第四章 线性系统的根轨迹法ppt课件.ppt

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1、第四章 根轨迹法,4-1 根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹4-4 系统性能的分析,根轨迹法概述控制系统设计的主要方法之一；确定闭环系统的零点、极点的分布与开环传递函数零点、极点的关系；研究分析系统参数的变化对系统特征根的影响；根轨迹是一种图解法，它是根据系统开环传递函数的零点、极点分布情况，用作图法简便的求得闭环系统的特征根与系统参数值（如开环增益）间的关系。,4-1 根轨迹法的基本概念,开环传递函数系统特征方程,根轨迹的概念 开环传递函数中某个参数（通常是开环增益）从零到无穷大变化时，系统特征根在s平面上移动的轨迹根轨迹。 它是直接利用开环传递函数分析闭环特征

2、根及其性能的图解法。 例已知系统开环传递函数 ，讨论闭环极点的分布情况(0K)。,可得闭环极点的变化情况： K=0s1=0，s2=-4（也是开环极点）0K1s1，s2为不等的负实根K=1s1=-2 s2=-2（重根）K=2s1=-2+2j，s2=-2-2j1K s1 s2 实部均为-2K=s1=-2+j， s2=-2-j,注在s平面上，用箭头标明K增大时闭环特征根移动的方向，以数值表明某极点处的增益大小。,根轨迹图可以分析系统的各种性能：稳定性: 根轨迹均在s的左半平面，则系统对所有k0的值是稳定的。稳态性能：如图有一个开环极点s=0，说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。动态性能：过阻

3、尼 临界阻尼 欠阻尼。 K越大，阻尼比越小，超调量%越大。,根轨迹与系统性能根轨迹是利用K为参变量画出来的，利用根轨迹可以直观的分析K的变化对系统性能指标的影响。根据性能指标的要求可以很快确定出系统闭环特征根的位置, 在根轨迹图上确定出可变参数的大小，便于系统设计和综合。,问题根轨迹与系统性能之间有着密切的联系，但是直接用解闭环特征方程（一元高次方程）的根的办法来绘制根轨迹是很困难的。如何绘制闭环根轨迹？ 绘制闭环根轨迹的思路：通过一些绘图规则由开环传递函数直接绘制闭环根轨迹。,闭环零、极点与开环零、极点的关系开环传递函数闭环传递函数将前向通道传递函数和反馈通道传递函数表示为,开环传递函数闭环

4、传递函数zi为前向通道的零点pi为前向通道的极点zj为反馈通道的零点pj为反馈通道的极点,前向通道根轨迹增益,反馈通道根轨迹增益,开环系统根轨迹增益,结论闭环零点有前向通道零点和反馈通道极点构成，对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。闭环极点与开环零点，开环极点及开环根轨迹增益有关。开环根轨迹增益与开环增益的区别开环根轨迹增益开环增益,根轨迹方程根轨迹方程 或 假设开环传递函数中有m个零点和n个极点,根轨迹方程两个条件：模值条件和相角条件根据复变函数理论可知模值条件相角条件,1,注相角条件是确定S平面上根轨迹的充要条件，即绘制根轨迹时，只需使用相角条件；当需要确定根轨迹上各点的 时，才使用模

5、植条件。,相角方程的物理意义 表示开环零点 指向闭环极点s所形成的向量与x正实轴的夹角； 表示开环极点 指向闭环极点s所形成的向量与x正实轴的夹角。,结论相角方程：所有开环零点指向任一闭环极点（根轨迹上任一点）的向量与正实轴的夹角之和减去所有开环极点指向同一闭环极点的向量与正实轴的夹角之和满足（2k+1）,模值方程的物理意义,结论模值方程：所有开环零点指向任一闭环极点的向量的长度之积与所有开环极点指向同一闭环极点的向量的长度之积的比等于开环根轨迹增益倒数。,问题判断s1是否根轨迹上的点?根据相角条件判断某点是否在根轨迹上！,例 开环传函 ，用相角方程证明： 是系统的特征根，并求出此时的K*值。

