压电效应与压电方程课件.ppt

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1、wangclsdu.edu,1,压电效应与压电方程,Piezoelectric effectPiezoelectric equations,wangclsdu.edu,2,压电效应的基本现象石英晶体的压电效应，压电方程组压电常数与对称性压电晶体的切割,四类压电方程组，旋转坐标系，次级压电效应，压电常数之间的关系机电耦合系数,主要内容,wangclsdu.edu,3,压电效应的基本现象,通俗来说:压电效应是指材料在压力作用下产生电信号的效应;或者在电场作用下,材料发生机械形变的现象。压电效应有严格的定义，上述说法只是一个简单直观描述。压电效应由压电方程描写；材料的压电性由压电常数决定。,wang

2、clsdu.edu,4,压电效应的基本现象,晶体的介电常数、弹性常数与晶体的对称性密切相关。同样，压电常数也与晶体的对称性密切相关。因此不是从压电晶体上随意切下一块晶片，就能做压电元件，而是要根据该压电晶体的压电常数来设计晶片的切割。,wangclsdu.edu,5,正压电效应,当压电晶体受到外力而发生形变时，在它的某些表面上出现与外力成线性比例电荷积累，这个现象称为压电效应。是一种线性响应！,wangclsdu.edu,6,石英晶体的压电效应,现以石英晶体为例，因为石英晶体在1880年就发现了压电效应，是最早发现的压电晶体，也是目前最好的和最重要的压电晶体之一。石英晶体的最大特点是：性能稳定

3、，频率温度系数低（可以做到频率温度系数接近于零），在通讯技术中有广泛地应用。,wangclsdu.edu,7,图4-1：石英晶体属于六角晶系32点群，它的坐标系o-xyz。,wangclsdu.edu,8,光轴 电轴 机械轴,z轴与天然石英晶体的上、下顶角连线重合（即与晶体的C轴重合）。因为光线沿z轴通过石英晶体时不产生双折射，故称z轴为石英晶体的光轴。x轴与石英晶体横截面上的对角线重合（即与晶体的a轴重合），因为沿x方向对晶体施加压力时，产生的压电效应最显著，故常称x轴为石英晶体的电轴。z轴与z轴的方向规定后，y轴方向也就定了，如图4-1 a所示。y轴与石英晶体横截面对边的中点连线重合，常称

4、为机械轴。,wangclsdu.edu,9,在晶体x轴垂直的方向上，切下一块薄晶片，晶片面与x轴垂直，如图4-1b所示，称为x切割。更详细的说法是：如果晶片的厚度沿x轴方向，长度沿y方向，则称为xy切割。该晶片的长度为l，宽度为lw，厚度为lt，与x轴垂直的二个晶面上涂上电极，并与冲击电流计连接（测量电量用），如图4-1c所示。,wangclsdu.edu,10,现分别进行如下实验,（1）当晶片受到沿x轴方向的力Fx作用时，通过冲击电流计，可测出在x轴方向电极面上的电荷q(1)1。并发现x轴方向电极面上的电荷密度（q(1)1/llw）的大小与x轴方向单位面积上的力（Fx /llw）成正比，即：

5、,wangclsdu.edu,11,因为（q(1)1/llw）是极化强度分量P(1)1；（Fx/llw）为x方向的应力X1，于是得到,(4-1),式中，P(1)1为晶片只受到x方向的应力X1作用时，在x方向产生的极化强度分量，比例系数d11称为压电常数。,即：,wangclsdu.edu,12,（2）当晶片受到沿y方向的力Fy作用时，通过冲击电流计，可测出在x轴方向电极面上的电荷q(2)1，并发现x方向电极面上的电荷密度（q(2)1/llw）的大小与y方向单位面积上的力（Fx/lwlt）成正比，因为（q(2)1/llw）是极化强度分量P(2)1。,wangclsdu.edu,13,（Fy/lw

6、lt）为y方向的应力X2，于是有,式中，P(2)1为晶片只受到y方向的应力X1作用时，在x方向产生的极化强度分量，比例系数d12也称为压电常数。,即：,wangclsdu.edu,14,实验上还发现当X1=X2时，存在P(2)1= -P(1)1，由此可得d11=-d12，即石英晶体的压电常数d12的大小等于压电常数d11的负值。,wangclsdu.edu,15,wangclsdu.edu,16,（3）当晶片受到沿z方向的力Fz作用时，通过冲击电流计，并发现x方向电极面上不产生电荷。即有,(4-3),因为X30，故压电常数d13=0。由此可见，对于x切割的石英晶片，当z方向受到应力X3的作用时

