第六章自由电子费米气体课件.ppt

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1、第六章 自由电子费米气体 (金属自由电子论) Free Electron Fermi Gas,2,金属元素有大约75种之多，在自然界大约有2/3以上的固态纯元素属于金属。,人类社会很早就学会了使用金属并以其作为人类进步的标志，如过去的铜器时代、铁器时代等。 金属具有良好的导电、导热、易加工及特殊的金属光泽等特点，但为什么这些元素具有如此的特点？其深层次的原因是什么？,3,许多固体具有导电性，这意味着在这固体内有许多电子并没有真正被原子所束缚住，相反的这些电子可以在固体内遨游。 具有导电性的固体可被区分成两类，那便是金属与半导体。 在这章节内我们将只针对金属进行讨论。,4,6.1 金属自由电子论

2、 的物理模型,5,1. Drude的金属自由电子论,Drude的经典理论建立的历史背景: 1870年前后，玻尔兹曼、麦克斯韦等建立了气体分子运动论和统计理论；1897年，T.T.Thomson发现电子，使得人们轻易就可以猜测出金属导电的机制。 在总结 金属本身总是具有高电导率、高热导率和高的反射率的实验事实的基础上，Drude于1900年建立了Drude模型，主要研究金属的电导和热导问题。,6,1. Drude的金属自由电子论,Drude的经典理论: 自由电子是经典离子气体，服从玻尔兹曼分布(速度分布)，与中性稀薄气体一样去处理，完全套用经典气体模型，认为电子之间无相互作用，同时也不考虑离子实

3、势场的作用。 这样一个简单的物理模型处理金属的许多动力学问题是成功的，特别是对我们理解简单金属的许多性质是有帮助的。,7,1）金属晶体中的传导电子只与离子实发生碰撞（后面可以看到，电子与电子之间的碰撞几率基本可以忽略），忽略了离子实与传导电子之间的库仑相互作用，称为自由电子近似（free electron approximation）。2）忽略了电子与电子之间的库仑排斥相互作用，成为独立电子近似（independent electron approximation）。,Drude经典理论的基本假设:,将金属中高浓度（1022-1023/cm3)的价电子看作理想气体，其基本假设为：,8,4）一个

4、电子与离子实两次碰撞之间的平均时间间隔称为弛豫时间，它与电子的速度和位置无关，称为弛豫时间近似（relaxation approximation）。,3） 传导电子简单地随机的和正离子实相碰撞(受正离子实的散射)且碰撞是瞬时的，每次碰撞都急剧地改变传导电子的速度，但碰后电子的速度只与碰撞地点的温度有关，而与碰前速度无关。电子只是通过碰撞与周围环境达到热平衡。在相继的两次碰撞之间，电子做直线运动，遵循牛顿第二定律，称为碰撞近似（collision approximation）。,9,特鲁德模型的应用,1）金属的直流电导金属晶体内的电子运动类似理想气体分子的运动，因此电流密度为 j = -nev平

5、,n 金属导体内的电子数密度,v平 电子运动的平均定向速度,讨论： 外电场E=0时， v平=0 电子运动是随机的净定向电流为零，对电流密度没有贡献,10,me电子的质量t 传导电子与离子实发生碰撞的平均自由时间,欧姆定律,外电场E 0时， v平 0 产生净定向电流在外场E作用下，考虑电子每一次碰撞后其运动方向是随机的，所以电子的初速度对平均速度是没有贡献的。,因此，电子平均速度v平起源于在外场E作用下，电子在连续两次碰撞的平均时间间隔内，电子附加上的一个速度：,11,实验测定金属的电阻率r，来估计平均自由时间t,2）金属的平均自由时间和平均自由程,平均自由程l (电子在连续两次碰撞之间的平均运

6、动距离)以下应该不是用v平来表示速度,根据经典的能量均分定律，有,12,free electron approximation 离子实（金属原子间距）大约也就是这个量级，可以看出，与Drude模型的假设比较吻合。 但实验中发现金属中电子的平均自由程要比以上特鲁德模型的估算值大得多。Cu： T=4K，也就是Drude模型当中的假设并不是适用于一切情况。,13,问 题,在固定电场中，如何推导电子动量随时间的变化？直流电导率的推导以及可否直接用于交流电导率的推导？为什么？怎么用此模型来考虑焦耳热的问题？,14, 设单位体积内的电子数为n，则电子气系统的内能密 度为, 每个电子具有3个自由度，每个自由

