第三章复变函数的积分课件.ppt

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1、第三章 复变函数的积分,3.1复变函数积分的概念3.2柯西-古萨基本定理3.3复合闭路定理3.4原函数与不定积分3.5柯西积分公式3.6解析函数的高阶导数3.7调和函数,3.1 复变函数积分的概念1 积分的定义 定义 设函数f(z)定义在区域D内， C为D内起点为A终点为B的一条光滑有向曲线， 把曲线C任意分成n个弧段， 设分点为A=z0, z1, z2， , zk1, zk， , zn=B在每个弧段 (k=1， 2， ， n)上任意取一点k(见图3.1)， 作和式,其中, zk=zkzk1。 记sk为弧段 的长度， 。 当n， 且0时， 若不论对C的分法及k的取法如何， Sn有唯一极限， 则

2、称此极限值为函数f(z)沿曲线C的积分， 记作,若C为闭曲线， 则沿此闭曲线的积分记作,显然， 当C是x轴上的区间axb， 而f(z)=u(x)时， 此积分定义与一元实变函数的定积分定义相同。,图3.1,2 积分的计算 （1） 若f(z)在区间D内处处连续， 令f(z)=u(x, y)+iv(x, y)， 其中u(x, y)及v(x, y)均为D内的连续函数， dz=dx+idy， 则容易得到积分计算公式:,也就是说， 复变函数的积分可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。,(3.1.2),（2） 设光滑曲线C由如下参数方程给出：z=z(t)=x(t)+iy(t), t(3.1.3)参数t增加

3、的方向为C的正方向， 及对应于C的起点A及终点B， 并且有当t时， z(t)0。 根据线积分的计算方法， 有,(3.1.4),上式右端可以写成,于是如下计算积分公式:,(3.1.5),若C是由C1, C2, , Cn等光滑曲线段依次相互连接所组成的按段光滑曲线， 则定义,(3.1.6),例1 计算的值， 其中积分路径如图3.2所示， 分别为：(1) 沿从原点到点z0=1+i的直线段C1； (2) 沿从原点到点z1=1的直线段C2与从z1到z0的直线段C3所接成的折线。,图3.2,解 (1) 直线段C1的方程可写作:C1z=t+it, 0t1在C1上， z =tit， dz=(1+i)dt。 于

4、是,(2) 直线段C2，C3的方程分别为C2z=t, 0t1C3z=1+it, 0t1所以有,例2 计算的值， 其中积分路径C同上例。解 (1) 沿积分路径C1：,(2) 沿积分路径C2C3：,例1中沿不同路径积分值不同， 而例2中积分值与路径无关。 实际上， 把这两个积分按第一种计算方法写成二元实变函数线积分形式：,(3.1.7),(3.1.8),例3 计算， 其中C为圆周： |z|=2。解 积分路径的参数方程为z=2ei, 02dz=2ieid所以,例4 计算， 其中C为以z0为中心， r为半径的正向圆周(见图3.3)， n为整数。,图3.3,解 C的方程可写作z=z0+rei， 02所以

5、,(3.1.9),3 积分的性质 从积分的定义可以推得下列与实变函数定积分相类似的性质：,(3.1.10),(3.1.11),(3.1.12),(3.1.13),(4),3.2 柯西-古萨基本定理设f(z)=u+iv在单连通域B内处处解析， 且f(z)在B内连续， C为B内任意一条简单闭曲线（见图3.4）。,图3.4,根据式(3.1.2)， 有,由格林公式与柯西-黎曼方程(路线C取正向)得,其中， D是C所围的区域。,柯西-古萨(CauchyGoursat)基本定理 若函数f(z)在单连通域B内处处解析， 则函数f(z)沿B内的任意一条闭曲线C的积分为零， 即 (3.2.2)这个定理又称为柯西

