组合.,如果 ，则对于 可以重复上述过程，,进而把矩阵化成,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学,其中 与 都是首1多项式(与,只差一个常数倍数），而且,能除尽 的

9、全部元素.,如此下去， 最后就化成了标准形.,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学,例 用初等变换化矩阵为标准形.,解：,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学,2022/12/238.2 矩阵的标准形,数学与应用数学,即为 的标准形.,2022/12/238.3 不变因子,数学与应用数学,一、行列式因子,二、不变因子,8.3 不变因子,2022/12/238.3 不变因子,数学与应用数学,1. 定义：,一、行列式因子,注：,阶行列式因子.,的首项系数为1的最大公因式 称为 的,中必有非零的 级子式， 中全部 级子式,设矩阵 的秩为 ，对于正整数 ，,若

10、秩 ，则 有 个行列式因子.,2022/12/238.3 不变因子,数学与应用数学,行列式因子.,1) （定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的各级,（即初等变换不改变 矩阵的秩与行列式因子）,证：只需证， 矩阵经过一次初等变换，秩与行,列式因子是不变的,2. 有关结论,设 经过一次初等变换变成 ， 与,分别是 与 的 k 级行列式因子,下证 ，分三种情形：,2022/12/238.3 不变因子,数学与应用数学,级子式反号.,公因式，,此时 的每个 级子式或,者等于 的某个 级子式，,或者与 的某个,因此， 是 的 级子式的,从而,级子式的 c 倍.,者等于 的某个 级子式，或者等于 的某个,此

11、时 的每个 级子式或,因此， 是 的 级子式的,公因式，,从而,2022/12/238.3 不变因子,数学与应用数学,此时 中包含 两行,级子式相等；,的和不包含 行的那些 级子式与 中对应的,中包含 行但不包含 行的 级,子式，按 行分成 的一个 级子式与另一个,级子式的 倍的和，,即为 的两个 级子式,从而,的组合，,因此 是 的 级子式的公因式，,同理可得，,2022/12/238.3 不变因子,数学与应用数学,2）若 矩阵 的标准形为,其中 为首1多项式，且,则 的 级行列式因子为,2022/12/238.3 不变因子,数学与应用数学,证： 与 等价，,完全相同，则这个 级子式为零.,

12、在 中，若一个 级子式包含的行、列指标不,与 有相的秩与行列式因子.,级子式,所以只需考虑由 行与 列组成的,即,而这种 级子式的最大公因式为,所以， 的 级行列式因子,2022/12/238.3 不变因子,数学与应用数学,证：设 矩阵 的标准形为,3）（定理4） 矩阵的标准形是唯一的.,其中 为首1多项式，且,2022/12/238.3 不变因子,数学与应用数学,于是,即由 的行列式因子所唯一确定.,由2）， 的 级行列式因子为,4）秩为 的 矩阵的 个行列式因子满足：,所以 的标准形唯一.,2022/12/238.3 不变因子,数学与应用数学,1. 定义：,二、不变因子,矩阵 的标准形,称

13、为 的不变因子.,的主对角线上的非零元素,2022/12/238.3 不变因子,数学与应用数学,有相同的标准形，,1)（定理5） 矩阵 、 等价,、 有相同的不变因子.,证：必要性显然. 只证充分性.,2. 有关结论,所以 与 等价.,若 与 有相同的行列式因子，则,与 也有相同的不变因子，,、 有相同的行列因子.,从而 与,2022/12/238.3 不变因子,数学与应用数学,则 ， 为一非零常数.,的第n个行列式因子,证；若 可逆，,因子全部为1， 的标准形为单位矩阵 ，即,与 等价.,2）若 的 矩阵 可逆，则 的不变,又 的n个行列式因子满足:,2022/12/238.3 不变因子,数

14、学与应用数学,从而不变因子,所以， 的标准形为,矩阵的乘积.,注： 可逆 与 等价.,3)（定理6） 可逆 可表成一些初等,2022/12/238.3 不变因子,数学与应用数学,证： 可逆 与 等价,存在一个 可逆矩阵 与一个 可逆,推论：两个 的 矩阵 、 等价,矩阵 ，使,2022/12/238.3 不变因子,数学与应用数学,例、求 矩阵的不变因子,2022/12/238.3 不变因子,数学与应用数学,的非零二级子式为:,解：1） 的非零1级子式为:,2022/12/238.3 不变因子,数学与应用数学,又,所以， 的不变因子为 ：,2022/12/238.3 不变因子,数学与应用数学,2