7、，在x方向并不产生压电效应。,wangclsdu.edu,17,（4）当晶片受到切应力X4作用时，通过冲击电流计，可测出在x方向电极面上的面电荷密度（q(4)1/llw）= P(4)1，并发现P(4)1与X2成正，于是,(4-4),式中， P(4)1为晶片只受切应力X4作用时，在x方向产生的极化强度分量，比例系数d14称为压电常数。,wangclsdu.edu,18,wangclsdu.edu,19,（5）当晶片受到切应力X5或X6作用时，通过冲击电流计，并发现x方向电极面上不产生电荷，于是有,(4-5),因为X50，X60，故压电常数d15=0，d16=0，由此可见，对于x切割的石英晶片，当

8、受到切应力X5或X6的作用时，在x方向并不产生压电效应。,wangclsdu.edu,20,综合上述实验结果得到，选x方向为电极面，当电场E=0时，应力张量X对x方向的极化强度分量P1的贡献为：,wangclsdu.edu,21,当选y方向为电极面，重复上述实验，当电场E=0时，应力张量X对y方向的极化强度分量P2的贡献为：,（4-7）,即石英晶体的压电常数d25=-d14，d26=-2d11。,wangclsdu.edu,22,当选z方向为电极面，重复上述实验，当电场E=0时，应力张量X对z方向的极化强度分量P3的贡献为：,（4-8）,wangclsdu.edu,23,根据（4-6）、（4-

9、7）以及（4-8）式的结果，可得到石英晶体的正向压电效应表示式用矩阵表示为：,wangclsdu.edu,24,在压电物理中常用电位移D代替极化强度P，当电场E=0时，D=0E+P=P，电位移的三个分量：D1=P1，D2=P2，D3=P3。将这些关系代入到（4-9）式，即得到用电位移分量与应力分量表示的石英晶体正向压电效应的表示式为，,wangclsdu.edu,25,式中附标E表示电场强度E=0。,wangclsdu.edu,26,从以上两式式可以看出：（1）对于石英晶体不是在任何方向上都存在压电效应，只有在某些方向上，在某些力的作用下，产生才能出现正压电效应。例如，在石英晶体x方向，只有X

10、1、X2、X4作用时，才能在x方向压电效应，而X3、X5、X6不能在x方向压电效应。在石英晶体的z方向，不论在什么方向作用多大的力，都不能在z方向压电效应。,wangclsdu.edu,27,（2）石英晶体的独立压电常数只有d11与d14两个，它们的数值是：d11=-2.3110-12库仑/牛顿，d14= 0.7310-12库仑/牛顿。,wangclsdu.edu,28,对于一般的情况，例如属于三斜晶系1（C1）点群的压电晶体是完全各向异性的，独立的压电常数共有18个，用矩阵表示即为，,wangclsdu.edu,29,可见压电常数d的矩阵形式是一个三行六列矩阵，即d是一个三级张量。一般情况下

11、正压电效应的表示式为：,wangclsdu.edu,30,或简写为：,或：,wangclsdu.edu,31,逆压电效应 inverse effect,当晶体受到电场E的作用时，晶体产生与电场成线性比例的畸变，这个现象称为逆压电效应。逆压电效应的产生是由于压电晶体受到电场的作用时，在晶体内部产生应力，这个应力常称为压电应力。通过压电应力的作用，产生压电形变。仍以石英晶体为例说明如下。,wangclsdu.edu,32,（1）选用石英晶体的x切割晶片，以x面为电极面。当晶片只受到x方向的电场分量E1作用（应力张量X=0）时，分别在x方向和y方向产生应变x1和x2以及切应变x4，这些应变都与E1成

12、正比，即,其中下标X表示应力张量X=0。,wangclsdu.edu,33,（2）以y面为电极面，当晶片只受到y方向的电场分量E2作用时，分别产生切应变x5和x6，这些应变都与E2正比，即：,wangclsdu.edu,34,（3）以z面为电极面，当晶片只受到z方向的电场分量E3作用时，晶片不产生任何形变。综合上述结果，得到石英晶体的逆压电效应表示式，用矩阵表示为,wangclsdu.edu,35,逆压电效应,wangclsdu.edu,36,从上式可以看出：（1）对于石英晶体不是在任何方向上都存在逆压电效应，只有在某些方向，在某些电场作用下，才能产生逆压电效应。例如，当x方向电场分量E1作用