7、度具有kBT/2的 平均能量,特鲁德模型将金属中的电子视作经典粒子。根据经典的能量均分定律：,3）金属的比热,电子气的热容：,大多数金属,高温下与晶格振动的贡献相当， 这与实验结果不符。,15,1904年，洛伦兹发展了该模型，将麦克斯韦玻尔兹曼统计规律引人，认为电子速度服从麦克斯韦玻尔兹曼统计分布律。,4）特鲁德模型的发展：,5）特鲁德模型的成功与失败,成功之处： 经典的特鲁德洛伦兹自由电子模型从微观上定性的解释了金属的高电导率、高热导率、霍尔效应以及某些光学性质。,16,获得的平均自由程和热容与实验结果严重不符，实验上热容仅是理论值的1%(电子参与导电过程，但对热导好像没有参与，为什么？）；

8、在处理磁化率等问题上也遇到根本性的困难。,不足之处：,不足之处产生的原因分析 经典理论在微观世界的不适用,17,量子力学对金属中电子的处理,1926年费米狄拉克统计理论和量子力学建立， 1928年，索末菲在自由电子模型基础上，提出应该利用量子力学原理去计算电子气体的能量和动量，并由此考察金属的一些特性。 索末菲提出：电子在离子产生的平均势场中运动，电子气体服从费米 狄拉克分布和泡利不相容原理。并成功地计算了电子的热容，解决了经典理论的困难。,18,2Sommerfeld的自由电子论,索末菲模型的基本假设：1）free electron approximation2）independent ap

9、proximation3）价电子的能量分布服从费米狄拉克统计，称为自由电子费米气体（free electron Fermi gas）4）不考虑电子和离子实的碰撞（no collision）,Drude 经典理想气体 Sommerfeld 量子理想气体,19,传导电子在金属中自由运动，电子与电子之间有很强的排斥力，电子与离子实之间有很强的吸引力。Sommerfeld自由电子理论认为把离子实的电荷抹散成一个正电荷背景(这样周期势场就不存在了) 好象“凝胶”一样。这种“凝胶”的作用纯粹是为了补偿传导电子之间的排斥作用，以至于使得这些传导电子不至于因为彼此之间很强的排斥作用而从金属晶体中飞溅出去，这就

10、相当于“凝胶”模型。,20,电子在运动中存在一定的散射机制（为什么要有散射机制？）。,索末菲自由电子模型总结：,电子在一无限深度的方势阱中运动，电子间的相互作 用忽略不计；,电子按能量的分布遵从FermiDirac统计；,电子的填充满足泡利（Pauli）不相容原理；,（即金属中的电子可以看作是被关在一个箱体中的 自由 电子）,21,6.2 能级和轨道密度,22,一、运动方程及其解,Y(r)：表示电子运动状态的波函数。V0： 电子在势阱底部所具有的势能，取V0 0。 （或者说是晶格平均场+其他电子的平均场）E： 电子的本征能量,令,有,1. 自由电子定态薛定谔方程,23,方程的解：,A：归一化因

11、子，由归一化条件确定,电子相应于波函数Yk(r)的能量：,V: 金属的体积,：电子平面波的波矢,具有平面波的形式,24,因为波函数Y(r)同时也是动量算符 的本征态，所以处于Y(r)态的电子有确定的动量，可以写成,相应的速度为,电子能量再现熟悉的经典形式,：电子平面波的波矢，它的方向为平面波的传播方向； 它的取值需要由边界条件确定。,25,波矢的取值问题,经典物理中平面波的波矢取值是任意的，但电子波矢的取值由边界条件决定。 固定边界条件（驻波边界条件）：波函数在金属表面上任何点的值均为零，不利于讨论输运性质。 周期性边界条件（波恩卡曼边界条件）：首尾相接成环，既有有限尺寸又消除了边界的存在。,