15、）,又,而,的不变因子为,2022/12/238.3 不变因子,数学与应用数学,练习：求 的不变因子,答案:,2022/12/238.4 矩阵的相似,数学与应用数学,8.4 矩阵相似的条件,定理：,数字矩阵 相似 与等价.,2022/12/238.4 矩阵的相似,数学与应用数学,设P为数域 若有 ，,则A与B相似.,证：由,得,即,引理1：, A与B相似.,2022/12/238.4 矩阵的相似,数学与应用数学,对任意 及任意 -矩阵,一定存在 -矩阵 及,引理2：,2022/12/238.4 矩阵的相似,数学与应用数学,证：,这里 且,设,i) 若 则令,ii）若 设,这里 为待定矩阵.,于

16、是,2022/12/238.4 矩阵的相似,数学与应用数学,要使式成立，只需取,即,即可.,同理可证.,2022/12/238.4 矩阵的相似,数学与应用数学,设 ，则A与B相似,特征矩阵 与 等价.,定理：,证：,若A与B相似，则存在可逆矩阵T，,于是,由定理6之推论，得,与 等价.,使,2022/12/238.4 矩阵的相似,数学与应用数学,若 与 等价，,则存在可逆 矩阵 ，使,及 ，使,存在 矩阵,由引理2，对于A，,2022/12/238.4 矩阵的相似,数学与应用数学,由，有,即，,比较两端，得,2022/12/238.4 矩阵的相似,数学与应用数学,下证T可逆.,由有，,即,比较

17、两端，得,2022/12/238.4 矩阵的相似,数学与应用数学,故T可逆.,由引理1，A与B相似.,于是,推论:设 则 相似,特征矩阵 与 有相同的不变因子.,证: 相似,与 等价.,与 有相同的不变因子.,2022/12/238.4 矩阵的相似,数学与应用数学,矩阵A的不变因子.,推论说明，矩阵的不变因子是相似不变量.,注：,因此，可把一个线性变换的任一矩阵的不变因子,定义为此线性变换的不变因子., 矩阵A的特征矩阵 的不变因子也称为, 对 有秩,从而，A有n个不变因子，这n个不变因子的乘积,等于,即，,2022/12/238.4 矩阵的相似,数学与应用数学,例1. 证明：下列三个矩阵彼此

18、都不相似.,证： 的不变因子是：,的不变因子是：,的不变因子是：,2022/12/238.4 矩阵的相似,数学与应用数学,故 的不变因子各不相同.,彼此不相似.,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学,一、初等因子的定义,二、初等因子与不变因子的关系,8.5 初等因子,三、初等因子的求法,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学,一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）,把矩阵 的每个次数大于零的不变因子,称为A的初等因子.,分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些,一、初等因子的定义,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学,9个,则A的初等因子

19、有7个，它们是,例1、若12级复矩阵A的不变因子是:,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学, 设n级矩阵A的不变因子为已知：,将 分解成互不相同的一次因式,二、初等因子与不变因子的关系,的方幂的乘积:,分析:,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学,则其中对应于 的那些方幂 :,就是A的全部初等因子., 注意到不变因子 满足,从而有,因此有,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学,即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，,方次最高的必出现在 的分解式中，次高的必,出现在 的分解式中.,如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂,的初等因子，在不变因子

20、的分解式中出现的位置是,唯一确定的.,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学, 设级矩阵的全部初等因子为已知.,在全部初等因子中，将同一个一次因式,的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初,等因子的个数不足n个时，则在后面补上适当个数,的1，使其凑成n个，设所得排列为,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学,于是令,则,就是A的不变因子.,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学,例1、已知3级矩阵A的初等因子为：,求A的不变因子.,解：作排列,得A的不变因子为：,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学,结论1、若两个同级数字矩阵有相同

21、的不变因子，,则它们就有相同的初等因子；,反之，若它们有相同的初等因子，则它们就有,结论2、两个同级数字矩阵相似,相同的不变因子.,它们有相同的初等因子.,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学,1、(引理1)若多项式 都与,互素，则,三、初等因子的求法,证：令,显然，,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学,由于,故,因而,另一方面，由于,可令,其中,又,由,又得,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学,同理可得,即,故,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学,如果多项式 都与 互素，,2、(引理2) 设,则 与 等价.,2022/12

