北京水资源短缺风险综合评价.docx

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1、（数学建模B题）北京水资源短缺风险综合评价参赛队员：甘 霖（20093133，数学科学学院） 李 爽（20093123，数学科学学院） 崔骁鹏（20091292，计算机科学学院）参赛时间：2011年4月30 - 5月13日承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。

2、 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ：B 所属学校（请填写完整的全名） ： 黑龙江大学参赛队员 ： 1.甘霖2、李爽3、崔骁鹏 日期：2011 年 5月 12日目录1. 摘要 -42. 关键词 -43. 问题重述 -54. 模型的条件和假设 -55. 符号说明 -56. 问题的分析及模型的建立 -66.1 问题一的分析与求解 -66.2 问题二的分析与求解 -106.3 问题三的分析与求解 -186.4 问题死的求解 -217. 模型的评价 -238. 参考文献

3、-239. 附录 -23北京水资源短缺风险综合评价甘 霖李 爽崔骁鹏【摘要】本文针对水资源短缺风险问题求出主要风险因子，并建立了水资源短缺风险评价模型，以北京为实例，做出了北京1979年到2009年的水资源短缺风险的综合风险评价，划分出了风险等级，以评价水资源短缺风险的程度。我们的思路是这样的：第一问，我们先分析出可能的十一个水资源短缺风险因子，利用主成分分析法筛选出水资源短缺风险系统的主要风险因子。第二问，基于模糊概率理论建立了水资源短缺风险评价模型，可对水资源短缺风险发生的概率和缺水影响程度给予综合评价。首先构造隶属函数以评价水资源系统的模糊性；其次利用Logistic回归模型模拟和预测水

4、资源短缺风险发生的概率；而后建立了基于模糊概率的水资源短缺风险模型；最后利用Quick Cluster对风险值进行聚类，求出类中心，划分出风险等级。第三问，利用灰色预测法预测出北京2012年以及2013年的风险，并提出了相关的措施。在本文的最后，附上了对政府相关部门提的一些关于预防水资源短缺的建议的建议书。【关键词】水资源短缺风险，模糊数学，Logistic回归模型，敏感因子，主成分分析法一问题重述北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，属重度缺水地区，附表中所列的数据给出了1979年至2009年北京市水资源短缺的状况。北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。政府采取了

5、一系列措施, 如南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等。但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。1 评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？2建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价， 作出风险等级划分并陈述理由。对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低？ 3 对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。 4 以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份

6、建议报告。二模型的条件和假设1. 假设除了降雨量、平均气温、植被覆盖率、水资源总量、人口总数、人均GDP、污水处理率、生活用水总量、农业用水总量、工业用水总量、农业灌溉定额等风险因子之外没有其他的水资源短缺风险因子。2. 假设在未来的两年中不会发生重大自然灾害，如洪水、地震等。3. 假设用近十年的风险值来估计未来两年的风险值。三符号说明为缺水系统中最小缺水量为缺水系统中最大缺水量为供水量为需水量R为水资源短缺风险f(x)为风险发生的概率密度函数代表第i年的风险值四问题的分析及模型的建立问题一分析与求解：所谓的水资源短缺风险是指在特定的环境条件下，由于供水与用水两方面存在不确定性，使区域水资源系

7、统发生供水短缺的概率以及由此产生的损失。北京市水资源开发利用中存在的问题主要有上游来水衰减趋势十分明显，长期超采地下水导致地下水位下降，水污染加重了水危机，人口膨胀和城市化发展加大了生活用水需求等。因此，导致北京水资源短缺的主要原因有资源型缺水和水质性缺水等。则影响北京水资源短缺风险的因素可归纳为以下两个方面：（1）自然方面：人口数；入境水量；水资源总量；地下水位埋深。（2）社会经济环境因素：污水排放总量；污水处理率；生活用水量；农业用水量。通过以上分析，我们就降雨量、平均气候、植被覆盖率、水资源总量、人口数量、人均GDP、污水处理率、生活用水总量、农业用水总量、农业部灌溉定额、工业用水总量等