12、26,2. 边界条件,取整数,(1) 固定边界条件,方程的解应由平面波形式改写为：,由以上边界条件可得：,27,以一维情况为例，讨论一下：,当波函数为正弦形式，并且从到的宽度是半波长的整数倍时，则以上边界条件就能得到满足。于是：,n 取正整数,此边界条件无法讨论输运问题，故我们通常不采用,28,(2) 周期性边界条件,以一维情况为例，,29,若在三个方向都用周期性边界条件：薛定锷方程的解在三个方向都以L为周期重复，即：,波矢取一系列分立值：,此时,30,在k空间中，电子态的分布是均匀的，分布密度只与金属的体积有关,在 空间中，波矢 的分布密度为,每一个量子态在 空间中所占的体积为：,每个波矢占

13、据的体积为(2p/L)3,(2/L)3,31,这就是电子的色散关系，能量随波矢的变化是抛物线函数,3、费米面等概念（无限多的K，有限的电子如何填充的问题）,32,对于三维晶体，需要的量子数： 波矢k（三个分量kx、ky、kz） 自旋量子数,给定了 就确定了能级，代表同能级上自旋相反的一对电子轨道。,在波矢空间自由电子的等能面是一个球面，不同能量的等能面是一系列同心球面。,33,电子在T=0k时所能填充到的最高等能面称为费米面。,自由电子的等能面是球面，在T=0k时，费米面把电子填充过的轨道与电子未填充过的轨道完全分开了，即费米面内所有的轨道都被填充，费米面外边都是空轨道。,这一点对金属是非常重

14、要的，因为只有费米面附近的电子才能决定金属的动力学性质。,34, 费米动量Fermi momentum, 费米速度Fermi velocity,费米能Fermi energy,费米温度 Fermi temperature,费米球：费米面包围的体积，代表T=0k时电子填充 的全部轨道,费米波矢：费米球的半径（Fermi wave vector，kF）,35,三维时，每个波矢的体积为 ，每个波矢代表自旋相反的两个轨道，费米球的体积 ，则：(轨道数等于总电子数),n：单位体积中的电子数（电子密度）费米波矢由电子气的密度唯一地决定,36,费米参量唯一决定于电子气密度，电子气的密度越大，各参量值越大。,

15、37,如一些典型金属的费米面参数：原子价 金属 n(cm-3) kF(cm-1) VF(cm/s) EF(eV) 1 Na 2.651022 0.92108 1.07108 3.23 2 Zn 13.101022 1.57108 1.82108 10.90 3 Al 18.061022 1.75108 2.02108 11.63,38,4、能态密度,什么是能态密度？,为什么要引入是能态密度？,怎样具体计算能态密度？,能态密度说明什么物理问题？,39,1、什么是能态密度,能量E附近，单位能量间隔内的能态数目：,单位频率间隔内的简正模式的个数,定义：,联想到什么？,简正模式密度：,40,声子的总能

16、量:,2、为什么引入能态密度,41,自由电子在基态的总能量：,42,42,E的球体中，能够允许的电子能态总数为：,对三维的金属晶体来讲:,3、怎样求解能态密度,43,电子的能态密度并不是均匀分布的，电子能量越高，能态密度就越大。,结论:,44,同理：,45,4 、能态密度说明的物理问题：,一维情况：,二维情况：,三维情况：,46,纳米线直径小于1到2纳米，也称为超细纳米 线。制备困难，保存困难。,整数量子霍尔效应：1985年诺贝尔奖；分数霍尔效应：1998年诺贝尔奖；现在的石墨烯已经是研究热点。,三维可以稳定存在，研究的最为透彻。,分析：,一维不稳定：,二维性质奇特：,三维可以稳定存在：,47

17、,最主要的是费米面附近的能态密度将 两边取对数得： +常数,微商上式得：,48,费米面附近的轨道密度近似等于总电子数除以费米能：,49,6.3 电子气体的热容,50,费米-狄拉克(FermiDirac)统计,1. 量子统计基础知识,经典的Boltzmann统计：,量子统计： FermiDirac统计和BoseEinstein统计,电子的分布函数,费米子：自旋为半整数（n1/2） 的粒子（如：电子、质 子、中子 等），费米子遵从FermiDirac统计规 律，费米子的填充满足Pauli原理。,玻色子：自旋为整数n的粒子（如：光子、声子等）， 玻色子遵从BoseEinstein统计规律， 玻色子不

