第四章网络的代数方程ppt课件.ppt

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1、第四章 网络的代数方程,线性时不变电路的分析方法的基本思想：,主要内容：,选变量、列方程、联立求解。,节点分析法（改进节点法等）、回路分析法、割集法稀疏列表法、混合分析法、约束网络法、端口分析法,第一章介绍了结构约束（KCL，KVL）； 还需要元件约束,41 概述,网络方程的分类：,（2）微分代数方程,（1） 代数方程,线性或非线性电阻电路的方程,线性动态电路的变换域方程,线性或非线性动态电路的时域方程,网络解变量的选取,（2）计算机辅助计算,（1）手工计算,方程数目少：,节点电压、树支电压网孔电流、回路电流状态变量,通用性,节点电压附加电流节点电压支路电压支路电流,独立变量,完备,且方程适合

2、计算机建立,42 支路方程的矩阵形式,两类约束：基尔霍夫定律的矩阵形式 支路方程的矩阵形式,选取支路的主要方式 ：,（1）复合支路（一般支路或标准支路）,（2）元件级支路, 4-2 支路VAR的矩阵形式,此时，U、I 均为bx1列向量。Z、Y均为b x b对称矩阵。若无耦合电感则为对角阵，分别称为支路阻抗和支路导纳阵。,1、不含受控源（复合支路）,写成矩阵：,由上式解出 ,有,写成矩阵：,规定：阻抗(导纳)只能是单一的电阻、电感或电容等，而不能是它们的组合,2、含受控源（复合支路）P149,受另一支路的电压或电流控制，均可转化成受该支路的元件电压或电流控制。,受另一支路的电压或电流控制，均可转

3、化成受该支路的元件电压或电流控制。,把上式写成矩阵形式：,设受控源的各控制量均为各支路的元件电压或电流（均可化为这种形式）则：,无互感对角，有互感对称,元件上的电压和电流关系为,代入上式得：,由上式得：,控制系数有“”、“”之分。支路方向与标准支路相同者为+号，相反为-号，没有为0。,称为流控型支路方程 为支路阻抗矩阵,称为压控型支路方程 为支路导纳矩阵,由 得：,由 得：,3、复合（典型、标准）支路与本科的区别：,例 电路如图 所示，图中元件的下标代表支路的编号，取支路2、4、5为树支。在下列两种情况下写出关联矩阵、基本回路矩阵、基本割集矩阵、支路阻抗矩阵、支路导纳矩阵、支路电压源列向量和支

4、路电流源列向量（1） （2）,解 电路的有向图如图所示，实线为树支，虚线为连支,基本回路矩阵为,基本割集矩阵为,则关联矩阵为,支路电压源列向量为,支路电流源列向量为,（1）,支路导纳矩阵为,支路阻抗矩阵为,(2),支路阻抗矩阵为,支路4和5的VAR为,支路导纳矩阵为,式中,若,支路导纳矩阵不存在,编号规律：存在耦合时，应将各耦合电感的支路连续编号,（全耦合）,例 电路及其有向图分别如图所示，试写出该电路的支路电压源列向量Us、支路电流源列向量Is、支路阻抗矩阵Zb和支路导纳矩阵Yb。 P150,电路中没有独立电压源，故支路电压源列向量,支路电流源列向量为,解,元件阻抗矩阵Ze和元件导纳矩阵Ye

5、分别为,受控源的控制系数矩阵分别为,所求支路阻抗矩阵和支路导纳矩阵分别为,受控源变受控电流源，控制量再用元件电压表示,受控源变受控电压源，控制量再用元件电流表示,4、非线性电阻电路的复合（典型、标准）支路（p151）请自己看。,43 电路代数方程的矩阵形式（复习本科知识 ）,一、线性电路代数方程的矩阵形式,1、节点电压方程的矩阵形式,节点导纳矩阵,定义,节点电流源列向量,节点电压方程的矩阵形式,例 在图电路中 。试写出该电路对应的运算电路的节点电压方程的矩阵形式。图 中,(a),(b),解 作出电路的有向图和运算电路分别如图( b )和( c )所示。关联矩阵为由图( c )可得支路电压源列向

6、量为,(c),支路电流源列向量为支路导纳矩阵为把以上各矩阵代入即得运算形式的节点电压方程的矩阵形式,2、回路电流方程的矩阵形式,定义,回路电压源列向量,回路阻抗矩阵,回路电流方程的矩阵形式,例2 电路及其有向图(实线代表树支)如图所示。用相量形式写出回路电流方程的矩阵形式。解 相应的基本回路矩阵为,支路阻抗矩阵为 支路电压源列向量支路电源源列向量 把上述各矩阵代入,得本例所选基本回路正好对应网孔，因此，回路电流方程即为网孔电流方程。,3、割集电压方程的矩阵形式,定义,割集电流源列向量,割集导纳矩阵,割集电压方程的矩阵形式,例 电路及其有向图(实线代表树支)如图3所示。试写出该电路割集电压方程的