6、 K*=1.5,4-2 常规根轨迹的绘制法则,常规根轨迹的绘制法则根轨迹的分支数，对称性和连续性 根轨迹的分支数与开环有限零点m和有限极n中的大者相同，他们是连续的并且对称于实轴。一般有nm，所以分支数=max(m,n)=开环极点个数=特征方程阶数根轨迹的起点与终点 K*=0 时对应的根轨迹的点称根轨迹的起点；K*=时对应的根轨迹的点称根轨迹的终点。根轨迹起于开环极点，终于开环零点。若开环零点数m小于开环极点数n，则有n-m条根轨迹终于无穷远处。,根轨迹在实轴上的分布情况实轴上某线段右边的开环零、极点总数为奇数时，则这段实轴为根轨迹上的点。 对实轴根轨迹上任一点s1来说，其左边的开环零、极点到

7、s1点的相角总是0，对相角方程没影响。其右边的开环零、极点到s1点的相角总是，因而只有奇数个开环零、极点才会满足相角方程。共轭零极点到s1点的相角之和总是0或2 。,根轨迹的渐近线当开环极点数n大于开环零点数m，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为 和交点为 的一组渐进线趋向无穷远处。例,根轨迹的分离点与分离角分离点： l条根轨迹分支在s平面上相遇后又分开的点,称为根轨迹的分离点（或会合点）用d表示。分离点对应系统特征方程的重根，这时（一般地）系统为临界阻尼。根轨迹的分离点或出现在实轴上，或共轭成对地出现在复平面中，但以实轴分离点最为常见，分离点计算公式：对于低阶特征方程，亦可直接解特征方程，

8、亦可对特征方程求导等于0获取。,例1开环传递函数解 ，n = 2，没有零点，由可知亦可直接用特征方程求取得K=1，s=-1,注由分离点公式求出d后，一定要进行检查，应舍弃不在根轨迹上的点d。,例2开环传递函数解显然d2不在根轨迹上，应舍弃。,-1+j,-1-j,-1,-2,-3,-4,j,注仅由两个极点(实数或复数)和一个有限零点组成的开环系统。只要有限零点没有位于两个实数极点之间。当k* 从0变到无穷大时,闭环根轨迹的复数部分是以有限零点为圆心,以有限零点到分离点的距离为半径的圆或圆的一部分。,问题如何判断实轴上的分离点?若实轴上两个相邻开环极点之间是根轨迹，则这两极点之间至少存在一个分离点

9、。若实轴上两个相邻开环零点之间是根轨迹，则这两零点之间至少存在一个分离点（其中一个零点可以是无限大零点）。,分离点处根轨迹分支间的夹角如果有l条根轨迹进入分离点,必然有l条根轨迹分支离开分离点。根轨迹分支进入分离点的切线与离开分离点的切线方向夹角称为分离角,用 表示，则,例3设系统结构图与开环零、极点分布如图所示，试绘制其概略根轨迹。解由法则3，实轴上区域0,-1和-2,-3是根轨迹。由法则1，该系统有三条根轨迹分支，且对称于实轴。由法则2，一条根轨迹分支起于开环极点(0)，终于开环有限零点(-1)，另两条根轨迹起于开环极点(-2)和(-3)，终于无穷远处（无限零点）。由法则4，两条终于无穷的

10、根轨迹的渐近线与实轴交角为90和270交点坐标为,由法则5，实轴区域-2,-3必有一个根轨迹的分离点d，它满足下述分离点方程：考虑到d必有-2和-3之间，初步试探时，设d=-2.5, 算出因方程两边不等，所以d=-2.5不是欲求的分离点坐标。现在重取d=-2.47,方程两边近似相等，故本例d-2.47，最后画出系统概略根轨迹。,根轨迹的起始角与终止角(针对有开环复数极点或开环复数零点情况)起于开环复极点的根轨迹，在起点处的切线与正实轴的夹角 , 称为根轨迹的起始角。终止于开环复零点的根轨迹，在终点处的切线与正实轴的夹角 , 称为根轨迹的终止角。,起始角和终止角可按以下公式求出起始点和终止点有多