18、遵从Pauli原理。,51,电子的费米-狄拉克分布函数：,物理意义： 理想电子气体在温度为T 且处于热平衡时，能量为E的量子态被电子占据的几率。,化学势是系统温度和粒子（电子）数的函数，原则上可以由下式确定求和遍及系统所有可能的本征态。,：电子的化学势，其物理意义是在体积不变的情况下，系 统增加一个电子时，系统自由能的增量。,52,2. T0K时电子的分布（根据泡利原理和能量最低原理）, 费米能,53,系统的自由电子总数为,在EEdE中的电子数为：,54, 自由电子密度,金属：n：1022 1023 cm3,定义 费米 温度：,物理意义：设想将EF0转换成热振动能，相当于多高温度 下的振动能。

19、,55,金属： EF0 几个eV ； TF： 104 105 K （远高于金属熔点）,一些金属元素费米能与费米温度的计算值,56,T=0K时系统的总能量：,T0,能态密度,57,T=0时系统中每个电子的平均能量：,上式表明，在绝对零度T=0时，自由电子气系统中每个电子的平均能量与费米能量EF0具有相同的量级，约为几个电子伏特。而按照经典自由电子气体理论（特鲁德模型），金属电子气的平均能量可以根据能量均分原理得到，应该是3kBT/2，在绝对零度T=0时，电子的平均能量应为0。 之所以得到平均能量不为0的结果，是因为在索末菲自由电子模型中金属电子气必须服从费米-狄拉克分布和满足泡利不相容原理，即每

20、个能级上只能容纳两个自旋方向相反的电子。因此，即使在绝对零度T=0时，所有的电子不可能都处在最低能级E=0上。,58,3. T 0K时电子的分布,一般所谓基态是指N个电子的系统在绝对零度时的状态。然而，随着温度的升高会发生什么情况呢？, FermiDirac分布函数,当温度升高时，电子气的动能增加。这时，某些在绝对零度时原本空着的能级将被占据，而某些在绝对零度时被占据的能级将空出来。当理想电子气处于热平衡时，由费米-狄拉克统计分布得到的能量E的轨道被占据的概率为：,59, FermiDirac分布函数,对于特定的问题，化学势m应该这样选择，使得能正确地算出系统中的电子的总数N。在T=0时，m=

21、EF0，因为在T0的极限下，化学势m是占据态和非占据态的清晰分界面，如图。,1，当E时,在一切温度下，当E时，f()1/2 ，代表填充概率为1/2的能态。,60,以上条件下 ， f(E)迅速趋于零,当E 几个kBT时，exp(E)/ kBT 1 ，,FermiDirac分布过渡到经典的Boltzmann分布,61, E 几个kBT时， exp(E)/ kBT 几个kBT的能态基本上是满态。,在室温附近，kBT/ 或kBT/ EF0 0.01，分布函数和T=0K时的情形的差别，仅出现在与m非常接近的能级上的电子的分布：一些电子被激发到Em能级上;在Em的能级上留下一些空态。,从以上分析中我们还可

22、以知道，化学势 与T=0K时自由电子气的费米能级EF0 很接近，因此一般地，把化学势m也称为T0K时自由电子气的费米能级EF ， 所以在以下的讨论中，我们将认为EF=m。,62,对于金属而言，T TF（或kBT EF ）总是成立的。虽然金属中有大量的自由电子，但是，决定金属许多性质的并不是其全部的自由电子，而只是在费米面附近的那一小部分。从下面的讨论中，我们将可以看到正是这一小部分电子，对金属比热容有贡献。,63,只有在费米面附近厚度kBT的一层电子能够吸收能量，因此只有这层电子对比热有贡献。,由于泡利不相容原理，处于费米海深处的电子在热激发下得不到足够的能量跃迁到空态，因此不受热激发的影响。

