第03章4自动控制理论课件.pptx

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1、劳斯稳定判据,于是便提出这样一个问题，能否不用直接求特征根的方法，而根据特征方程式(即高次代数方程)根与系数的关系去判别系统的特征根是否全部具有负实部的间接方法来分析控制系统的稳定性。,控制系统稳定的条件是其特征根均需具有负实部。因此判别系统稳定与否，就变成求解特征方程的根并校验其特征根是否都具有负实部的问题。,但是当系统阶次高于4时，在一般情况下，求解其特征方程将会遇到较大的困难。因此，通过直接求解特征方程，并按求得的特征根分析系统稳定性的方法是极不方便的。,劳斯稳定判据就是这样一种勿须求解特征方程，而通过特征方程的系数分析控制系统稳定性的间接方法。,设系统的特征方程式为,将上式中的各项系数

2、，按下面的格式排成劳斯表,表中,1）如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根在 s 平面的左半平面，相应的系统是稳定的。,用同样的方法，求取表中其余行的系数，一直到第 n+1 行排完为止。,劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变换，去判别特征方程式的根在 s 平面上的具体分布，其结论是：,2）如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在 s 平面的右半平面上的个数，相应的系统是不稳定的。,例2-1 已知一调速系统的特征方程式为,试用劳斯判据判别该系统的稳定性。,解 列劳斯表,由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有两个根在 s 的右半平面

3、，因而系统是不稳定的。,在应用劳斯判据时，可能遇到如下的特殊情况：,1劳斯表中第1列出现零 如果劳斯表第1列中出现0，那么可以用一个小的正数代替它，而继续计算其余各元。例如，方程,现在观察劳斯表第1列的各元。当趋近于零时的值是一个很大的负值，因此可以认为第1列中的各元的符号改变了两次。由此得出结论，该系统特征方程式有两个根具有正实部，系统是不稳定的。如果上面一行的首列和下面一行的首列符号相同，这表明有一对纯虚根存在。例如对下列方程式,的劳斯表为,可以看出，第1列各元中 的上面和下面的系数符号不变，故有一对虚根。将特征方程式分解，有,解得根为,2劳斯表的某一行中，所有元都等于零,如果在劳斯表的某

4、一行中，所有元都等于0，则表明方程有一些大小相等且对称于原点的根。在这种情况下，可利用全0行的上一行各元构造一个辅助多项式（称为辅助方程）。以辅助方程的导函数的系数代替劳斯表的这个全0行，然后继续计算下去。这些大小相等而关于原点对称的根也可以通过求解这个辅助方程得出。,系统特征方程式为,由上表可以看出，行的各项全部为零。为了求 出各项，将 行的各元构成辅助方程式,它的导函数为,劳斯表中得 各元为,用导函数的系数4和12代替 行相应的元继续算下去，得劳斯表为,可以看出，在新得到的劳斯表的第1列有变号，因此可以确定在右半平面有2特征根。另外，由于 行的各元均为零，这表示有共轭虚根。这些根可由辅助方

5、程式求出。本例的辅助方程式是,由之求得特征方程式的大小相等符号相反的虚根为,应用Routh判据分别研究一阶、二阶和三阶微分方程,容易得到以下的简单结论：（1）一阶和二阶系统稳定的充分必要条件是： 特征方程所有系数均为正。（2）三阶系统稳定的充分必要条件是：特征方 程所有系数均为正， 且,劳斯稳定判据,劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变换，去判别特征方程式的根在 s 平面上的具体分布，其结论是：,2）如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在 s 平面的右半平面上的个数，相应的系统是不稳定的。,1）如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根在 s

6、 平面的左半平面，相应的系统是稳定的。,劳斯稳定判据,劳斯稳定判据,试用劳斯判据判定系统的稳定性,特征方程式：,结论,2、不稳定,3、有两个正根,1、劳斯表的行同乘某一正数不影响系统的稳定性,劳斯稳定判据,设系统特征方程为：,s4+5s3+7s2+5s+6=0,劳 斯 表,5,1,7,5,6,6,6,0,1 劳斯表何时会出现零行?,2 出现零行怎么办?,3 如何求对称的根?,s2+1=0,对其求导得零行系数: 2s1,继续计算劳斯表,1,第一列全大于零,所以系统稳定,错啦!,由综合除法可得另两个根为s3,4= -2,-3,劳斯稳定判据,应用劳斯判据不仅可以判别系统稳定性，即系统的绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和监别延滞系统的稳定性。,令,把虚轴左移 。将上式代入系统的特征方程式，得以z为变量的新特征方程式，然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴（垂直线s= ）的右边。如果所有根均在新虚轴的左边（新劳斯阵列式第一列均为正数），则说系统具有稳定裕量 。,劳斯稳定判据,检验特征方程式,是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线S=-1的右边。,劳斯表为,第一列无符号改变，故没有根在S平面右半平面。,再令S=Z-1，代入特征方程式，得,劳斯稳定判据,若要使系统稳定，其充要条件是劳斯表的第一列均为正数。,