第10章第1节无穷限反常积分PPT精品文档课件.ppt

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1、20.12.2022,1,10.1 无穷限的反常积分 (积分区间无限无穷积分),10.2无界函数的反常积分 (被积函数无界瑕积分),第十章 反 常 积 分(广义积分),20.12.2022,2,引 例,一、无穷积分的概念,二、无穷积分的性质,三、 无穷积分与数项级数的关系,四、 无穷积分收敛性判别法,20.12.2022,3,引例：,问题：,0,x,y,1,b,即这是积分区间为1，+）的积分。,解：,由于这个图形不是封闭的曲边梯形,而在x轴的正方 向是开口的，,20.12.2022,4,显然当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变，,则所求曲边梯形的面积为1.,20.12.2022,5,一、无穷积

2、分的概念.,定义:,设函数 f (x)在区间a, +)上连续, 任取b a,如果极限,存在,则称此极限为函数 f (x)在无穷区间a, +)上的广义积分, 记作,(1),20.12.2022,6,这时记号 不再表示数值了。,例如：,这时也称广义积分 收敛;,若上述极限不存在, 就称广义积分 发散,20.12.2022,7,类似地, 设函数 f (x)在区间(, b上连续, 取a b,如果极限,存在,(2),这时也称广义积分 收敛; 若上述极限不存在, 就称广义积分 发散.,即,f (x)在无穷区间(, b上广义积分, 记作,则称此极限为函数,20.12.2022,8,设函数 f (x)在区间(

3、, +)上连续,都收敛, 则称上述两个广义积分之和为函数 f (x)在区间(, +)上广义积分.,(3),如果广义积分,记作,即,20.12.2022,9,这时, 也称广义积分 收敛; 否则就称广义积分 发散.,上述三种广义积分统称为: 无穷限的广义积分（无穷积分）.,20.12.2022,10,解：,注: 为方便起见, 把,20.12.2022,11,20.12.2022,12,解:,加,20.12.2022,13,证: 当 p = 1时,当 p 1时,20.12.2022,14,结论,类似于p级数,20.12.2022,15,练习1.确定下列无穷积分是否收敛，若收敛算出它的值.,解：,20

4、.12.2022,16,20.12.2022,17,20.12.2022,18,作业1：下列无穷积分是否收敛？ 若收敛，算出它们的值.,作业2：求下列无穷积分：,20.12.2022,19,二、无穷积分的性质,（1）、,对于无穷限积分也有换元法则.,（2）、,（3）、,（4）、,20.12.2022,20,Cauchy收敛原理(准则)：,和无穷级数类似，反常积分也有绝对收敛和条件收敛的概念：,20.12.2022,21,定理：绝对收敛的反常积分一定收敛，,但收敛的却不一定绝对收敛. (见例题8),20.12.2022,22,三、无穷积分与数项级数的关系,二者有密切的联系:,由函数极限与数列极限

5、的关系知：,并且有同一极限值.,海涅定理,20.12.2022,23,分析:,20.12.2022,24,20.12.2022,25,o,y,x,1,2,3,4,5,20.12.2022,26,四. 无穷积分收敛的判别法,1.比较判别法:,则有:,20.12.2022,27,2.极限形式:,则:,20.12.2022,28,.柯西判别法:,20.12.2022,29,4.极限形式:,20.12.2022,30,例4：,解：,参考函数,20.12.2022,31,例5：,解：,20.12.2022,32,解：,加. 讨论 的收敛性，,根据比较判别法,20.12.2022,33,例6：,解：,故,

6、由柯西判别法极限形式,20.12.2022,34,第二中值定理,（作用相当于级数中的阿贝尔变换）,有阿贝尔判别法判别法与狄利克雷判别法,两种判别法证明需要用如下中值定理,20.12.2022,35,特别地,利用第二中值定理可以证明A-判别法和D-判别法,20.12.2022,36,*.阿贝尔判别法,了解内容,20.12.2022,37,例8：,证明：,由A-判别法知，所讨论级数收敛.,20.12.2022,38,*.狄利克雷判别法,了解内容,20.12.2022,39,例7：,证明：,先证明此积分收敛,20.12.2022,40,再证明此积分收敛非绝对收敛,20.12.2022,41,例9：,证明：,20.12.2022,42,作业：p 64. 2（单）8（双）,谢谢你的阅读,知识就是财富丰富你的人生,