8、十一各风险因子进行分析，筛选出水资源短缺的主要风险因子。 图1 北京市水资源短缺风险指标体系 降雨量(mm) 平均气温() 自然因素 植被覆盖率(%) 水资源总量（亿立方米）风险指标体系 人口数量(万人) 人均GDP（元/人） 污水处理率（%） 社会经济 生活用水总量（亿立方米） 农业用水总量（亿立方米） 农业部灌溉定额（千公顷） 工业用水总量（亿立方米） 图一中的北京市水资源短缺风险因子的各年数据如下表一 表一 北京市水资源短缺风险因子的各年数据降雨量（mm）平均气候 ()植被覆盖率（%）水资源总量（亿立方米）人口数量（万人）人均GDP（元/人）污水处理率（%）生活用水总量（亿立方米）农业用

9、水总量（亿立方米）农业部灌溉定额（千公顷）工业用水总量（亿立方米）1979718.411.122.338.23897.1135810.24.3724.18340.814.371980380.711.020.126904.315449.44.9431.83340.313.771981393.212.320.124919.2152610.84.331.6341.312.211982544.412.820.136.6935.0167110.94.5228.81339.413.891983489.913.020.134.7950.0194310.24.7231.6343.311.241984488.8

10、11.920.139.31965.0226210.04.01721.84342.614.3761985721.011.520.138981.0264310.04.3910.12338.417.21986665.312.122.8627.03102828368.97.1819.46337.99.911987683.912.322.938.66104731507.77.269.68337.914.011988673.312.725.039.18106138927.46.421.99338.114.041989442.213.226.021.55107542696.66.4524.42338.413

11、.771990697.312.728.035.86108646357.37.0421.74335.112.341991747.912.528.4342.29109454946.67.4322.7328.711.91992541.512.830.3322.44110264581.210.9819.94331.115.511993506.713.031.3319.67111280063.19.5920.35314.715.281994813.213.732.3945.421125102409.610.3720.93323.414.571995572.513.332.6830.341251.1126

12、9019.411.7719.33292.413.781996700.912.733.2445.871259.41425421.29.318.95301.911.761997430.913.134.2222.2512401662122.011.118.12323.311.11998731.713.135.637.71245.61912822.512.217.39323.710.841999266.913.136.314.221257.22140725.012.718.45322.110.562000371.112.836.516.861363.62412739.413.3916.49322.71

13、0.522001338.912.938.7819.21385.12698042.012.317.4322.79.22002370.413.240.5716.11423.23073045.011.615.5219.77.52003444.912.940.8718.41456.43477750.113.613.8178.98.42004483.513.541.9121.41492.74091653.913.413.5186.77.72005410.713.242.0023.215384599362.414.513.2181.56.82006318.013.442.524.515815205473.

14、815.312.8181.56.22007483.914.043.023.816336127476.216.612.4173.65.82008626.313.443.534.216956679778.917.912.0171.85.22009480.613.344.421.817557045280.318.312.0165.25.2 主成分分析法是指标筛选最常用的方法之一，它利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标，减少变量的个数，故这几个综合指数能包含原信息量的80%以上即可。同时客观的确定各个指标的权重，从而筛选出权重大的指标，确定敏感因子。主成分分析法的步骤： 将表一数据进行标准化

15、处理，并求出数据的相关系数矩阵。 利用SPSS软件计算，将数据输入，并进行相关处理，则可得出相关系数矩阵R。相关系数矩阵R如下表二所示。 表二 北京水资源短缺风险因子的相关系数矩阵1-0.199-0.3330.844*-0.332-0.337-0.402*-0.306-0.0230.3000.413*-0.19910.729*-0.2850.690*0.611*0.544*0.721*-0.374*-0.562*-0.555*-0.3330.729*1-00.477*0.960*0.890*0.853*0.964*-0.677*-0.833*-0.803*0.844*-0.285-0.477*