13、时，可产生压电形变x1和x2以及压电切应变x4。又如当z方向电场分量E3作用时，晶体不会产生任何形变。,wangclsdu.edu,37,（2）逆压电常数与正压电常数相同，并且一一对应。（3）有正压电效应方向就有相应的逆压电效应。晶体中那个方向上有正压电效应，则此方向上一定存在逆压电效应。,wangclsdu.edu,38,对于一般的情况，例如三斜晶系中的压电晶体，它的逆压电效应用矩阵表示即为，,wangclsdu.edu,39,transpose,将正压电效应方程式与逆压电效应方程式比较，可见逆压电效应表示式中，压电常数矩阵是正压电常数矩阵d的转置矩阵。常用表示dt。dt是一个六行三列的矩阵

14、，于是逆压电效应方程式可简写为,或,wangclsdu.edu,40,关于压电常数dni的意义,压电晶体与其它晶体的主要区别在于压电晶体的介电性质与弹性性质之间存在线性耦合关系，而压电常数就是反映这种耦合关系的物理量。,wangclsdu.edu,41,由（4-17）式可得，dni=(xi/En)X，即应力X为零时（或X为常数时），由于电场强度分量En的改变引起应变分量xi的改变与电场强度分量En的改变之比。或者说dni为应力为零时，压电晶体的应变分量xi随电场强度分量En的变化率。,wangclsdu.edu,42,由（4-13）式可得，dmj=(Dm/Xj)E，为电场强度为零时（或E为常数

15、时），由于应力分量Xj的改变引起电位移分量Dm的改变与应力分量Xj的改变之比。或者说dmj为电场强度为零时，压电晶体的电位移分量Dm随应力分量Xj的变化率。实验上常根据dmj=(Dm/Xj)E来测量压电晶体的压电常数dmj。,wangclsdu.edu,43,压电常数与对称性,wangclsdu.edu,44,与介电常数和弹性常数一样，晶体的压电常数也与晶体的对称性有关。不同的对称性的晶体，不仅压电常数的数值不同，而且独立的压电常数也不同。这一节的主要内容是如何根据不同类型的压电晶体的对称性，来确定它的压电效应和压电常数。先介绍晶体的对称性与电偶极矩分布；其次一石英晶体和钛酸钡晶体为例做进一步

16、的分析讨论。,wangclsdu.edu,45,晶体的对称性与电偶极矩分布,压电晶体物理性质的特点是，形变能使晶体产生极化（或者说能改变晶体的极化状态），而极化现象直接与电偶极矩的分布有关。因此可以通过晶体内部的电偶极矩分布与晶体对称性之间的关系来讨论晶体的压电性。,wangclsdu.edu,46,对称中心,具有对称中心的晶体是非压电晶体。如果具有对称中心的晶体在某一方向上存在电偶极矩，则根据对称中心的对称要求，也必定存在大小相等、方向相反的电偶极矩，如图4-3所示，这些一对对大小相等、方向相反的电偶极矩彼此抵消，对总极化无贡献。,wangclsdu.edu,47,具有对称中心的电偶极矩分布

17、图,wangclsdu.edu,48,晶体的任何形变也不能改变这个中心对称性质。所以，凡具有对称中心的晶体，肯定是非压电晶体。七大晶系32类点群中，有21类不存在对称中心，而这21类无对称中心的晶体中，除去属于432点群的晶体未发现有压电效应外，其余20类无中心对称的晶体具有压电效应，如表4-1所示。,wangclsdu.edu,49,对称面,设x面为对称面，根据对称面的对称性要求，当晶体的坐标由x-x、yy、zz时，晶体的性质应保持不变。如果在对称面的一侧，例如x方向，存在一个电偶极矩Px，则在对称面的另一侧，-x方向，也一定存在一个大小相等、方向相反的电偶极矩Px（如图4-4所示），才能满