23、,在T=0k时，电子气充满了费米球内的所有轨道，当温度T上升时，并不是费米球内的电子都受到热激发。这是因为在每个k值上只能有自旋相反的两个电子，由于泡利原理限制，热激发(kBT)是低能激发，远离费米面的电子不可能被激发(因为附近无空轨道)，只有费米面以外才有空轨道，因此只有费米面附近的电子才能被激发，要激发远离费米面的电子必须用高能激发(如光激发等)，而kBTF，所以远离费米面的电子是冻结的。,按Sommerfeld的自由电子模型，电子气服从费米统计规律及泡利原理。,65,四、结果与讨论（粗略的数量级估算）,1. 电子热容量,对于金属，当 T 0K时，只有在费米面附近几个kBT的电子受热激发，

24、对电子热容量的贡献主要来自费米面附近厚度kBT的一层电子。,在EEF 2kBT中的电子数为,这里，考虑 T 0K时费米能级EF与T=0K时的费米能级EF0之间存在一定的差异，但从下面的讨论结果我们将会看到EFEF0。,66,根据能量均分定律，每个电子热运动的平均能量：,由于热激发，系统所获得（或增加）的能量为,67,电子热容量为：,我们知道常温下，CL 3NkB；由于TTF，所以Ce CL ，即常温下可以不必考虑电子热容量的贡献。,68,考虑自由电子的费米分布与泡利不相容原理后，用这样一个定性的模型解释了热容与经典理论的差别与矛盾，由此可看到费米面的重要性。,经典理论中（特鲁德模型),考虑量子

25、效应后，从结果分析：,69,下面再从定量的角度来计算电子气的热容，在T=0 k时： 能量 F时， f(.T)=1 F时， f(.T)=0 基态下电子气的总能量：当温度升高到TK时电子气的总能量：这两个能量之差就是电子气温度升高时的热能。,70,当温度T升高时，随温度变化比较大是在费米面附近，在远离费米面的地方，随温度的变化很小。总电子数： d=常数（不随温度变化）,d=常数,71,即： 又再加上一项等于零的积分对Cel无影响则：,72,上式表示只在费米面附近求积分，若把D()换成D(F)，即只考虑费米面附近的轨道密度，则： 又 是温度的函数，当TTF时，近似等于F，由此引起的误差在T/TF的二

26、次方的数量级。,73,74,75,金属的热容应是两部分热容之和，既自由电子费米气与点阵对热容的贡献之和，低温下电子气的热容Cel T，而点阵对Cv的贡献为：,76,在室温下电子气对热容的贡献小的可以忽略，但在低温下电子气的热容就显示出来了，低温下C=T+AT3或C/T=+AT2，由C/TT2的直线关系，由截距可求出，斜率可决定A，由实验直线可定出这两个常数。而由此可求出理论值，但理论值与观测值的差别很大。,77,实验值,78,按照近代固体理论，晶体中的电子与真空中的自由电子不同，不再是一个基本粒子，而是一个准粒子，把晶体中的电子与周围的互作用看作一个整体，晶体中的电子就好象一个穿了衣服的电子一

27、样。,79,电子与周围环境的互作用主要有：电子与原子实周期点阵的互作用。 电子在周期势场中运动，周期势场的作用改变了电子的质量，称有能带有效质量。,电子与声子的互作用 原子实在平衡位置作小振动，电子运动到原子实附近时，由于电子与原子实之间的库仑作用要干扰原子实的振动，这种互作用可用一种畸变势来描写，电子要改变离子实的势场而运动。,电子与电子的互作用 在稠密电子气中，电子间有很强的库仑排斥作用，不论电子运动到什么地方都存在这种互作用，这样一种互作用也可考虑到电子质量的改变中。,82,6.4 电导与欧姆定律,83,1.电导率 在基态下，自由电子填充了费米球的所有轨道，即边界条件允许的每个k值上都分

