高斯积分法讲义ppt课件.ppt

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1、1,4.5 高斯求积公式,2,4.5.1 一般理论,求积公式,含有 个待定参数,当 为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为 次.,如果适当选取 有可能使求积公式具有 次代数精度，这类求积公式称为高斯(Gauss)求积公式.,3,为具有一般性，研究带权积分,这里 为权函数，,类似(1.3)，求积公式为,（5.1）,为不依赖于 的求积系数.,使（5.1）具有 次代数精度.,为求积节点，,可适当选取,定义4,如果求积公式(5.1)具有 次代数精度，,则称其节点 为高斯点，相应公式(5.1)称为高斯求积公式.,4,根据定义要使(5.1)具有 次代数精度，只要对,（5.2）,当给定权函数 ，求出

2、右端积分，则可由(5.2)解得,令(5.1)精确成立，,即,5,例5,（5.3）,解,令公式(5.3)对于 准确成立，,试构造下列积分的高斯求积公式：,得,（5.4）,6,由于,利用(5.4)的第1式，可将第2式化为,同样地，利用第2式化第3式，利用第3式化第4式，分别得,从上面三个式子消去 有,7,进一步整理得,由此解出,从而,8,这样，形如(5.3)的高斯公式是,由于非线性方程组(5.2)较复杂，通常 就很难求解.,故一般不通过解方程(5.2)求 ，,而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.,9,定理5,是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式,与任何次数不超过 的多项式 带权 正

3、交，,（5.5）,证明,即,插值型求积公式(5.1)的节点,必要性.,设,则,10,精确成立，,因,即有,故(5.5)成立.,则求积公式(5.1)对于,充分性.,用 除 ，,记商为 ，,余式为 ，,即 ,其中 .,对于,由(5.5)可得,（5.6）,11,由于求积公式(5.1)是插值型的，它对于 是精确的，,即,再注意到,知,从而由(5.6)有,12,可见求积公式(5.1)对一切次数不超过 的多项式均精确成立. 因此， 为高斯点.,定理表明在 上带权 的 次正交多项式的零点就是求积公式(5.1)的高斯点.,有了求积节点 ，再利用,对 成立，,的线性方程.,解此方程则得,则得到一组关于求积系数,

4、13,下面讨论高斯求积公式(5.1)的余项.,利用 在节点 的埃尔米特插值,于是,也可直接由 的插值多项式求出求积系数,即,14,两端乘 ，并由 到 积分，则得,（5.7）,其中右端第一项积分对 次多项式精确成立，故,由于,（5.8）,由积分中值定理得(5.1)的余项为,关于高斯求积公式的稳定性与收敛性，有：,15,定理6,证明,它是 次多项式，,因而 是 次多项式，,注意到,高斯求积公式(5.1)的求积系数,全是正的. ,考察,故高斯求积,公式(5.1)对于它能准确成立，即有,上式右端实际上即等于,从而有,16,由本定理及定理2，则得,推论,定理7,定理得证.,高斯求积公式(5.1)是稳定的

5、.,设,即,则高斯求积公式(5.1)收敛，,17,4.5.2 高斯-勒让德求积公式,在高斯求积公式(5.1)中，,由于勒让德多项式是区间 上的正交多项式，因此，,勒让德多项式 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点.,形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式.,区间为,则得公式,若取权函数,（5.9）,18,令它对 准确成立，即可定出,这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式为,是中矩形公式.,若取 的零点 做节点构造求积公式,再取 的两个零点 构造求积公式,19,令它对 都准确成立，有,由此解出,三点高斯-勒让德公式的形式是,表4-7列出高斯-勒让德求积公式(5.9)的节点和系数.,从而得

6、到两点高斯-勒让德求积公式,20,21,由(5.8)式，,这里 是最高项系数为1的勒让德多项式.,由第3章(2.6)及(2.7),公式(5.9)的余项,22,得,（5.10）,当 时，有,它比区间 上辛普森公式的余项,还小，且比辛普森公式少算一个函数值.,当积分区间不是 ，而是一般的区间 时，,只要做变换,23,可将 化为 ,（5.10）,对等式右端的积分即可使用高斯-勒让德求积公式.,这时,24,例6,用4点( )的高斯-勒让德求积公式计算,解,先将区间 化为 ，,根据表4-7中 的节点及系数值可求得,由(5.11)有,25,4.5.3 高斯-切比雪夫求积公式,若 且取权函数,则所建立的高斯

7、公式为,（5.12）,称为高斯-切比雪夫求积公式.,26,由于区间 上关于权函数 的正交多项式是,切比雪夫多项式，,因此求积公式(5.12)的高斯点是 次,切比雪夫多项式的零点，即为,(5.12)的系数 使用时将 个节点公式改为,个节点，,（5.13）,于是高斯-切比雪夫求积公式写成,27,由(5.9)，余项,带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分.,（5.14）,28,例7,用5点( )的高斯-切比雪夫求积公式计算积分,解,当 时由公式(5.13),由(5.14)式，误差,这里,可得,29,4.6 数 值 微 分,数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值.,30,4.6.1 中点方