18、足x面是对称面的对称性要求。,wangclsdu.edu,50,图4-4 具有对称面的电偶极矩分布图,wangclsdu.edu,51,可见垂直于对称面的方向上，电偶极矩的和等于零。但是，在平行于对称面方向上与垂直于对称面方向上的情况不一样。在平行于对称面方向上可以存在不等于零的电偶极矩，（这与对称面的对称性要求并不矛盾），就是说与对称面平行的电偶极矩P可以不等于零。,wangclsdu.edu,52,四阶旋转轴,设z轴为四阶轴，根据四阶轴的对称性要求，当晶体绕z轴转90后，xy，y-x；当晶体绕z轴转180后，x-x，y-y；当晶体绕z轴转270后，x-y，yx。晶体经过上述转动后，晶体的性

19、质应保持不变。如果在x方向存在电偶极矩，则在y方向、-y方向和-x方向上，也一定存在大小相等、方向相反的电偶极矩，如同4-5所示。,wangclsdu.edu,53,这样才能满足z轴是四阶轴的对称性要求。所以在x方向和y方向的电偶极矩等于零。而z 轴的情况与x轴和y轴不一样，在z轴方向上，可以存在不等于零的电偶极矩（这与z轴是四阶轴的对称性要求不矛盾）。就是说与四阶轴平行的电偶极矩可以不等于零。,wangclsdu.edu,54,图4-5 具有四阶轴的电偶极矩分布图,wangclsdu.edu,55,二阶轴、三阶轴、六阶轴的情况与四阶轴情况类似，即与二阶轴、三阶轴、六阶轴平行的电偶极矩可以不等

20、于零。 如果晶体同时存在对称面和某阶轴，则须结合对称面和某阶轴的对称性要求，综合分析讨论。,wangclsdu.edu,56,石英晶体的对称性与压电性,石英晶体（SiO2）所以能产生压电效应，是与石英晶体内部结构分不开的。组成石英晶体的硅离子Si4+与氧离子O2-在垂直于晶体z轴的xy 平面（或称为z平面）上的投影位置，如图4-6所示。,wangclsdu.edu,57,图4-6硅原子和氧原子在z平面上的投影位置，以及由于在x方向上受到压力或张力作用时，产生正压电效应示意图,wangclsdu.edu,58,当晶体未受到力的作用时，Si4+与O2-在xy 平面上的投影正好分布在六角形的顶点上，

21、如图4-6a所示，这时由Si4+与O2-所形成的电偶极矩大小相等，相互之间夹角为120，如图4-7所示。由于这些电偶极矩的矢量和等于零（即晶体的极化强度等于零），晶体表面不出现电荷。,wangclsdu.edu,59,当晶体受到x方向的压力Fx作用时，晶体在x方向被压缩，如图4-6b所示。这时由Si4+与O2-所形成的电偶极矩大小不等，相互之间夹角也不等于120了，如图4-7b所示。,wangclsdu.edu,60,由于这些电偶极矩在x方向上的分量和不等于零，在y方向上的分量和仍等于零，所以晶体在x面上出现电荷，即晶体在x方向出现正压电效应。同理，当晶体在x方向受到张力Fx作用时，晶体在x方

22、向被拉伸，如图4-6c所示，这时电偶极矩在x方向上的分量和也不等于零，在y方向上的分量和仍等于零，如图4-7c所示，所以晶体在x面上出现电荷（电荷的符号与压缩时相反），即晶体在x方向出现正压电效应。,wangclsdu.edu,61,图4-7 由-石英晶体的硅原子和氧原子所形成的电偶极矩分布图,wangclsdu.edu,62,在了解石英晶体的压电效应的机制之后，再回过头来讨论石英晶体的对称性与压电效应之间的关系 。石英晶体是属于三方晶系32点群，它的z轴是三阶轴，x轴是二阶轴。当晶体绕x轴转180后，z-z，y-y，但晶体的介电性质、弹性性质和压电性质都保持不变。如果，在z轴方向存在电偶极矩

23、，则当晶体绕x轴转180后，电偶极矩的方向就会从+z方向变为-z方向，于是晶体的性质就发生了变化。,wangclsdu.edu,63,这是与x轴是二阶轴的对称性要求相违背的，所以在z轴方向上电偶极矩等于零。而x轴的情况与z轴不一样，在x轴方向上可以存在电偶极矩。因为晶体的x轴是选定与晶体的a轴重合的，当晶体绕z轴转120或240后，x轴与另外两个电偶极矩重合，晶体的的性质不会发生任何变化，如图4-8所示。,wangclsdu.edu,64,图4-8,wangclsdu.edu,65,由此可见，x轴方向上存在电偶极矩与z轴是三阶轴的对称性要求不矛盾；与x轴是二阶轴的对称性要求不矛盾，就是说，属于