16、1-0.432*-0.397*-0.408*-0.464*0.1840.374*0.435*-0.3320.690*.960*-0.432*10.968*0.944*0.960*-0.718*-0.903*-0.873*-0.3370.611*0.890*-0.397*0.968*10.981*0.914*-0.653*-0.929*-0.894*-0.402*0.544*0.853*-0.408*0.944*0.981*10.860*-0.625*-0.927*-0.916*-0.3060.721*0.964*-0.464*0.960*0.914*0.860*1-0.693*-0.816*-

17、0.791*-0.023-0.374*-0.677*0.184-0.718*-0.653*-0.625*-0.693*10.625*0.472*0.300-0.562*-0.833*0.374*-0.903*-0.929*-0.927*-0.816*0.625*10.844*0.413*-0.555*-0.803*0.435*-0.873*-0.894*-0.916*-0.791*0.472*0.844*1用SPSS计算风险因子的累计信息量，使得综合指数包含原信息量的80%以上，确定出综合指数的个数解释的总方差成份初始特征值提取平方和载入合计方差的 %累积 %合计方差的 %累积 %17.700

18、70.00470.0047.70070.00470.00421.57214.28984.2931.57214.28984.29330.6525.92590.21940.5605.09295.31050.1641.49396.80360.1331.21098.01370.1221.11099.12380.0600.54899.67190.0210.18899.860100.0090.08099.940110.0070.060100.000提取方法：主成份分析。如表二所示，综合指数的个数为2时，所包含的信息量为原信息量的84.293%由此可以确定综合指数的个数为2 利用SPSS软件的主因子计算功能

19、，可以得出主因子载荷矩阵，如表三。表三 主因子载荷矩阵成份矩阵a成份12-0.4270.8710.6980.0950.7540.066-0.5250.7730.9880.1070.9690.0970.9520.0360.9530.092-0.685-0.398-0.718-0.106-0.8970.048提取方法 :主成分分析法。a. 已提取了 2 个成份。如表三所示可知：主成分1中的各因子载荷值，从正方向看，比较大的是人口数量、人均GDP、污水处理率和生活用水量，分别为0.988、0.969、0.952、0.953。从负方向看，载荷较大的因子为农业用水总量，为-0.897。主成分2中的各因子

20、载荷值。从正方向看，比较大的是降雨量，为0.871。剩下其他值均非常小综上，可知在自然与社会经济的11个水资源短缺风险因子中，人口数量、人均GDP、污水处理率、生活用水量、农业用水总量、降雨量、为主要风险因子。问题二:2.1 北京市水资源短缺风险数学模型的建立与求解就风险的含义来说，应包括以下两个方面：第一，指事故发生的可能性，或事故发生的不确定性；第二，只事故本身。因此对风险的度量有两个方法：一是以风险率度量，即系统实施的可能性；而是衡量风险破坏深度、历时等的指标，即系统失事的结果。但风险R不仅是风险事件发生的概率P的函数，而且是风险发生事件所产生的后果的函数。这一点很容易理解，一个事故发生

21、风险的概率可能很高，但产生的后果损失很小的风险事件其风险不一定很高；相反，虽然某一个风险发生的概率不是很高，但是它的损失可能很大。同理，水资源系统是一个复杂的大系统，广泛存在着随机性和模糊性，由于随机性是因果律的破缺、模糊性是排中率的破缺，所以应在水资源短缺风险评价模型的设计中同时考虑这两种因素的影响。以下我们就这两个方面进行讨论（一）.水资源短缺风险的模糊性：对于水资源系统来说，所谓的风险就是供水量小于需水量，从而使得整个水资源系统处于水资源短缺状态，即发生了水资源短缺风险。基于水资源的模糊不确定性，构造一个合适的隶属函数来描述水资源短缺带来的损失。定义模糊集如下：=式中：x为缺水量，x=，