7、矩阵形式。解 基本割集矩阵为,支路电压源列向量 支路电流源列向量 支路导纳矩阵为将以上各矩阵代入割集电压方程的矩阵形式得,二、非线性电路代数方程的矩阵形式P155,4-4 混合分析法,顾名思义，就是类似于混合参数的形式列出方程，待求量或未知量均既有电压又有电流。,1 .目的：让受控源和独立源都以其最自然的形式出现。,VCCS，VCVS ，CCCS ，CCVS ，理想电压源或理想电流源（无伴电压、电流源）均可。,2 .取支路的方法：独立源可以与Ze，Ye组合，而受控源单独作为一条支路,单列一条支路,3 .建立混合分析法矩阵方程,1）：以树支电压Ute，连支电流Ile为独立变量,对除去独立源的网络

8、列H参矩阵,很方便地处理各种受控源和无伴独立源,4）把2)，3)代入1)中整理得：,这就是混合分析法的矩阵方程。由该式解出的是树支的元件电压和连支的元件电流。,或写成P157的形式,4 .选树原则,树支：控制电压支路，无伴（理想）电流源，受控电流源支路，,连支：控制电流支路，无伴（理想）电压源，受控电压源支路，,电阻、电感和电容既可以是树支也可以是连支。,该方法要求这种树存在。,控制电压支路：VCCS，VCVS控制电流支路：CCCS，CCVS受控电流支路：VCCS，CCCS受控电压支路：VCVS，CCVS,VCCS，控制支路选树支，受控支路树支；,CCCS，控制支路选连支，受控支路树支：,VC

9、VS，控制支路选树支，受控支路连支：,CCVS,控制支路选连支,受控支路连支：,树支：控制电压支路，无伴（理想）电流源，受控电流源支路，,连支：控制电流支路，无伴（理想）电压源，受控电压源支路，,或,采用1，1式：CCVS；采用2，2式：VCCS 连 连 树 树,采用1式：VCVS；采用2式：CCCS 树 连 连 树,效果相同,开路线：是控制电压量树支短路线：是控制电流量连支,总结以上规则：VCCS 的控制支路和受控支路均应选作树支CCCS 的控制支路应为连支,受控支路为树支 VCVS 的控制支路应为树支,受控支路为连支CCVS的两条支路均应选作连支理想变压器和负阻抗变换器的两条支路分属连支和

10、树支回转器的两条支路均为连支或均为树支电阻、电感、电容可以选作树支,也可以选作连支开路线只能选作树支,短路线只能选作连支,混合分析法失效 ： 当网络中存在较多的多口元件时,有可能无法选出一个能同时满足上述要求的树。,5 .注意事项,3）受控源方向与复合支路一致（与支路方向相同）为正，反为负，无为零,1）Is、Us与复合支路一致（与支路方向相反）为正，反为负，无为零；,2）Is、Us的顺序与Qf，Bf支路的列写顺序一致；,树支：控制电压支路，无伴（理想）电流源，受控电流源支路，,连支：控制电流支路，无伴（理想）电压源，受控电压源支路，,例4-1 列出图示电路的混合分析法矩阵方程,解（1）图、选树

11、；,P157,(2）建立除去独立源的H参阵,(3）写出Bf，Qf：,(4）写出Us、Is,(5）写出Bf Us ，Qf Is ：,(6）写出Ql +H12 ， Bt H21 ：,可见，各元件以其自然形式出现。如果找不到特定树，方法失效,4-6 稀疏列表法,1 . 方法实质 KCL、KVL、VAR联立构成2b+n-1 个方程,2 . 不取复合支路做为支路,3 . 方程组,优点：对元件和支路无限制,适应性很强，而且方程易于建立，如同填写表格一样，所以叫做列表法。,缺点：方程多，规模大；但其矩阵中零元素所占比例很大，稀疏矩阵技术的发展已使这一问题得到解决。,与本科“2b表格法”相近,共2b个方程,4