24、32点群的晶体，在其xy平面内，可以存在三个大小相等，互成120夹角的偶极矩。这是根据32点群晶体的对称性得到的结论。,wangclsdu.edu,66,当晶体受到应力X1或X2作用时，晶体在x方向、y方向和z方向都要产生伸长或缩短的形变。因为z方向的伸缩形变不能改变z方向电偶极矩等于零的状态，所以在z方向不出现压电效应，这就要求石英晶体的压电常数：d31=0，d32=0。,wangclsdu.edu,67,因为x方向的伸缩形变，能使P、P”、P在x方向的分量发生变化（例如形变前P、P”、P在x方向的分量和等于零，形变后在x方向的分量和不等于零），因而在x方向产生压电效应，这就要求石英晶体的压

25、电常数：d110，d120。,wangclsdu.edu,68,因为y方向的伸缩形变，不能改变P、P”、P在y方向的分量和等于零的状态，所以y方向的伸缩形变对压电效应无贡献，这就要求压电常数：d21=0，d22=0。当晶体受到应力X3作用时，晶体在z方向和x、y 方向也要产生伸长或缩短的形变，因为z方向的伸缩对压电效应无贡献，故压电常数d33=0。因为T3作用在x、y 方向产生相同的伸缩，不能改变原来P、P”、P的矢量和为零的状态，对压电效应无贡献，故压电常数d13=0，d23=0。,wangclsdu.edu,69,钛酸钡晶体的对称性与压电性,1942年发现钛酸钡陶瓷具有压电性后，1947年

26、成功制备钛酸钡单晶。钛酸钡是具有压电效应的铁电体，是继石英晶体之后发现的另一类重要的压电材料。它的发现和发展，在理论上和应用上都对压电铁电物理合材料起了促进作用。,wangclsdu.edu,70,室温时，钛酸钡晶体的原胞是一个长方体，钡离子Ba2+位于长方体的八个角上，氧离子O2-位于长方体六个面的面心，钛离子Ti4+则位于长方体的中心之上（或之下）的某一位置，如图4-9所示。 钙钛矿结构的名称来自钛酸钙CaTiO3Perovskite from Perovsky,钙钛矿结构 perovskite,wangclsdu.edu,71,图4-9 钛酸钡晶体的晶胞， 钡离子，氧离子，钛离子，晶胞参

27、数a=b, ca,wangclsdu.edu,72,因为在钙钛矿结构中正负电荷中心不重合，所以存在一个与c轴平行的电偶极矩，即钛酸钡晶体存在自发极化，c轴就是极化轴。这一点是钛酸钡晶体与石英晶体不同的地方，石英晶体有压电效应，但无自发极化，所以它是压电晶体，而不是铁电体。钛酸钡晶体具有自发极化，又有压电效应，所以钛酸钡晶体被称为铁电晶体。,wangclsdu.edu,73,钛酸钡晶体属于四方晶系4mm点群，z轴是四阶轴（z轴与c轴平行），x面和y面（即yz平面和zx平面）是对称面。根据z轴是四阶轴的要求，只有与z轴平行的方向上，可以存在不为零的电偶极矩；又根据x面、y面是对称面的对称性要求，只

28、有x面与y面的交线平行方向上，可以存在不等于零的电偶极矩。,wangclsdu.edu,74,因为x面与y面的交线正好与z轴重合，可见只有在z轴方向，可以存在不等于零的电偶极矩，在x轴方向和与y轴方向的电偶极矩等于零，如图4-10所示。就是说属于4mm点群的晶体的的对称性所得到的结论，与从钛酸钡晶胞结构所得到的结论完全一致。,wangclsdu.edu,75,图4-10 z轴是四阶轴，x面、y面是对称面时的电偶极矩分布图,wangclsdu.edu,76,知道了钛酸钡晶体的电偶极矩的分布后，就可以进一步讨论钛酸钡晶体的压电效应与压电常数。当晶体分别受到应力X1、X2或X3的作用时，晶体在x方向