22、为缺水量在模糊集上的隶属函数，构造如下： 0， ， （1） 1， 式中：、分别为水资源总量和需水总量；为缺水系统中最小缺水量；为缺水系统中最大缺水量；p为大于1的正整数。通过北京1979-2009年数据可知，为0.45，为27.49，而此时的p取8。则上的隶属函数可化作： 0 ， ， （2） 1， （二）.水资源短缺风险的模拟概率分布因为Logistic回归方法具有对因变量数据要求低、计算结果唯一、模型精度高等优点，所以在此采用Logistic回归模型来模拟缺水量系列的概率分布。则关于缺水量的Logistic回归模型可写为： （3）式中：分别为自变量的系数和常数，此时的称为Logistic回归

23、系数；e为自然对数。用SPSS软件进行Logistic回归分析的具体流程图如下：1、样品处理摘要:案例处理汇总未加权的案例aN百分比选定案例包括在分析中31100.0缺失案例0.0总计31100.0未选定的案例0.0总计31100.0a. 如果权重有效，请参见分类表以获得案例总数。2、因变量编码：这是很重要的信息，告诉我们不同年份的缺水结果。我们用1表示缺水，用0 表示不缺水，也就是说，在这次SPSS 分析过程中便于分析。因变量编码初始值内部值.0001.001块 0: 起始块3、初始分类表；Logistic 建模如同其他很多种建模方式一样，首先对模型参数赋予初始值，然后借助迭代计算寻找最佳值

24、。以误差最小为原则，或者以最大似然为原则，促使迭代过程收敛。当参数收敛到稳定值之后，就给出了我们需要的比较理想的参数值。下面是用初始值给出的预测和分类结果。这个结果主要用于对比，比较模型参数收敛前后的效果。分类表a,b已观测已预测VAR000060.001.00百分比校正步骤 0VAR000060.0005.01.00026100.0总计百分比83.9a. 模型中包括常量。b. 切割值为 .5004、初始化方程中的变量：从这个表中可以看到系统对模型的最初赋值方式。最开始仅仅对常数项赋值，结果为B=1.649，标准误差为S.E.=0.488，于是Wald 值为11.3898，后面的df 为自由度

25、，即df=1；Sig.为P 值，Sig.=0.001。注意Sig.值越低越好，一般要求小于0.05。Exp(E)是B 还原之后数值为5.200；方程中的变量BS.E,WalsdfSig.Exp (B)步骤 0常量1.6490.48811.39810.0015.2005、不在初始方程中的变量：得到的得分数值满足要求。不在方程中的变量得分dfSig.步骤 0变量VAR0001214.59910.000总统计量14.59910.000块 1: 方法 = 输入6、模型系数的混合检验：模型系数的综合检验卡方dfSig.步骤 1步骤27.39210.000块27.39210.000模型27.39210.0

26、007,、模型摘要：模型摘要中给出最大似然平方的对数、Cox-Snell 拟合优度以及Nagelkerke 拟合优度值。最大似然平方的对数值（-2loglikelihood=9.173）用于检验模型的整体性拟合效果，该值在理论上服从卡方分布，上面给出的卡方临界值5.991，因此，最大似然对数值检验通过。Model Summ模型汇总步骤-2 对数似然值Cox & Snell R 方Nagelkerke R 方19.173a0.6340.903(拟合度为0.903)8、Hosmer 和Lemeshow 检验：分类表a已观测已预测VAR000060.001.00百分比校正步骤 1VAR000060.

