第四章 线性系统的根轨迹法ppt课件.ppt
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1、第四章 根轨迹法,4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-4 系统性能的分析,根轨迹法概述控制系统设计的主要方法之一;确定闭环系统的零点、极点的分布与开环传递函数零点、极点的关系;研究分析系统参数的变化对系统特征根的影响;根轨迹是一种图解法,它是根据系统开环传递函数的零点、极点分布情况,用作图法简便的求得闭环系统的特征根与系统参数值(如开环增益)间的关系。,4-1 根轨迹法的基本概念,开环传递函数系统特征方程,根轨迹的概念 开环传递函数中某个参数(通常是开环增益)从零到无穷大变化时,系统特征根在s平面上移动的轨迹根轨迹。 它是直接利用开环传递函数分析闭环特征
2、根及其性能的图解法。 例已知系统开环传递函数 ,讨论闭环极点的分布情况(0K)。,可得闭环极点的变化情况: K=0s1=0,s2=-4(也是开环极点)0K1s1,s2为不等的负实根K=1s1=-2 s2=-2(重根)K=2s1=-2+2j,s2=-2-2j1K s1 s2 实部均为-2K=s1=-2+j, s2=-2-j,注在s平面上,用箭头标明K增大时闭环特征根移动的方向,以数值表明某极点处的增益大小。,根轨迹图可以分析系统的各种性能:稳定性: 根轨迹均在s的左半平面,则系统对所有k0的值是稳定的。稳态性能:如图有一个开环极点s=0,说明属于I型系统,阶跃作用下的稳态误差为0。动态性能:过阻
3、尼 临界阻尼 欠阻尼。 K越大,阻尼比越小,超调量%越大。,根轨迹与系统性能根轨迹是利用K为参变量画出来的,利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能指标的影响。根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置, 在根轨迹图上确定出可变参数的大小,便于系统设计和综合。,问题根轨迹与系统性能之间有着密切的联系,但是直接用解闭环特征方程(一元高次方程)的根的办法来绘制根轨迹是很困难的。如何绘制闭环根轨迹? 绘制闭环根轨迹的思路:通过一些绘图规则由开环传递函数直接绘制闭环根轨迹。,闭环零、极点与开环零、极点的关系开环传递函数闭环传递函数将前向通道传递函数和反馈通道传递函数表示为,开环传递函数闭环
4、传递函数zi为前向通道的零点pi为前向通道的极点zj为反馈通道的零点pj为反馈通道的极点,前向通道根轨迹增益,反馈通道根轨迹增益,开环系统根轨迹增益,结论闭环零点有前向通道零点和反馈通道极点构成,对于单位反馈系统,闭环零点就是开环零点。闭环极点与开环零点,开环极点及开环根轨迹增益有关。开环根轨迹增益与开环增益的区别开环根轨迹增益开环增益,根轨迹方程根轨迹方程 或 假设开环传递函数中有m个零点和n个极点,根轨迹方程两个条件:模值条件和相角条件根据复变函数理论可知模值条件相角条件,1,注相角条件是确定S平面上根轨迹的充要条件,即绘制根轨迹时,只需使用相角条件;当需要确定根轨迹上各点的 时,才使用模
5、植条件。,相角方程的物理意义 表示开环零点 指向闭环极点s所形成的向量与x正实轴的夹角; 表示开环极点 指向闭环极点s所形成的向量与x正实轴的夹角。,结论相角方程:所有开环零点指向任一闭环极点(根轨迹上任一点)的向量与正实轴的夹角之和减去所有开环极点指向同一闭环极点的向量与正实轴的夹角之和满足(2k+1),模值方程的物理意义,结论模值方程:所有开环零点指向任一闭环极点的向量的长度之积与所有开环极点指向同一闭环极点的向量的长度之积的比等于开环根轨迹增益倒数。,问题判断s1是否根轨迹上的点?根据相角条件判断某点是否在根轨迹上!,例 开环传函 ,用相角方程证明: 是系统的特征根,并求出此时的K*值。