6、积分定理。,3.3 复合闭路定理设函数f(z)在多连通域D内解析， C为D内的任意一条简单闭曲线， 若C的内部完全包含于D， 则f(z)在C上及其内部解析， 容易得到,现在我们假设C及C为多连通域D内的任意两条(正向为逆时针方向)简单闭曲线， C在C的内部， 以C及C为边界的区域D1全包含于D。 作两条不相交的弧段 ， 它们依次连接C上某一点A到C上的某一点A以及C上某一点B(不同于A)到C上的一点B， 而且此两弧段除去它们的端点外全包含于D1(见图3.5)。,图3.5,由图3.5可见， AEBBEAA及AAFBBFA形成两条位于多连通域D内的简单闭曲线， 它们的内部全含于D。 于是有,将上面

7、两式相加， 得,即,(3.3.1),由式(3.3.1)可得,或者,(3.3.2),上式说明了一个很重要的闭路变形原理： 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中曲线不经过函数f(z)不解析的点。,复合闭路定理 设C为多连通域D内的一条简单闭曲线， C1, C2, , Cn是在C内部的简单闭曲线， 它们互不包含也互不相交， 并且以C, C1, C2, , Cn为边界的区域全含于D(见图3.6)。 若f(z)在D内解析， 则,成的复合闭路(其方向是： C按逆时针进行， Ck按顺时针进行)。,图3.6,例1 计算 ， 其中为包含a的任一简单闭路

8、， n为整数。解 因为a在闭合曲线内部， 故可取很小的整数， 使1： |za|=在内部(见图3.7)。,图3.7,为边界的复连通域内解析，,由复合闭路定理有,再结合本章3.1节的例4的结论可得,例2 计算的值， 其中为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线。,解 函数在复平面内除z=0和z=1两个奇点外处处解析。 由题意知道， 包含这两个奇点。 在内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2， C1只包含奇点z=0， C2只包含奇点z=1(见图3.8)。,图3.8,根据复合闭路定理， 得,3.4 原函数与不定积分定理一 若函数f(z)在单连通域B内处处解析， 则积分 与连接起点及终点的路

9、径C无关。由此定理可知， 解析函数在单连通域内的积分只与起点z0及终点z1有关。 如图3.9所示， 有,图3.9,如果固定z0， 让z1在B内变动， 并令z1=z， 那么积分在B内确定了一个单值函数F(z)， 即,对这个函数， 我们有下述定理。,定理二 若f(z)在单连通域B内处处解析， 则函数F(z)必为B内的一个解析函数， 并且F(z)=f(z)。这个定理跟微积分学中对变上限积分的求导定理完全类似。 同样， 我们可以得出类似于微积分学中的基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。,定义 若函数j(z)在区域B内的导数等于f(z)， 即j(z)=f(z)， 则称j (z)为f(z)在区域B内的原函数。定

10、理二表明是f(z)的一个原函数。容易证明， f(z)的任意两个原函数相差一个常数。设G(z)和H(z)是f(z)的任意两个原函数， 则G(z)H(z)=G(z)H(z)=f(z)f(z)0所以G(z)H(z)=c， 其中c为任意常数。,定义 f(z)的原函数的一般表达式F(z)+c(其中c为任意常数)称为f(z)的不定积分， 记作 (3.4.2) 利用任意两个原函数之差为一常数这一性质， 可以推得与牛顿-莱布尼兹公式类似的解析函数的积分计算公式,定理三 若f(z)在单连通域B内处处解析， F(z)为f(z)的一个原函数， 则其中z0， z1为B内的两点。,(3.4.3),证明 因为 也是f(z