22、/238.5 初等因子,数学与应用数学,证：首先，,从而 二阶行列式因子相同.,其次，由引理1，有,从而 的一阶行列式因子相同.,所以， 与 等价.,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学,3、(定理9) 设 将特征矩阵 进行,初等变换化成对角形,然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因,式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同,的按出现的次数计算）就是A的全部初等因子.,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学,证：设 经过初等变换化成对角形,其中 皆为首1多项式，,将 分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积:,2022/12/238.5 初等因子,数学与应

23、用数学,下证，对于每个相同的一次因式的方幂,在 的主对角线上按升幂排列后，得到的新对角,矩阵 与 等价.,此时 就是 的,且所有不为1的 就是A的全部,初等因子.,标准形，,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学,为了方便起见，先对 的方幂进行讨论.,于是,且每一个 都与 互素.,如果相邻的一对指数,则在 中将 与 对调位置，,而其余因式保持不动，,令,由引理2,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学,与,等价.,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学,等价.,然后对 重复上述讨论.,从而 与对角矩阵,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数

24、学,如此继续进行，直到对角矩阵主对角线上元素所含,的方幂是按逆升幂次排列为止.,再依次对作同样处理.,最后便得到与 等价的对角阵,都是按升幂排列的，,的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂,即为 的标准形.,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学,例2、求矩阵A的初等因子,解：对 作初等变换,2022/12/238.5 初等因子,数学与应用数学, A的初等因子为:,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,一、若当块的初等因子,二、若当形矩阵的初等因子,8.6 若当标准形的理论推导,三、若当标准形存在定理,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导

25、,数学与应用数学,若当块,的初等因子是,一、若当块的初等因子,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,证：,此即 的 级行列式因子.,又 有一个 级子式是,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,所以 的 级行列式因子为1.,从而， 的 级行列式因子皆为1.,的不变因子是:,故 的初等因子是:,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,若当形矩阵,其中,则J 的全部初等因子是：,二、若当形矩阵的初等因子,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,证： 的初等因子是,与矩阵 等价.,于是,2022

26、/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,与矩阵,等价.,由定理9， 的全部初等因子是：,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,初等因子唯一确定.,完全被它的级数与主对角线上的元素 所刻划，,而这两个数都反应在它的初等因子 上.,可见，每个若当形矩阵的全部初等因子就是它,的全部若当块的初等因子构成的.,由于每个若当块,因此，若当块被它的初等因子唯一决定.,从而，若当形矩阵除去其中若当块的排序外被它的,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,（定理10）每一个复矩阵A都与一个若当形矩阵,相似，且这个若当形矩阵除去若当块的排序外

27、是,被矩阵A唯一决定的，它称为A的若当标准形.,三、若当标准形存在定理,1.,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,证：若n 级复矩阵A的全部初等因子为:,（*）,（其中 可能有相同的，指数,也可能相同的）.,每一个初等因子 对应于一个若当块,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,令,则 J 的初等因子也是（*），,故J 与A相似.,即J与A有相同的初等因子.,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,变换，在 V中必定存在一组基，使 在这组基下,的矩阵是若当形矩阵，并且这个若当形矩阵除去,2.定理10换成线性变换

28、的语言即为,（定理11）设是复数域上n维线性空间V的线性,若当块的排序外是被唯一确定的.,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,的初等因子全是一次的.,3.特殊情形,（定理12）复矩阵 A与对角矩阵相似,的不变因子没有重根.,（定理13）复矩阵 A与对角矩阵相似,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,4.n 阶复矩阵A的最小多项式就是A的最后一个,不变因子.,证：设A的若当标准形是,其中,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,由一知，的最小多项式是,由不变因子与初等因子的关系知，,由7.9中引理3之推论知，,为

29、A的最小多项式.,又相似矩阵具有相同的最小多项式与不变因子，,所以，A的最小多项是它的最后一个不变因子,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,例1、求矩阵A的若当标准形.,解：,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,的初等因子为,故 A的若当标准形为,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,求A的若当标准形.,例2、已知12级矩阵A的不变因子为,个,解：依题意，A的初等因子为,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,的若当标准形为,2022/12/238.6 若当标准形的理论推导,数学与应用数学,练习： 求矩阵A的若当标准形,数学与应用数学,非原创，如有侵权，请告知删除。见谅！,闲来整理。,