8、法与误差分析,按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得到几种数值微分公式,其中 为一增量，称为步长.,（6.1）,31,后一种数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种方法的算术平均.,但它的误差阶却由 提高到,较为常用的是中点公式.,为利用中点公式,计算导数的近似值，首先必须选取合适的步长，为此需要进行误差分析.,分别将 在 处做泰勒展开有,32,代入中点公式得,从截断误差的角度看，步长越小，计算结果越准确.,其中,且,（6.2）,33,再考察舍入误差.,按中点公式，当 很小时，因 与 很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失.,因此，从舍入误差的角度来看，步长是不宜太小的.,例如，用中

9、点公式求 在 处的一阶导数,取4位数字计算.,结果见表4-8(导数的准确值 ).,34,从表4-8中看到 的逼近效果最好，如果进一步缩小步长，则逼近效果反而越差.,则计算 的舍入误差上界为,这是因为当 及 分别有差入误差 及,若令,35,它表明 越小，舍入误差 越大，故它是病态的.,用中点公式(6.1)计算 的误差上界为,要使误差 最小，步长 不宜太大，也不宜太小.,其最优步长应为,36,4.6.2 插值型的求导公式,对于列表函数,运用插值原理，可以建立插值多项式 作为它的近似.,由于多项式的求导比较容易，我们取 的值作为 的近似值，这样建立的数值公式,（6.3）,统称插值型的求导公式.,37

10、,即使 与 的值相差不多，,与导数的真值 仍然可能差别很大.,导数的近似值,因而在使用求导公式(6.3)时应特别注意误差的分析.,依据插值余项定理，求导公式(6.3)的余项为,式中,38,但如果限定求某个节点 上的导数值，那么第二项中,由于 是 的未知函数，所以对随意给出的点 ，,误差是无法预估的.,因式 变为零，这时余项公式为,（6.4）,下面仅考察节点处的导数值并假定所给节点是等距的.,39,1. 两点公式,设已给出两个节点 上的函数值,对上式两端求导，记 ，有,做线性插值,于是有下列求导公式：,40,利用余项公式(6.4)知，带余项的两点公式是,41,2. 三点公式,设已给出三个节点 上

11、的函数值，,做二次插值,令 上式可表示为,42,两端对 求导，有,（6.5）,式中撇号（）表示对变量 求导数.,43,分别取 得到三种三点公式：,带余项的三点求导公式为,（6.6）,44,其中的公式(6.6)是中点公式. 它比其余两个三点公式少用了一个函数值.,用插值多项式 作为 的近似函数，还可以建立高阶数值微分公式：,例如，将式(6.5)再对 求导一次，有,45,于是有,而带余项的二阶三点公式如下：,（6.7）,46,4.6.3 利用数值积分求导,微分是积分的逆运算，因此可利用数值积分的方法来计算数值微分.,设 是一个充分光滑的函数，,（6.8）,对上式右边积分采用不同的求积公式就可得到不

12、同的数值微分公式.,则有,47,例如，用中矩形公式(1.2)，则得,从而得到中点微分公式,若对(6.8)右端积分用辛普森求积公式，则有,48,略去上式余项，并记 的近似值为 则得到辛普森数值微分公式,这是关于 的 个方程组，,已知，,（6.9）,若,则可得,49,这是关于 的三对角方程组，且系数矩阵为严格对角占优的，可用追赶法求解(见第5章5.4节).,如果端点导数值不知道，那么对(6.9)中第1个和第 个方程可分别用 及 的中点微分公式近似，,然后求,即为 的近似值.,即取,50,例8,给定 的一张数据表(表4-9左部)，,并给定 及 的值(见表4-9).,解,解之得,结果见表4-9.,根据

13、(6.9)有,51,52,4.6.4 三次样条求导,三次样条函数 与 ，不但函数值很接近，而且导数值也很接近，并有,（6.10）,因此利用三次样条函数 接得到,根据第2章(7.8)，(7.9)可求得,53,这里 为一阶均差.,其误差由(6.10)可得,54,4.6.5 数值微分的外推算法,利用中点公式计算导数值时,对 在点 做泰勒级数展开有,其中 与 无关.,利用理查森外推对 逐次分半，,则有,若记,55,（6.11）,公式(6.11)的计算过程见表4-10，表中数字为外推步数.,56,根据理查森外推方法，(6.11)的误差为,由此看出当 较大时，计算是很精确的.,例9,解,当 时，由外推法表4-10可算得,考虑到舍入误差，一般 不能取太大. ,用外推法计算 在 的导数. ,令,57,的精确值为 可见当 时用中点微分公式只有3位有效数字，外推一次达到5位有效数字，外推两次达到9位有效数字.,