11、)的原函数， 所以当z=z0时， 根据柯西古萨基本定理， 得c=F(z0)， 因此,或,例1 求积分的值。解,这里使用了微积分学中的“凑微分”法。,例2 沿区域Im(z)0, Re(z)0的圆弧|z|=1， 计算积分的值。解 函数在所设区域内解析， 它的一个原函数为， 所以,3.5 柯西积分公式定理 若f(z)在区域D内处处解析， C为D内任意一条正向简单闭曲线， 它的内部完全含于D， z0为C内的任一点， 则有如下柯西积分公式:,(3.5.1),证明 f(z)在z0连续， 则任意给定0， 存在一个()0， 当|zz0|时， |f(z)f(z0)|。 设以z0为中心、 R为半径的圆周K|z=z

12、0|=R全部在C的内部， 且R(见图3.10)， 那么,(3.5.2),由积分估值不等式(3.1.13)， 有,上式表明不等式左端积分的模可以任意小， 只要R足够小。 根据闭路变形原理， 该积分的值与R无关， 所以对所有的R，该积分值都必须为零。 因此， 由式(3.5.2)即得所要证的柯西积分公式(3.5.1)。,图3.10,显然， 若f(z)在简单曲线C所围成的区域内及C上解析， 则柯西积分公式仍然成立。柯西积分公式表明， 可以把一个函数在C内部任一点的值用它在边界上的值来表示。 也就是说， 若f(z)在区域边界上的值一经确定， 则它在区域内部任一点处的值也就确定了。 这是解析函数的又一特征

13、。,例如， C是圆周z=z0+Rei， 那么式(3.5.1)成为,这表明， 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。,例 求下列积分(沿圆周正向)的值。,解 由式(3.5.1)得,3.6 解析函数的高阶导数定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数， 它的n阶导数为,其中C为函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任意一条正向简单闭曲线， 且其内部全包含于D。,证明 设z0为D内任意一点， 先讨论n=1的情况， 即,根据导数的定义,由柯西积分公式得,从而有,上式中最后一个积分的模,f(z)在C上解析， 故在C上连续， 由第一章复变函数的极限和连续性质知道， f(z)在C上有界。 即必存在一个

14、正数M， 使得在C上有|f(z)|M。,设d为从z0到曲线C上各点的最短距离(见图3.11)， 适当选取z， 使其满足， 则有,所以,由积分估值不等式可得,其中, L为C的长度。 若z0， 则上式趋于零， 所以,上式可以进一步写成,图3.11,我们再利用式(3.6.2)以及推出式(3.6.2)的方法去求极限：,便可得到,依此类推， 用数学归纳法可以证明：,例1 求积分。解 函数f(z)=z3+1在复平面内解析， z0=1在|z|2内， n=3， 根据高阶导数公式有,例2 求积分， 其中C为正向圆周： |z|=r1。解 函数在z=i处不解析， 且不解析点在C内。 在C内分别以z=i为中心作正向圆

15、周C1， C2(见图3.12)。,图3.12,f(z)在由C， C1和C2所围成的区域内是解析的。 由复合闭路定理， 有,由高阶导数公式可得,同样可得,所以,3.7 调 和 函 数定义 若二元实变函数j(x, y)在区域D内具有二阶连续偏导数, 且满足拉普拉斯(Laplace)方程,(3.7.1),则称j(x, y)为区域D内的调和函数。,定理 任何在区域D内解析的函数， 其实部和虚部都是D内的调和函数。证明 设f(z)=u+iy为D内的一个解析函数， 则满足柯西-黎曼方程,从而有,由高阶导数定理知， u与v具有任意阶的连续偏导数， 故有,所以有,同理有,因此u与v都是调和函数。,例1 证明u(x, y)=x2y2为调和函数， 并求一解析函数f(z)=u+iv， 使得f(0)=1。解,所以, 故u(x, y)为调和函数。,由 ，得,从而有,由 ，得,2y+g(x)=2y,故g(x)=0， g(x)=c。 因此v(x, y)=2xy+c， 从而得到一个解析函数f(z)=u+iv=x2y2+i(2xy+c)也可以写成 f(z)=z2+ic由f(0)=1， 得c=i， 所以所求的解析函数为f(z)=z2+1,