11、重零极点怎么办?,根轨迹与虚轴的交点（在虚轴上为临界稳定） 根据 必然是根轨迹方程 的解，然后由即可求得 ，也就是根轨迹与虚轴的交点及系统临界稳定时的开环增益。第三章方法：如果根轨迹与虚轴有交点，则劳斯计算表中必出现全为零行，由辅助方程确定交点，进而求得开环增益K。,例4设系统系统开环传递函数为 试绘制该系统概略根轨迹。解将开环零、极点画出，按如下典型步骤绘制根轨迹： （1）确定实轴上的根轨迹。实轴上0,-1.5和-2.5,-为根轨迹。 （2）确定根轨迹的渐近线。在n-m1的情况下，不必再去确定根轨迹的渐近线。 （3）确定分离点。本例无分离点。 （4）确定起始角和终止角。根轨迹在极点(-0.5

12、,+j1.5)处的起始角为根据对称性，根轨迹在极点(-0.5,j1.5)处的起始角为79。类似方法可得根轨迹在(-2,+j)处的终止角为149.5。,闭环极点的和与积 设闭环控制系统的特征方程式为开环增益K的求取 每条根轨迹上的任何一点，都是对应于某一k*值的闭环极点，应在根轨迹上按模值方程确定。,例5设系统系统开环传递函数为 试绘制该系统概略根轨迹。解将开环零、极点画出，按如下典型步骤绘制根轨迹： （1）确定实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹为0,-3区间。 （2）确定根轨迹的渐近线。n-m=4条，渐近线与实轴正方向的夹角以及与实轴的交点 （3）确定分离点。,分离角 （4）确定起始角和终止角。由根

13、轨迹的对称性可知,（6）根轨迹与虚轴的交点令 代入实部和虚部都为0得,闭环极点的确定 每条根轨迹上的任何一点，都是对应于某一K*值的闭环极点，应在根轨迹上按模值方程确定。 较简便的方法：对于特定的K*值的闭环极点，使用试验法确定实轴上的闭环极点的数值，然后用综合除法或根之和根之积的代数方法确定其余的闭环极点。,例6系统结构如图所示（1）绘制系统的根轨迹；（2）确定无超调响应的K值范围及分离点处闭环传递函数。解（1）开环传递函数为（2）n2，m1有两个根轨迹分支。渐近线有nm1条,（3）求分离点求系统无超调对应的K*范围（即闭环特征根位于负实轴上）分析（1）根轨迹在离开分离点d2之前（2）根轨迹

14、在进入分离点d1之后系统的两个极点都位于负实轴上。故应求两点处的K*的值。（4）由模值方程,所以系统无超调对应的K范围为 （5）在分离点d1处，K*=11.65,思考题？闭环特征方程为s3+2s2+s+K*=0，绘制系统根轨迹。,例7系统的开环零极点分布如图所示，概略绘制系统的闭环根轨迹。解 （1）4条渐近线与实轴交点与夹角为,（2）求分离点，利用直接对特征方程求导的方式所以分离点为：d1d2d310。 （3）求起始角,（4）求与虚轴交点，将 带入特征方程得,演变情形,附：几类典型的概略根轨迹,绘制根轨迹的法则,法则 4 渐近线,法则 2 根轨迹的起点和终点,法则 1 根轨迹的分支数，对称性和

15、连续性,法则 3 实轴上的根轨迹,法则 8 根之和,法则 5 分离点,法则 7 与虚轴交点,法则 6 出射角/入射角,4-3 广义根轨迹,以开环根轨迹增益K*为可变参数绘制的根轨迹为常规根轨迹。广义根轨迹分为参数根轨迹和零度根轨迹。可变参数可以是控制系统中的任何一个参数。如果引入等效开环传递函数的概念，广义根轨迹的绘制方法与常规根轨迹完全相同。,参数根轨迹在绘制系统的根轨迹时，并非只能以开环增益为可变参量，实际上对绘制根轨迹所选的参数可按需要加以选择，并称以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹为参数根轨迹。绘制步骤将系统的特征方程整理成如下形式的根轨迹方程，即按绘制180或0根轨迹规则绘制。,（特

16、征方程意义上的）等效开环传递函数,开环零点作变化时的根轨迹例1设系统结构图如图所示，试绘制Kt由0时的根轨迹。解（1）系统开环传递函数为闭环传递函数为,闭环特征方程为 （2）构造与原系统具有相同特征方程的新系统,K的作用？,注利用等效开环传递函数绘制的根轨迹，只能确定控制系统的闭环极点，对系统进行稳定性分析，动态性能定性。原系统与等效后的新系统的输出响应是不同的，若求根轨迹某点处的稳态误差和输出响应，必须用原系统的结构。,开环极点变化时的根轨迹例2已知单位反馈系统的开环传递函数其中K及T均为给定值，试绘制从零变到无穷时的根轨迹。解（1）系统的特征方程 ，即 则等效开环传递函数,（2）对于等效开

