高等数学 无穷级数ppt课件.ppt
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1、无穷级数,第一节 数项级数及其敛散性第二节 幂级数,一、常数项级数及其敛散性 1常数项级数的概念定义1 设给定一个数列 则表达式 (111) 称为常数项无穷级数,简称数项级数,记作 即 其中第n 项 称为一般项或通项,第一节 常数项级数及其敛散性,例如,级数 的一般项为又如级数的一般项为 简言之,数列的和式称为级数.定义2 设级数的前项之和为 称Sn为级数的前项部分和当依次取1,2,3,时,,新的数列 , ,数列 称为级数 的部分和数列若此数列的极限存在,即 (常数),则S 称为 的和,记作此时称级数 收敛如果数列 没有极限,则称级数 发散,这时级数没有和,当级数收敛时,其部分和 是级数和S的
2、近似值,称 为级数的余项,记作 ,即 例1 判定级数 的敛散性.解 已知级数的前n项和是:,因为 ,所以这个级数收敛,其和为1.,例3 讨论等比级数(也称几何级数)的敛散性.,解 (1) 前n项和当 时, ,所以级数 收敛,其和当 时, 所以级数 发散.(2) 当 时, 于是,所以级数 发散. 当 时, ,其前n项和显然,当n时,Sn没有极限.所以,级数 发散.综上所述,等比级数 ,当 时收敛, 当时发散.结论记住,注意 几何级数 的敛散性非常重要.无论是用比较判别法判别级数的敛散性,还是用间接法将函数展开为幂级数,都经常以几何级数敛散性为基础.,2数项级数的基本性质 性质1 如果级数 收敛,
3、其和为s, k为常数,则级数 也收敛,其和为ks;如果级数 发散,当k0时,级数 也发散.由此可知,级数的每一项同乘以不为零的常数后,其敛散性不变. .,性质2 若级数 与 分别收敛于与 ,则级数 ,收敛于性质3 添加、去掉或改变级数的有限项,级数的敛散性不变.性质4 若级数 收敛,则对其各项间任意加括号后所得的级数仍收敛,且其和不变.应当注意,性质4的结论反过来并不成立.即如果加括号后级数收敛,原级数未必收敛. .,例如级数 (1-1)+(1-1)+(1-1)+显然收敛于零,但级数1+1-1+1-1+却是发散的.,性质5(级数收敛的必要条件) 若级数 收敛,则 例5判别级数 的敛散性解 因为
4、所以级数 发散. 例6判别级数 的敛散性.,解 级数 与级数 都收敛,故由性质2知,级数 收敛.注意 性质5可以用来判定级数发散:如果级数一般项不趋于零,则该级数必定发散.应当看到,性质5只是级数收敛的必要条件,并不是级数收敛的充分条件,也就是说,即使 ,也不能由此判定级数 收敛.下面的例正说明了这一点: ,但级数 发散.,例7 证明调和级数 是发散级数.证 调和级数部分和 如图,考察曲线,,所围成的曲边梯形的面 积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系. 所以,阴影部分的总面积为它显然大于曲边梯形的面积S,即有,而 ,表明A的极限不存在,所以该级数发散.,二、正项级数及其敛散性如果 0(n=
5、1,2,3),则称级数 为正项级数 定理1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.例1 证明正项级数 是收敛的证 因为于是对任意的有,即正项级数的部分和数列有界,故级数 收敛.定理2(比较判别法) 设 和 是两个正项级数,且 (1)若级数 收敛,则级数 也收敛; (2)若级数 发散,则级数 也发散.,例2 讨论 级数 ( )的敛散性 (证明了解,结论)解 当 时, ,因为 发散,所以由比较判别法知,当 时,发散.当 时,顺次把 级数的第1项,第2项到第3项,4到7项,8到15项,加括号后得它的各项显然小于级数,对应的各项,而所得级数是等比级数,其公比为 ,故收敛,于是当 时,级数 收
6、敛.综上所述, 级数 当 时发散,当 时收敛.注意 级数在判断正项级数的敛散性方面经常用到,因此有关 级数敛散性的结论必须牢记.,例3判定级数 的敛散性. 解 因为级数的一般项 满足而级数是p2的 级数,它是收敛的,所以原级数也是收敛的.,重要参照级数:,等比级数, p-级数。,定理3 比较判别法的极限形式:,注:,须有参照级数.,比较审敛法的不方便,解,发散.,故原级数收敛.,定理4(达朗贝尔比值判别法) 设 是一个正项级数,并且 ,则 (1)当 时,级数收敛; (2)当 时,级数发散; (3)当 时,级数可能收敛,也可能发散.例6 判别下列级数的敛散性 (1) ; (2),解 (1) 所以
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