12、 支路方程M,N系数的填写举例,对电阻或电感支路,对电导或电容支路,对VCVS支路,对VCCS支路,当电路中电感间有耦合时，设为k，j支路,可见方程的建立非常的灵活方便。稀疏列表法常用于大型的电路分析软件，手工计算的不多。,5 列方程的步骤：,1，画有向图，一个元件一条支路，写A,4，支路方程的矩阵形式,例4.6-1 列出图示电路的列表法方程,9,1,2,3,4,5,稀疏表格法例题,例 在图示电阻网络中,双口电阻元件的伏安关系为,（1）,（2）,试分别列写上述两种情况下的表格方程。,P165 例462,解 将节点和连接在一起，可画出图示的网络有向图。相连点选为参考点,KCL :,KVL :,(

13、1) 支路方程,把以上诸式合成一个总的矩阵方程即为表格方程,A,1,0,M,N,(2) 支路方程为,双口网络方程,负载网络方程,电源网络方程,把KCL方程、KVL方程与以上诸式合成一个总的矩阵方程即为表格方程,4-7 节点法,一.传统节点法： 节点法是应用最广泛的一种系统化、规范化的方法。因为在计算机上找节点最容易；在工程实际中（如电力系统中,特别是对电力系统潮流计算）独立节点数往往少于独立回路数。可以直接处理VCCS，间接处理CCCS，而对无伴电压源，较难处理。下面简单复习一下节点法。,元件方程（关系或约束）为(支路电流的矩阵方程),1 .方程：,设网络的节支关联矩阵为A,设网络的所有支路均

14、为压控型，则,由KCL A i =0,节点导纳阵,得节点电压方程,由此求得支路电压和电流,节点电流列向量,由KVL,2.含受控源（CS）的处理方法：,3. 含互感支路,含互感支路的处理方法,同名端流入：,异名端流入：,例4-1 列出图示电路的节点电压方程。,解：含互感。用方法一,选为参考节点，支路编号如图,写出关联矩阵A，Us，Is,处理互感支路求出支路阻抗阵,处理互感支路求出支路阻抗阵,求出支路阻抗阵导纳阵,Y=Z-1,或直接生成支路导纳阵,Y=Z-1,其中,例4-2 列出图示电路的节点电压方程,解：,方法二：,（1）选5节点为参考点，节点支路编号、画出图,去掉简单,补零,因为 是4阶方阵,

15、如上例题,列出图示电路的节点方程,该题前面用矩阵分块处理过，下面用刚讲的部分节点相联法处理。,解：,从节点处把原网络分开,网络N1,网络N2,对网路N1列节点电压方程,网络N1,网络N2,对网路N2列全节点电压方程,全节点方程:,1 .适用范围：a）：求转移函数， b）：节点方程的降阶解法（手算）。,二. 外节点方程（实际为节点电压方程的分块解法）,节点法是以电路中的全部节点（对参考节点）电压为待求量的方法。,在很多情况下，关心的只是电路部分节（例如端口的电压），则把这些节点称为外节点，其余称为内节点。在很多情况下，只要求出外节点的节点电压即可。,用Ua Ub分别表示外节点和内节点的节点电压列

16、向量。,2 .外节点方程：,节点电压方程为：YnUn=In，设外节点为a，内节点为b。,这就是外节点方程：,解：,例4-4 求图示双T选频网络的转移函数：,选参考节点如图,取和节点为外节点，、节点为内节点，令G=1/R，,（1）列出 YnUn=In,式中电压和电流均为像函数,Yaa,Yba,Yab,Ybb,Ub,Ua,Ib,Ia,三 .节点方程的降阶（类似外节点方程法）,切断支路后，a、d为N1、N2的共有节点，选为外节点。Il，Im一为流入一为流出，N1、N2只有一点相连，可以分别计算。,二式相加消去(切割支路的电流），从而达到降阶和简化计算的目的,注意事项：,（1）切割电路时，切割支路与N

17、1，N2间，N1，N2间应无耦合，有共同的参考节点，切割支路电流应保留，可能的情况下N1、N2应尽量对称,（2）a，d作为N1、N2的共有节点，作为外节点，Il，Im对N1、N2的a，d节点方向相反。,（3）通过N1、N2的外节点方程相加消去Il，Im 。,例45用节点方程的降阶解法求图示电路中的各节点电压（电阻均为1）俞P20,在曲线处切断ae,bd支路，分成左右两个网络；a，d为N1，N2的共有节点取为外节点，切割支路的电流设为Il，Im。,a d b c,解：,外节点电压,（3）方程：设无伴电压源支路有m条，相应的电流列向量为：I=I1Im 除去无伴电压源支路（看成断开、 没有或可移去）