17、环传递函数有若 ，则 有两个复极点为 （3）由于m=3，n=2，mn，则分支数就不能为n，而只能为m。 （4）求与虚轴的交点,例3设系统的特征方程为1. 确定系统稳定的a值；2. 绘制a8，9，10，0.5时系统的根轨迹。解1. 用劳斯判据容易得出系统稳定的a值范围为：a1。2. 构造等效开环传递函数当a8 ，两条渐近线交点：分离点：由分析可知根轨迹无分离点。,求与虚轴交点，由特征方程 得 根轨迹与虚轴无交点。,当a9，特征方程为两条渐近线交点：分离点：由分析可知根轨迹的分离点为重极点，即三条根轨迹分支相交于求与虚轴交点，除在s=0外，根轨迹与虚轴无交点。,当a10，特征方程为两条渐近线交点：

18、分离点：由分析可知根轨迹的分离点是有效的。求与虚轴交点，除在s=0外，根轨迹与虚轴无交点。,当a0.5，特征方程为两条渐近线交点：分离点：由分析可知分离点不在根轨迹上，无分离点。求与虚轴交点，除在s=0外，根轨迹与虚轴无交点。,零度根轨迹正反馈的特征方程为 ，即 模值方程为相角方程为,注 负反馈系统的根轨迹为180根轨迹 正反馈的根轨迹称为零度根轨迹修改绘制根轨迹的法则（只要修改与相角方程有关的部分）实轴上的根轨迹 在实轴上自右向左数,凡偶数零极点左边的一段实轴是根轨迹，第一个零极点右边的实轴也是根轨迹。根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角 应改为 180根轨迹,计算根轨迹起始角与终止角的公式应改为

19、:（只有复数极点与复数零点才有起始角与终止角）根轨迹与虚轴的交点其它法则与180根轨迹法则完全相同,例设正反馈系统的开环传递函数为，绘制根轨迹。解开环极点S1=-3，S2=-1+j，S3=-1-j。开环零点数Z1=-2。（1）有三条根轨迹，2条渐近线（2）实轴上的根轨迹-2,+),(-,-3 。(实轴上从右向左数,凡偶数零极点左边的一段是根轨迹,第一个零极点右边的实轴也是根轨迹。）（3）根轨迹的起始角,（4）根轨迹的分离点坐标 （5）坐标原点对应的根轨迹增益为临界值，可由模值方程求出,说明当01时，将有一个闭环极点分布在s平面的右半平面，系统不稳定。当0K0.63时，阶跃响应为衰减振荡曲线，为

20、欠阻尼系统。,判断下列系统是0 或180根轨迹？,4-4 系统性能的分析,主导极点：接近虚轴的且不十分接近闭环零点的闭环极点称为主导极点。系统的动态性能基本由主导极点确定。偶极子：相距很近的一对闭环零，极点称为偶极子。不十分接近原点的偶极子对系统动态性能的影响很小。,利用根轨迹求出闭环零、极点位置，则可定性分析系统性能。稳定性 如果闭环极点全部位于S左半平面，则系统一定稳定。稳定性仅与闭环极点位置有关，与闭环零点无关。运动形式 如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点均为复数形式，则时间响一定是振荡的。超调量 超调量主要取决于闭环复数主导极点的衰减率 ,并与其他闭环零,极点接近坐标原点的程度有关。,调节时间 调节是时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值。实数零,极点影响 零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极点增大系统阻尼，超调量减小。影响的程度随它们接近原点而加强。,例1已知系统结构图（1）绘制根轨迹（ ）（2）求系统无超调，且系统具有最快响应的闭环传递函数。（3）求系统的最小阻尼比。解（1）构造一个与原系统具有相同特征方程的新系统,（2）K0为180度根轨迹，K0为0度根轨迹。分离点：,（3）由题意可知，要求确定分离点处d2的闭环传递函数，先求出此点的K值：,（4）最小阻尼比意味最大 角，做射线如图,