28、布了自旋相反的两个电子， 当温度升高时，费米面附近的电子要被热激发，在无外电场时，在波矢空间费米球内的k的分布是对称的，有一个波矢为k的电子，就有一个波矢为-k的电子，或者说有一个速度为V的电子，就有一个速度为-V的电子(有中心反演对称性),所以整个费米球内的电子的平均速度为零，对电流无贡献,无外电场时就没有电流。,84,在恒定电场作用下，费米球中的所有轨道上的电子都会受到电场力的作用，这个力会使波矢发生变化，由于费米球内的所有电子的波矢都发生了变化，而且由于外加恒定电场，变化率都相同，因而费米球就以一定的速度在波矢空间漂移，其运动方向与电子运动方向相反，球心离开了原点，在恒定电场下，费米球就

29、以恒定速度漂移下去。,85,86,反映在真实空间中，是每个电子的动量发生了变化,但 是恒定的，电子是作匀加速运动，即单位时间内电子的速度变化率是相同的，电子的运动速度越来越快。在恒定电场作用下就不会有恒定电流，而是电流就会越来越大，这是与事实不符合的。,87,我们必须考虑碰撞机制，电子与声子及杂质缺陷的碰撞。正是由于这种碰撞使得电子的附加动量有所减小，才能抑制费米球的漂移，当这种碰撞消耗的动量与费米球漂移速度增大的积累相平衡时，费米球将不再漂移。,88,即 （等号右边为单位时间内耗散的动量）-弛豫时间，-eE为定向运动动量的积累(相当于球心的位移),单位时间内耗散的动量为hk/,当两项动量变化

30、相等时,费米球就不动了。,89,电子的漂移速度为：电子对电流的贡献： （n是电子气密度） （这就是欧姆定律），相应的电子气的电导率： （此处的m*为电子的有效质量）。,90,从这里我们可以看到在其它条件不变的情况下随n增大而增大，这是合理的，因为浓度n增大，载流子的数目就增多。电导率与m*成反比也在预料之中，m*越大就是粒子的惰性越大，也就越难于加速。与成正比，是因为实际是连续两次碰撞的时间间隔，即平均自由寿命，所以越大，电子在两次碰撞间被电场加速的时间越长，因而漂移速度越大，也就越大。,91,电子有两种不同性质的速度，一种是电子在外加电场中的定向运动速度，称为漂移速度，另一个是无规运动速度，

31、是由于电子的无规运动引起的，即使没有外电场，电子也仍象普通气体分子那样作无规则运动，电子到处乱动，并不断被散射而改变运动方向，这种运动在电场中也照样存在，它不会对电流有所贡献，但有外场存在时，有一个与外电场反向的净附加速度，这个速度是叠加在无规运动速度之上的，电子无规运动的速度比漂移速度要大。,92,决定金属中电子运动平均自由程的有三种机制：（1）样品中杂质缺陷对电子的散射。（2）电子与声子的碰撞，既电子受格波的散射，严格的周期势场是不散射电子的，只有周期场遭到破坏时才产生对电子的散射，这种碰撞依赖于温度，随温度的升高，碰撞几率增大。（3）电子与电子的碰撞，由于泡利原理的限制，这种几率较小。,

32、93,2.弛豫时间的起源 我们曾引入作为两次碰撞之间的弛豫时间，但未曾讨论过它的起源，由周期结构中的波动理论，当电子波通过周期性的晶格时，将没有散射，除非周期性遭到破坏，布喇格条件被满足，因此规则晶格内电子波是不会被散射的，电子在晶体中的碰撞只能是同声子与杂质原子或缺陷之间的碰撞，正因为如此，弛豫时间也就是电子与声子等碰撞的时间间隔。,94,3.金属的实验电阻率 引入电子与杂质碰撞的弛豫时间i，电子与热声子的碰撞弛豫时间l, 则1/i与1/l分别表示电子与杂质、电子与热声子碰撞的几率，那么电子与杂质碰撞、电子与热声子碰撞对电阻率的贡献分别为：两种机制彼此独立时总的散射几率为：对电阻率的总贡献为

