高数 矩阵的概念及运算ppt课件.ppt

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1、2.2 矩阵及其运算,线性代数,矩阵也是是线性代数的重要工具，矩阵理论的应用，最常见也最重要的就是解线性方程组。,本节知识点和教学要求,知识点矩阵的概念 -矩阵的加减和倍数矩阵的乘法 -初等变换和矩阵的秩逆矩阵 -求解可逆矩阵方程 教学要求熟练掌握矩阵运算的基本法则熟练运用初等变换，进而能求矩阵的秩熟练运用初等变换求矩阵的逆熟练运用初等变换求解可逆矩阵方程,2.2.1 矩阵的概念,引例某商店上半年电视销售情况(单位:百台),求全年电视销售情况？,某商店下半年电视销售情况(单位:百台),简记为,定义,矩阵矩形数表 用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示,元素 aij 数学理论中，元素可以是数，也可以

2、是其他对象;方阵：m=n时, 称n阶方阵或n阶矩阵; 1阶矩阵就是一个数.向量:1 n阶矩阵行向量, n 1阶矩阵列向量.,矩阵的简记法: (aij)mn用行向量表示用列向量表示这里，Aj为列向量，Bi为行向量。,矩阵的相等,矩阵的元素都一一对应相等时，两个矩阵才相等.行数和列数不相等的矩阵绝不能相等!行数和列数相同的矩阵称同型矩阵，即两个矩阵相等的先决条件是两者为同型矩阵。,零矩阵,矩阵O= (aij)mn的mn个元素均为零。,即,转置矩阵AT,显然, n 阶方阵的转置仍然是n 阶方阵.(AT)T =A.,系数矩阵和增广矩阵,例2. 2. 1 三元线性方程组,的和分别是,系数矩阵,增广矩阵,

3、n元线性方程组的情况见教材127页。,中国古代算书九章算术中的“方程”,刘徽的九章算术中方程章是这样说的。 “程，课程也。群物总杂, 各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.” 这段话的意思可以从方程 章的第一道题看出, 题目是 “今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗; 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉, 下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?” ( 秉捆),“置上禾三秉, 中禾二秉,下禾一秉, 实三十九斗于右方; 中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次, 亦以直除” (直除减去

4、对应的各数，到不能再减为止). 按照这种解法，列出下列算式：,方程章的解法为,用右行上禾秉数3遍乘中行各数，得6, 9, 3, 102 减去右行对应各数，得3, 7, 2, 63，再减一次，得 0, 5, 1, 24，不能再减了 (消去一个未知数上禾每秉的实); 又用3遍乘左行各数,得3, 6, 9, 78 减去右行对应各数，得0, 4, 8, 39. 如下:,接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除”，即接着消去左右两行中的中禾每秉的实, 同现代的解一次方程组的加减消元法十分一致.最后: 左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中

5、禾之实。求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。”法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的算术一书中开始用不甚完整 (没有认识负数) 的加减消元法解联立一次方程组。前面解题过程中的方框即可视为矩阵, 可见矩阵并以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创.,) 定义,2.2.2 矩阵的加减和倍数1、矩阵的加法,设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为,只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,例如(即引例),说明,(交换性),(结合性),(零矩阵的单位性),2) 矩阵加法的运算规律,(保持转置性),(5)负矩阵的存在性和矩阵的减法,称为

6、矩阵A的负矩阵。,这就是矩阵的减法,例2.2.1,设某公司的职工按男女区分统计如下,从矩阵 A B 中可了解该机械公司的职工总数情况：男性技术人员、生产工人、其他职工分别为150 、 400 、 15 人，而女性职工分别为 35 、 300 、 35 人,我们分别用矩阵 A 和 B 来列出总公司和分公司的职工人数情况，然后汇总统计用矩阵 A B 表示，即,例2.2.4 设,容易看出,有,1) 定义,2、矩阵的倍数 (即数与矩阵相乘),矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,（设 为 矩阵， 为数）,2) 数乘矩阵的运算规律,(对加法的分配性),(保持转置性),(结合性),引例1,计算

7、过程可表示如下:,2.2.3 矩阵的乘法,一个小学生买了12支铅笔,每支0.3元; 练习本15本,每本0.2元; 蓝墨水一瓶,价0.8元.共花去多少钱?,这是一行矩阵与一列矩阵的乘法.,能用矩阵表示计算过程吗?是否更简约?,引例 2,上例,若还有一个小学生买了8支铅笔; 练习本10本; 蓝墨水2瓶, 各样物品价格相同. 两人各自共花去多少钱?,当我们处理大量数据的时候，就需要矩阵了,引例3 某商店上半年电视经营情况,某商店上半年电视销售情况(单位:百台),简记为,(单位:千元/台),这个结果的意义是什么?,(数量矩阵价格矩阵),(单位：十万元),并把此乘积记作,设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵

8、，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵 ，其中,1. 矩阵的乘法,定义,设,例2.2.6,例2.2.5,故,解,例2.2.7 设A, B分别是n1和1n矩阵, 且,计算AB和BA.,解,例如,不存在.,注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,矩阵乘积的认识定义4 设A是一个mn矩阵, B是一个ns矩阵,则A的第i个行向量与B的第j个列向量之乘积为一个数，这个数就是AB的第i行第j列的元素, 且,定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或,运算性质,定理2.2.1,方阵的行列式,即同阶方阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积。,因为,所以如

9、果有,2. 矩阵的乘法和线性方程组的关系,就有,即,一般的线性方程组,可以非常简单地表示为矩阵方程,这里,（其中 为数）;,若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且,3. 矩阵乘法的性质（运算律）,例 设,则,从此例还可以看到: 两个非零的矩阵, 其乘积可能等于零. 因此在矩阵等式中, 不能用消去律.,注意矩阵不满足交换律，即：,则有,但也有例外，比如设,这属于特例，称之为“可交换矩阵”。,4. 单位矩阵如同数和乘法中的 1,单位矩阵是一个方阵,并且除左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1以外,其他元素全都为0, 即,这里, A是mn阶矩阵, 上式任何矩阵左乘或右乘一个单位矩阵

10、,其积仍为该矩阵.,可验证,解法1,例2.2.8 已知,解法 2,五、小结,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘（矩阵的倍数）,矩阵与矩阵相乘（要逐步熟悉）,转置矩阵,方阵的行列式,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.,（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,注意,作业,思考题,成立的充要条件是什么?,思考题解答,答,故 成立的充要条件为,作 业( 教材第143页),2.2.4 -2.2.6,同学们再见！,九章算术卷八,解,*,例2,由此归纳出,小结,当 时，显然成立.,假设 时成立，则 时，,用数学归纳法证明,所以对于任意的 都

11、有,定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .,例,、转置矩阵,四、矩阵的其它运算,(已并入前面各项,其它的本书不再深入),转置矩阵的运算性质,3、对称阵与伴随矩阵,定义,设 为 阶方阵，如果满足 ，即那末 称为对称阵.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.,说明,例6 设列矩阵 满足,证明,例7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵与反对称阵之和.,证明,所以C为对称矩阵.,所以B为反对称矩阵.,命题得证.,定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵,性质,证明,则,称为矩阵 的伴随矩阵.,4、共轭矩阵,故,同理可得,运算性质,（设 为复矩阵， 为复数, 且运算都是可行的）:,