线性代数——矩阵的运算课件.ppt

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1、第二节 矩阵的计算,一、 矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、 矩阵转置 五、方阵的行列式 六、 共轭矩阵 七、矩阵的应用,1,、定义,一、矩阵的加法,设有两个 矩阵 那么矩阵 与 的和记作 ，规定为,2,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,例如,3,2、矩阵加法的运算规律,二、数与矩阵相乘,1、定义,4,2、数乘矩阵的运算规律,（设 为 矩阵， 为数）,5,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,三、矩阵与矩阵相乘,6,7,、定义,设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵 ，其中,8,并把此乘积记作,例,设,例2

2、,9,故,解,10,注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,、矩阵乘法的运算规律,（其中 为数）;,注意矩阵乘积一般不满足交换律,例 设,11,则,方阵的幂,12,例3,13,例4,14,15,四、矩阵转置,定义,16,转置矩阵的运算性质,17,证明：,由矩阵乘法定义有：,18,设 为 阶方阵，如果满足 ，即那么 称为对称阵.,说明,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.,19,例5 设列矩阵 满足,证明,20,五、方阵的行列式,定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或,运算性质,21,证明：,(1) 由行列式性质即得,（2）多次利

3、用行列式性质3，有,22,23,最后得到,24,定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵,性质,证明,则,称为矩阵 的伴随矩阵.,25,六、共轭矩阵,故,同理可得,26,运算性质,（设 为复矩阵， 为复数,且运算都是可行的）:,27,七矩阵的应用,28,方程组可以表示为矩阵形式,29,30,31,32,八、小结,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵 （对称矩阵）,方阵的行列式 （伴随矩阵）,共轭矩阵,33,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.,（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,注意,（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.,34,思考题,成立的充要条件是什么?,35,思考题解答,答,故 成立的充要条件为,36,