27、0050100.01.0012594.2总计百分比96.8a. 切割值为 .500（总的预测正确率为96.8%，全部31组数据30个预测准确，1个预测失败，模拟效果良好）10、对应于Hosmer-Lemeshow 检验的列联表：方程中的变量BS.E,WalsdfSig.Exp (B)步骤 1aVAR00012038913.1390.00110.9780.974常量230.37516.2050.00010.9941E+015a. 在步骤 1 中输入的变量: VAR00012.(自变量系数为230.37 常数为0.389.)即b0=230.37, b1=0.389；则用Logistic回归模型求出

28、的缺水概率函数为 （4）（三）利用模糊概率法评价水资源短缺风险的综合评价 将水资源短缺风险定义为模糊事件发生的概率，及模糊概率为 （5）式中：为n维欧氏空间，为模糊事件的隶属函数；P为概率测定。如果,则 （6）其中是随机变量y的概率密度函数。水资源短缺风险的定义可表示为 （7）从式（5）（7）可知：上述风险定义将水资源短缺风险存在的模糊性和随机性联系在一起，其中，随机不确定性体现了水资源短缺风险发生的概率，而模糊不确定性则体现了水资源短缺风险的影响程度。根据式（2）、（4）、（7）建立的水资源短缺风险评价模型，得到北京市19792009年的水资源短缺风险的计算结果如图2所示。 图2 北京市19

29、79-2009年的水资源短缺风险由图可以看出，1982、1984、1985、1987、1991、1994、1996、2008年的风险值均非常小，接近于0.而1980、1989、1999年的风险值较大，均大于0.8。而2008-2009年的风险有升高的趋势。以上分析说明模型的计算与实际情形是吻合的，可以付诸实践。2.2 水资源短缺风险等级划分我们将风险划为五个等级，分别为低风险、较低风险、中风险、较高风险、高风险五个等级，利用Quick Cluster 对1979-2009年北京市水资源短缺风险进行聚类，则可得出五个类中心，即为风险等级的类中心。我们利用SPSS中的聚类功能算出类中心，数据如下：

30、初始聚类中心聚类12345VAR000080.200.660.950.000.43迭代历史记录a迭代聚类中心内的更改1234510.0260.0320.0550.0210.01120.0310.0520.0320.0070.00030.0000.0000.0000.0000.000a. 由于聚类中心内没有改动或改动较小而达到收敛。任何中心的最大绝对坐标更改为 .000。当前迭代为 3。初始中心间的最小距离为 .203。最终聚类中心聚类12345VAR000080.260.640.860.030.42(聚出的5个类中心，如上面所示。)每个聚类中的案例数聚类1（类中心0.26）较低风险4.0002

31、（类中心0.64）中风险4.0003（类中心0.86）高风险6.0004（类中心0.03）低风险12.0005（类中心0.42）较低风险5.000有效31.000 水资源短缺风险的分类水资源短缺风险类别类中心风险特性低风险0.03可以忽略的风险较低风险0.26可以接受的风险中风险0.42边缘风险较高风险0.64比较严重的风险高风险0.86无法承受的风险2.3 对主要风险因子的调控（一）节约用水2.3.1 调整产业结构加大节水力度中国正全面建设节水型社会，到2010年，电力工业和一般工业的用水重复利用率分别达到93%和85%以上。农业要求全面实现国家有关部门正在实施的大型灌区以节水为中心的缓建、

32、扩建和配套工程规划，到2010年北京两市基本实现节水灌溉。目前北京生活用水存在着用水浪费现象。城市自来水管网建设不健全，自来水计量制度落后。今后节水的重点是全面建设水计量制度，实行按水表收费，用经济手段调节和管理。积极推广节水器具普及率，加快城市自来水管网建设。加强用水管理，提高水价，采取两部制水价和累进加价制度。要求2010年城镇自来水管网漏失率控制在13%以下，北京节水器具普及率2010年应达到80%。2.3.2 提高水价促进节水水价的调整在一定程度上可以促进节水。对水资源的需求而言，一方面受用水水平的影响，另一方面收水价因素的影响，同时受居民收入水平的影响，即消费者的支付意愿是影响水需求