6、 K*=1.5,4-2 常规根轨迹的绘制法则,常规根轨迹的绘制法则根轨迹的分支数,对称性和连续性 根轨迹的分支数与开环有限零点m和有限极n中的大者相同,他们是连续的并且对称于实轴。一般有nm,所以分支数=max(m,n)=开环极点个数=特征方程阶数根轨迹的起点与终点 K*=0 时对应的根轨迹的点称根轨迹的起点;K*=时对应的根轨迹的点称根轨迹的终点。根轨迹起于开环极点,终于开环零点。若开环零点数m小于开环极点数n,则有n-m条根轨迹终于无穷远处。,根轨迹在实轴上的分布情况实轴上某线段右边的开环零、极点总数为奇数时,则这段实轴为根轨迹上的点。 对实轴根轨迹上任一点s1来说,其左边的开环零、极点到
7、s1点的相角总是0,对相角方程没影响。其右边的开环零、极点到s1点的相角总是,因而只有奇数个开环零、极点才会满足相角方程。共轭零极点到s1点的相角之和总是0或2 。,根轨迹的渐近线当开环极点数n大于开环零点数m,有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为 和交点为 的一组渐进线趋向无穷远处。例,根轨迹的分离点与分离角分离点: l条根轨迹分支在s平面上相遇后又分开的点,称为根轨迹的分离点(或会合点)用d表示。分离点对应系统特征方程的重根,这时(一般地)系统为临界阻尼。根轨迹的分离点或出现在实轴上,或共轭成对地出现在复平面中,但以实轴分离点最为常见,分离点计算公式:对于低阶特征方程,亦可直接解特征方程,
8、亦可对特征方程求导等于0获取。,例1开环传递函数解 ,n = 2,没有零点,由可知亦可直接用特征方程求取得K=1,s=-1,注由分离点公式求出d后,一定要进行检查,应舍弃不在根轨迹上的点d。,例2开环传递函数解显然d2不在根轨迹上,应舍弃。,-1+j,-1-j,-1,-2,-3,-4,j,注仅由两个极点(实数或复数)和一个有限零点组成的开环系统。只要有限零点没有位于两个实数极点之间。当k* 从0变到无穷大时,闭环根轨迹的复数部分是以有限零点为圆心,以有限零点到分离点的距离为半径的圆或圆的一部分。,问题如何判断实轴上的分离点?若实轴上两个相邻开环极点之间是根轨迹,则这两极点之间至少存在一个分离点
9、。若实轴上两个相邻开环零点之间是根轨迹,则这两零点之间至少存在一个分离点(其中一个零点可以是无限大零点)。,分离点处根轨迹分支间的夹角如果有l条根轨迹进入分离点,必然有l条根轨迹分支离开分离点。根轨迹分支进入分离点的切线与离开分离点的切线方向夹角称为分离角,用 表示,则,例3设系统结构图与开环零、极点分布如图所示,试绘制其概略根轨迹。解由法则3,实轴上区域0,-1和-2,-3是根轨迹。由法则1,该系统有三条根轨迹分支,且对称于实轴。由法则2,一条根轨迹分支起于开环极点(0),终于开环有限零点(-1),另两条根轨迹起于开环极点(-2)和(-3),终于无穷远处(无限零点)。由法则4,两条终于无穷的
10、根轨迹的渐近线与实轴交角为90和270交点坐标为,由法则5,实轴区域-2,-3必有一个根轨迹的分离点d,它满足下述分离点方程:考虑到d必有-2和-3之间,初步试探时,设d=-2.5, 算出因方程两边不等,所以d=-2.5不是欲求的分离点坐标。现在重取d=-2.47,方程两边近似相等,故本例d-2.47,最后画出系统概略根轨迹。,根轨迹的起始角与终止角(针对有开环复数极点或开环复数零点情况)起于开环复极点的根轨迹,在起点处的切线与正实轴的夹角 , 称为根轨迹的起始角。终止于开环复零点的根轨迹,在终点处的切线与正实轴的夹角 , 称为根轨迹的终止角。,起始角和终止角可按以下公式求出起始点和终止点有多
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