第二章 薄板振动ppt课件.ppt

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1、第二章 薄板的振动问题,2-1 薄板的自由振动,等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为,其中 为板的单位面积上的质量。p 为动载荷。,首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题,令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得,（1）,（2）,分离变量得常微分方程,和微分方程固有值问题,（3）,（4）,其的通解为,因此薄板的自由振动问题可化为微分方程的固有值问题，即求振形函数在齐次边界条件下的非零解。使自由振动问题有非零解的频率称为固有频率，相应非零解W称为固有函数。振形微分方程（4）以及齐次边界条件完全确定固有频率的数值，而与动载荷无关。,2-2 四边简支矩形薄板的自由振动,设有

2、四边简支的矩形薄板如图所示。,取振形函数形式为,代入振形方程（4）得,给定一组m,n的值，就可得到一个相应的固有频率，不妨用两个下标来表示某个固有频率，上式可写成,由此可写出挠度函数的形式解,将挠度的初始条件展成固有函数的级数,其中待定系数由挠度函数的非齐次初始条件决定。,解得,其中,挠度表达式,讨论 运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题： 分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有值存在；方程和定解条件要求固有函数具有正交性和完备性；非齐次初值条件或自由项（受迫振动时）或方程的解等，应能用固有函数展开成平均收敛的级数。,2-3 瑞次法及其应用,设薄板振形变形能为,（5）

3、,对于具有夹支或简支边的矩形薄板，可简化为,（6）,（7）,对于夹支圆形薄板，可简化为,（8）,对于圆形薄板轴对称问题，振形变形能为,设薄板振形泛函为,其中W为可能的振形函数。可以证明由泛函的驻值条件可以导出方程（4）。,为了求固有频率或固有函数的近似解，设,其中Wi为满足齐次位移边界条件且线性互不相关的基函数，Ci为待定系数。振形的变分是由系数变分实现的，基函数在变分中保持不变,（9）,将此式代入泛函的变分方程，得,瑞次方程。瑞次方程是 m 个齐次 线性方程，由 m个系数Ci的非零解条件，从而得出m个固有值的表达式。,瑞次方程,例 1 四边简支矩形板固有频率,取振形函数为,可以满足齐次位移边

4、界条件。代入泛函表达式，得,于是由瑞次方程，得,由系数Cmn的非零解条件，得固有频率表达式,与上一节中的精确答案相同。,最低固有频率的近似计算,若基函数只取一项W1，瑞次方程可简写成,若基函数W1为最低固有函数，则可以得到精确的最低固有频率；若基函数W1的振形非常接近最低固有函数，则可以得到近似的最低固有频率。,例 2 四边夹支矩形板,设有四边夹支的矩形薄板如图所示。试用瑞次法计算薄板最低固有频率的近似值。,解,取振形函数为,可以满足位移边界条件（无内力边界条件） 。代入瑞次方程，得,于是得,对于正方形薄板,与最低固有频率的精确答案,几乎相同。,思考题,对于方形薄板是简支的基频较高还是夹支的基

5、频较高,例 3 夹支圆形板,设有边界夹支的圆形薄板如图所示。试用瑞次法计算薄板最低固有频率的近似值。,解,取振形函数为,可以满足位移边界条件（无内力边界条件） 。代入瑞次方程，得,于是得,比最低固有频率的精确答案,仅大出1%。,2-4 四边简支薄板的受迫振动,采用固有函数展开法求解薄板非齐次运动方程。,举例，设四边简支矩形薄板受到动载荷,的作用，试求解挠度的级数解，并讨论共振问题。,简支矩形薄板的固有函数为,采用固有函数展开法，可得：,固有函数展开,其中w已经满足边界条件，wmn(t)为待定函数。,将级数表达式代入方程（1）和齐次初始条件，可得,由此可知 wmn 必满足二阶线性常微分方程,的初值问题，方程的解等于齐次通解加特解,由初值条件可确定通解中的两个系数，最后得,在挠度 w(x,y,t) 表达式中存在共振发散项,共振现象,思考题,能否将薄板受迫振动化为初值问题处理？,谢谢,