18、,节点法是一种有效的方法，但节点法不能处理无伴电压源，改进的节点法就是为解决这一问题提出的。,四、改进的节点法：P168,（1）意义：可有效地处理无伴电压源。,（2）方法：把无伴电压源支路的电流作为未知量，同时添加相应 的电路方程。,对应无伴电压源支路,断开无伴电压源支路后的节点电压方程,把关联矩阵A分成两块,设无伴电压源支路共有m条，则增加了m个变量，应增加m个方程。,如果电路中不含受控源，或把受控源暂做独立源处理，改进节点法的方程形式如上,当电路中含受控源时，要把方程右边的受控源涉及到的电压和电流移至方程的左边，则改进的节点法方程变为：,其中，Yn是把无伴电压源除外的节点导 纳阵，H12，

19、H21反映节点与无伴电压源支路的关联性质。,该项通常为零，但当电l路中含CCVS，而其控制量又是另一个无伴电压源的电流时，该项不为零。,下面介绍书上P168方法,改进节点法的一般形式（核心思想是矩阵的分块处理）,把网络中的元件分成三组（三类），,1类）压控型元件且其电流不是控制量（用导纳描述的元件，这些元件只需选节点电压为方程的变量，不必选支路电流为变量）,2类）非压控型元件和电流为控制量的压控型元件（不用导纳描述的元件，如独立电压源、VCVS、CCVS、CCCS等和需要支路电流作为输出量的元件，如电感、互感元件）,3类）独立电流源；,则KCL方程为,对应每一类的关联矩阵分别为A1、A2、A3

20、 ，也就是A分成了三个子块。 相应的支路电压电流列向量分别记为 U1、I1， U2、I2， U3、I3，,则KVL方程为,支路方程为,第一组（压控支路电流非控制量）,第二组（非压控支路或电流为控制量的压控支路）,第三组独立电流源,令：,线性网络改进节点法方程的一般形式,代入KCL方程,为压控支路（非控制量）部分的节点导纳阵，无伴电压源除外,它们的性质和形成方法与前述节点法形成的节点导纳阵和等效电流源向量 的方法完全相同。,是等效电流源向量,如果没有附加电流变量，改进节点法便退化为节点法,由于方程组的未知变量由节点电压和支路电流组成，系数矩阵中的元素既有导纳，又有阻抗，以及无量纲的量，所以又称该

21、方程组为混合方程组,P179 例472,例1 用改进节点法列写图示电路的改进节点电压方程。,解 图中两个电压源为流控元件,故应将相应电流作为附加变量。分别对各独立节点列写 KCL 方程,并考虑到各电导的 VAR ,得,相应的附加方程为,将以上诸式写成矩阵形式,得改进节点电压方程为,5行1列为1,例4 列写图示通用阻抗变换器网络的改进节点电压方程。,P169 例471 多口元件的MNA,前四个支路表示两个运算放大器,解 网络的有向图如图所示。,两个运放的方程写在一个矩阵中为,两个输入和输出支路的电流都应选为附加电流。,用其他方法，比如本科知识可列,增补方程,非线性电阻网络的改进节点法（P172！

22、）,把网络中的元件分成三组，对应关联矩阵A的三个子块A1、A2、A3 。,1）压控型元件,2）非压控型元件,3）独立电流源；,相应的支路电压电流列向量分别记为U1、I1， U2、I2， U3、I3，,则KCL方程为,则KVL方程为,支路方程为,第一组,第二组,第三组,经与前面类似的推导得非线性电阻网络的改进节点法方程。,生成改进节点法方程的添加支路法（P172P175 ！ ）,把各支路元件对方程的贡献以送值表的形式依次送入。这种方法较简单实用，便于在计算机上生成改进节点法方程。如用可查阅。,按改进节点法方程，,改进的节点法本质上是矩阵的分块处理。手算可以采用任何一种，甚至可以采用观察法（直观法

23、）！,简记为,建立方程的方法：以元件的送值表为依据，逐一元件对系数矩阵及右端项的贡献，直接形成方程。,第一类导纳描述元件对方程系数矩阵的贡献以及第三类电流源对右端向量的贡献，与前面讲的节点法相同。关键是第二类非导纳描述的元件如何填写：要添加未知电流变量,对单口元件：根据每个元件的支路特性方程和支路电流 变量，在已形成的系数矩阵基础之上，增 加一行一列。 新增加的行表示元件的特性方程， 新增加的列表示元件支路电流对节点电流的贡献,对二端口元件：（如CCVS)需要用二个特性方程描述，应选取两个支路电流作为新添变量，并增加二行二列。P171 送值表,小结：用改进节点法建立方程的基本步骤：,2）把独立