33、的一个重要原因。收入水平越高，需求弹性越小；用水水平越低，需求弹性越小；价格越低，需求弹性越小。对于水价与水资源需求之间的需求函数，在我国已有人对不同地区分别从居民家庭生活需水、工业需水和农业需水等方面建立了各自的需求函数模型。一般情况下采用对数线形方程式描述水价与水需求量的关系 InQ=InP +式中Q代表单位取水量指标（定额）；P代表水价；、代表常数，表示的就是需水价格弹性系数，是一个无量纲的值。由于北京地区只是近几年开始提高水价，调查资料很少，目前尚难以对蓄水量的影响进行统计分析。根据参考文献得出以下居民、工业、农业的用水价格弹性。通过设定一定的水价升幅情景可以得到各自的生活用水、农业用

34、水、工业用水需求的降低幅度，将此幅度代入供需平衡模型可以得到水价调整后的水资源系统风险情况，如表。 表 北京地区不同水价情景下的节水潜力情景1情景2情景3情景4水价升幅（%）5101520生活需水降幅（%）1.22.43.64.8工业需水降幅（%）0.551.11.652.2农业需水降幅（%）1.863.725.587.44由表格可看出对水价进行调控，进而可以控制生活用水量、工业用水量以及农业用水量，减少总的用水量，从而在水资源固定的情况下，水资源短缺风险会相应的减小。2.3.3 节水经济学随着节水的深入，节水的难度会越来越大，单方节水投资呈快速增长态势，对于节水投资与万元产值工业用水量的关系

35、采用乘幂曲线进行拟合相关性较好 =式中a,b分别为两个常数，为第j用户在水价为p时单方水节水投资，为第j用户在水价为p时需要的定额。和水价的关系如上分析为 InQ=InP +节水投资和节水效益均为水价的函数，将两者结合起来皆可以分析节水的经济行为，这里可以引进边际效用与边际费用的经济学概念。当节水的边际效益大于节水的边际费用，这时节水可以获得净效益，则节水可以成为区域水资源短缺风险实施方面的重点；当节水的边际效益小于节水的边际费用，则投入的资本没有取得相应的效益，这时应考虑其他水资源风险管理措施，而不应该一味的进行水资源的节约。（二）供水管理2.3.4 提高污水处理率和污水回收率 提高污水处理

36、率与污水回收率也是水资源短缺风险管理措施之一。过去有许多的工业废水、生活废水排放到河流中，这样不但浪费了水资源，而且还污染了水资源，导致干净的水源也无法使用。提高污水的处理率可以大大的加强对废水的处理量，使得处理后的污水可用于杂用水、灌溉水和低要求的工业用水。这样才会提高对水资源的循环利用率，解决缺水的问题。2.3.5 跨流域调水 要彻底的解决北京地区的水资源短缺问题最根本的措施就是世纪工程-南水北调工程。当水资源短缺发生时，则说明水资源的“供”小于“需”，这样只有增加供水量才会从根本上解决问题。南水北调对北京地区进行供水的是东线工程和中线工程，至2010年将完成中线一期工程和东线一期二期工程

37、，查阅文献有南水北调工程对于北京地区的供水量，见表 表 南水北调东线和中线工程调水量配置表水平年规划配置水量/（P=95%）规划配置水量/(P=50%)东线中线合计东线中线合计北京2010年101010.510.52030年1515问题三分析： 预测问题通常有几种算法，例如时间序列预测法、线性回归预测法等，但是这些方法预测出的值存在着较大的误差。所以我们决定运用灰色预测法。所谓的灰色预测法，是指由于历史数据的不全面和不充分，或某些变量尚不清楚和不确定，是预测出于一种半明半暗的状态。随着事件的发展，数据的逐步积累，一些确定的因素逐步积累，一些不确定的因素逐步明确，其预测将逐渐由暗变明。灰色预测法是通过建立灰色预测模型来进行预测的，该模型简称为GM模型。问题三的模型建立与求解：3.1设有原始时间数列，其中代表第i年的风险值。对其作一次累加生成运算，即令， k=1,2，n （3.1）从而