量纲分析法与无量纲化课件.ppt

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1、量纲分析法与无量纲化,1,量纲分析法与无量纲化,量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的, 在物理领域中建立数学模型的一种方法，它是在经验和实验的基础上, 利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。它是一种数学分析方法，通过量纲分析，可以正确的分析各变量之间的关系，简化试验和便于成果整理。,在国际单位制中，有7个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为 M、L、T、I、 、J、和N；称为基本量纲。任意一个物理量q的量纲都可以表成基本量纲的幂次之积，,无量纲化(Dimensionless)是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺

2、度，将有量纲量化为无量纲量达到减少参数，简化模型的效果。,2,动力学物理量的量纲,长度 l 的量纲记 L=l,质量 m的量纲记 M=m,时间 t 的量纲记 T=t,动力学中基本量纲M, L, T,速度 v 的量纲 v=LT-1,导出量纲,加速度 a 的量纲 a=LT-2,力 f 的量纲 f=MLT-2,万有引力常数 G 的量纲 G,对无量纲量，=1(=M0L0T0),=M-1L3T-2,3,量纲齐次原则,描述物理规律的表达式每一项必须具有相同的量纲,量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系,例：求单摆运动周期 T 的表达式,设物理量 T, m, l, g 之间有关系式,假设等价于无量刚量关

3、系式,4,单摆运动中 T, m, l, g 的一般表达式,5,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-r,F( 1, 2, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定,Pi定理 (Buckingham),设 f(q1, q2, , qm) = 0是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可以表示为,定义量纲矩阵,6,l = L, v =LT-1, = ML-3, p = ML-1T-2, = ML-1T-1, g = LT-2,量纲分析示例：（水头损失问题）管道内

4、不可压缩粘性流体的压强差,管道两端压强差 p,管道长l, 流速v, 粘性系数,密度重力加速度g。,m=6, n=3,选取物理量,7,Ay=0 有m-r=3个基本解,rank A = 3,rank A = r,Ay=0 有m-r个基本解,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-r,8,F(1, 2 ,3 ) = 0与(l,v,p,g) = 0 等价,为得到差 p 的显式表达式,F=0, 未定,F( 1, 2, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价,9,g = LT-2, l = L, = ML-3, v = LT-1, s = L2,

5、f = MLT-2,量纲分析示例：波浪对航船的阻力,航船阻力 f,航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水密度, 重力加速度g。,m=6, n=3,10,Ay=0 有m-r=3个基本解,rank A = 3,rank A = r,Ay=0 有m-r个基本解,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-r,11,F(1, 2 ,3 ) = 0与(g,l,v,s,f) = 0 等价,为得到阻力 f 的显式表达式,F=0, 未定,F( 1, 2, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价,12,3.2 量纲分析在物理模拟中的应用,例: 航船

6、阻力的物理模拟,通过航船模型确定原型船所受阻力,模型船的参数(均已知),可得原型船所受阻力,已知模型船所受阻力,原型船的参数(f1未知，其他已知),注意：二者的相同,13,结论：按一定尺寸比例造模型船，量测 f， 可算出 f1 物理模拟,14,量纲分析法的评注,物理量的选取,基本量纲的选取,基本解的构造,结果的局限性, () = 0中包括哪些物理量是至关重要的,基本量纲个数n; 选哪些基本量纲,有目的地构造 Ay=0 的基本解,方法的普适性,函数F和无量纲量未定,不需要特定的专业知识,15,3.3 无量纲化方法,无量纲化方法是用数学工具研究物理问题的常用方法，通过选择恰当的变换可以减少参数，简化某些数学问题。,r,K为正参数,x具有量纲，且与 K 量纲相同,例1：简化常微分方程,x-y 变量无量纲化,简化后的模型不含参数！便于理论分析和数值求解。,t具有量纲，且与 1/r 量纲相同,16,卡丹公式（Cardanos Formula ）,例2：简化三次方程,17,例3：简化非线性参数方程,5个参数,u-v 无量纲化,18,作业,P60 2，4,利用无量纲化思想将下面的数学模型参数数量减到最少（ae均为正参数）：,19,