24、源的贡献送入右端向量S中，形成n维电流源向量,3）对第二类非导纳描述的元件，按照送值表的规律，每处理一个元件，在已形成的系数矩阵基础之上，至少增加一行一列，形成,1）先把用导纳描述的第一类元件对系数矩阵的贡献填入到H中，形成导纳子矩阵 ，假定独立节点数为n, 是n阶方阵,例,4-5.约束网络法（P158）,基本思想：是先建立无约束网络的节点电压方程，然后再逐一考虑接入约束元件后节点电压方程的变化 受约束网络：包含VCVS和/或零器（零口器和非口器）的网络，这类元件叫约束元件,请自己看！,对含运放（VCVS)的电路，抓住“虚短”和“虚断” 的处理方法，当然加入零口器有类似的作用。,了解零口器和非

25、口器的作用及组合电路的等效电路 P160,45 约束网络法,一、常见元件的R零器等效电路,定义： 由电阻R和零器构成的元件的等效电路。,常用元件的 R零器等效电路如图,零器组合的等效电路如图,二、约束网络法,适用范围 由压控型支路、 VCVS 和或零口器与非口器组成的网络,受约束网络,无约束网络,约束元件,含有VCVS 和或零器的整个网络,移去全部 VCVS 和零器后所得的网络,VCVS 、零口器和非口器,约束网络法的基本思想,设接入 VCVS前的网络(也称无约束网络)的节点电压方程为,先建立无约束网络的节点电压方程,然后再逐一考虑接入约束元件后节点电压方程的变化。,1、接入 VCVS 的影响

26、,或者,返回P34,接入一个接地 VCVS 后,接入一个接地 VCVS 后, 只对第j个节点的节点电压方程有影响 。,代入上述无约束网络的节点电压方程，并消去第j个方程，得下列受约束网络的节点电压方程,且有,接入一个接地 VCVS 后的电路方程,或简记为,规则,2、接入零口器的影响,节点导纳矩阵变换规则,: 接入一个零口器将使变量数比方程数少1,当第j个节点为参考点时 直接消去第k列,接入零口器对节点电流列向量没有影响,第k列加到第j列，消去第k列,3、接入非口器的影响,在网络j和k两节点之间接入一个非口器，,设注入节点j的电流为,则方程,变为,则仅对节点j和k的节点电压方程有影响。,3、接入

27、非口器的影响（续）,消去电流, 则方程变为,节点导纳矩阵,节点电流源列向量,当第k个节点接地时，,: 接入一个非口器将使方程数比变量数少1,直接消去 的第j行，,消去 的第j个元素,第j行加到第k行上，消去第j行,第j个元素加到第k个元素上，消去第j个元素,变换规则,每接入一个零器将使节点导纳矩阵降低一阶。,零器组合的等效电路,约束网络法例题,例 用约束网络法求如图所示网络的电压比,解,直接观察可写出对应的无约束网络的节点导纳矩阵为,无约束网络,接入VCVS,将第5列乘以后加到第4列上，删去第5行和第5列,接入理想运放,在节点3和地之间接入一个零口器在节点4和地之间接入一个非口器,划去第3列和

28、第4行,求解得,则,节点电压方程,4-9 端口分析法,端口分析法既适用于线性网络，又适用于非线性网络。该方法的突出优点是其灵活性。,基本思路：就是把不易处理的元件从网络中抽出跨接在端口上，使留在网络中的部分简化，以便分析处理。,我们可以把储能元件、高阶元件、非线性元件等抽出跨接在端口上，使生成一个电阻多口网络。可以由具体问题决定抽出元件。,如果抽出跨接在端口上的元件是压控型的，取电压为自变量，称为电压端口；如果抽出跨接在端口上的元件是流控型的，取电流为自变量，称为电流端口；以电压端口的电压和电流端口的电流为自变量，写出多口网络的混合参数方程，并与电压端口和电流端口的元件方程（元件的赋定关系）联立，则可得到一组以电压端口的电压和电流端口的电流为变量的网络方程。,1.线性电阻网络实例,如果抽出的是线性电阻,设n端口网络中的电流端口的电流为I1、 电压为U1；电压端口的电压为U2、电流为I2 ；设n端口网络的混合参数方程存在。则n端口网络混合参数方程为,端口的元件方程为,代入化简得,这就是端口分析法方程（共n个方程）,2.非线性电阻网络说明,则n端口网络混合参数方程为,代入得,这一步是要用叠加定理的，但非线性元件跨接在端口上，没有影响！可见方法的灵活性！,