29、、与y方向和z方向都要产生伸长或缩短的形变，因为z方向存在电偶极矩，z方向的伸缩形变要改变这个电偶极矩的大小，因而在z方向产生压电效应，这就要求钛酸钡晶体的压电常数：d310，d320，d330。,wangclsdu.edu,77,又由于z轴是四阶轴，x、y可以互换而不改变晶体的性质，故有：d31=d32。,因为x方向和y方向的伸缩应变，不能改变x方向和y方向电偶极矩等于零的状态，所以在x方向和y方向不出现压电效应，这就表明钛酸钡晶体的压电常数：d11=d12=d13=d21=d22=d23=0。,wangclsdu.edu,78,当晶体受到切应力X4的作用时，晶体要产生切应变，并使原来与z轴

30、平行的电偶极矩发生向y方向的偏转，其结果使y方向出现不等于零电偶极矩。如图4-11所示，因而在y方向产生压电效应，这就表明钛酸钡的压电常数d240。但是由X4引起的切应变，不改变原来x方向和z方向的电偶极矩状态，即在x方向和z方向不出现压电效应，故压电常数电偶极矩d14=d34=0。,wangclsdu.edu,79,图4-11 切应变X4的作用,wangclsdu.edu,80,当晶体受到切应力X5的作用时，与X4的情况类似，如图4-12所示。同理可得钛酸钡晶体的压电常数d150，d25=d35=0。又由于z轴是四阶轴，x轴和y轴可以互换而不改变晶体的性质，故有d24=d15。因为xy平面上

31、的电偶极矩为零；当晶体受到X6的作用产生的切应变，不能改变x方向、y方向和z方向原来的电偶极矩状态，所以在时x方向和z方向不出现压电效应，故有d16=d26=d36=0。,wangclsdu.edu,81,最后得到钛酸钡晶体的压电常数用矩阵表示如下：,wangclsdu.edu,82,可见钛酸钡晶体的独立的压电常数为d15、d11和d33三个：d15=39210-12库仑/牛顿 d31=-34.510-12库仑/牛顿d33=85.610-12库仑/牛顿,wangclsdu.edu,83,独立压电常数的数目,与介电常数和弹性常数一样，也可以根据晶体的对称性，采用压电常数的足标代换法和坐标变换法确

32、定晶体的独立压电常数的数目。,wangclsdu.edu,84,足标代换法,代换时应注意到压电常数是一个三阶张量，压电常数的三足标与二足标的关系为：,wangclsdu.edu,85,4mm点群,下面以用4mm点群晶体为例,说明用足标代换法求出的独立压电常数数目的过程。为了简单省略了字母d,而只保留了下标。这样压电常数矩阵的一般表示形式为：,注意：下标的两个数字表示的意义不同！,wangclsdu.edu,86,先考虑4度旋转轴的对称操作，在此操作下， xy，y-x，zz，单下标：12，2-1，33， 对应的双下标为：(xx,yy,zz,yz,xz,xy)12，21，33，4-5，54，6-6

33、,wangclsdu.edu,87,压电常数矩阵变化为,对称性要求,12，21，33，4-5，54，6-6,12，2-1，33,wangclsdu.edu,88,再考虑镜面m对称操作：在此操作下， xx，y-y，zz，或者： 11，2-2，33， 对应的双下标为11，22，33，4-4，55，6-6,wangclsdu.edu,89,在此对称要求下，压电常数矩阵变化为,11，22，33，4-4，55，6-6,11，2-2，33,wangclsdu.edu,90,再考虑另一镜面m对称操作，在此操作下xy，yx，zz，发现对压电常数矩阵没有影响。因此独立的压电常数共有3个，即：d15,d31,d3

34、3。,wangclsdu.edu,91,坐标变化法,压电方程,或者：,wangclsdu.edu,92,新旧坐标系,电位移的变换：,应力的变换：,wangclsdu.edu,93,新旧坐标系,电场的变换：,应变的变换：,wangclsdu.edu,94,例子：-石英32点群:2度轴x轴，3度轴z轴,2度轴的变换矩阵,wangclsdu.edu,95,wangclsdu.edu,96,3度轴的变换矩阵,wangclsdu.edu,97,wangclsdu.edu,98,同样可得到LiNbO3和LiTaO3的（点群为3m）的压电常数矩阵形式为,-石英（点群为32）的压电常数矩阵,wangclsdu.edu,99,小 结,压电效应的基本概念压电常数的引入（石英和钛酸钡）压电常数的与对称性,docin/sanshengshiyuandoc88/sanshenglu,更多精品资源请访问,