33、：= i+ l 这就是马提生（Matthissens rule）定则。,95,根据马提生定则，金属的电阻率应是温度T的函数：(T) = i+ l 作- T曲线，外推到T=0K，此时 l=0，则可得纯粹由样品的杂质决定的电阻率，称为剩余电阻率，它是一个结构敏感量，是表征着样品纯度(或完美性)的特征量。,96,通常对金属来说由于热声子散射导致的电阻率有一个经验公式：当TR时，f1，l T，即l与温度成正比，温度升高时，声子密度增加，碰撞几率增加，增加。 但当TR时， ，热声子的电阻率l T5。,97,6.5 电子在电磁场中的运动,98,1.漂移速度方程 由于外力 ，使电子获得定向运动的动量， ，电

34、子与声子及杂质原子间的碰撞可考虑成摩擦阻力，由于摩擦阻力而使单位时间内定向运动动量的改变(摩擦力为f=p/)：而在外加电磁场作用下： 这就是外加电磁场作用下电子的漂移速度方程。,99,若设磁场B的方向沿Z轴方向，漂移速度方程的三个分量的方程式为：,100,若外电场是一个静电场E，外磁场是一个静磁场B，E、B不随时间而变化，则dv/dt=0，既过程达到稳定时，电子的速度也不随时间变化，则： 其中 称为回旋频率。,101,2.霍耳效应 由上面的漂移速度方程我们能讨论霍耳效应，如下图：若一晶体上沿x方向有一电流，此时在z方向加一磁场电子受洛仑磁力作用而向-y方向偏移，偏移的结果使样品边界上有电荷积累

35、，产生了一个y方向的电场，这种现象称为霍耳效应，产生的这个电场称为霍耳电场，它阻止电子向-y方向偏移，若霍耳电场力与洛仑磁力达到平衡时，电子就不再偏移，达到平衡时Vy=0(在金属中不形成电流),此时：,102,103,由此可得： 定义 称为霍耳角 霍耳系数： 定义为： 单位电流、单位磁场产生的霍耳电场,104,则 推导怎么来的n是电子气的密度，c为光速，负号表示金属中的电流来自带负电荷的电子，而对半导体材料霍耳系数有可能为正，n越小，R越大，对于金属来说，由于n 1022，霍耳效应很微弱，而对半导体材料n 1017，霍耳效应较明显，由此可通过测量R来计算载流子的密度。,105,6.6 金属热导

36、率,106,声子热导率,应用到自由电子,推导整个过程,107,Lorentz number,L = 2.45 10-8 Watt-/K2,金属的热导率与电导率之比： (WiedemannFrantz定律),实验结果与理论计算符合的很好，这是自由电子模型很成功的一个方面。,108,热导率的推导以及所产生的热电势的问题？怎么样给学生提出此问题并引导他们考虑,109,6.7 自由电子模型的局限性,110,一、成功方面,WiedemannFranz定律,电子热容量,Pauli顺磁,热电子发射与接触电势,111,二、局限性,自由电子论无法解释为什么有些金属的Hall系数 会大于0（如Al、In、Zn、C

37、d等）；,根据自由电子论，金属的电导率电子密度n， 但为什么电子密度较大的二价金属（如Be、Mg、 Zn、 Cd等）和三价金属（如Al、In等）的电导 率反而低于一价金属（如Cu、Ag、Au等）?,112,不能解释为什么电子的平均自由程会比相邻原子 间距大得多（如Cu：300 K时，3108 m； 而4.2 K时， 3103 m ）；,自由电子论认为金属费米面的形状为球面，但是， 实验结果表明，在通常情况下，金属费米面的形 状都不是球面。,自由电子论不能解释为什么固体材料会分成导体、 半导体和绝缘体；,113,第六章 自由电子费米气体 内容提要,金属自由电子论的物理模型费米狄拉克统计三维自由电

38、子气体的能级和状态密度自由电子在基态下的性质自由电子气体的热学性质电导和欧姆定律电子在外加磁场中的运动金属热导率,114,2. 习题，8,115,习 题,习题 : 1，2，3，6,116,Example,自由电子的费米能量. （a）导出绝对零度下金属自由电子费米能量的表达式. （b）一个简单立方点阵的单价金属，已知点阵常数a=3A, 每个原子只贡献一个传导电子，试计算费米能量、波矢、温度及费米面上电子的波长. （c）计算简单立方点阵第一布里渊区中被电子填充的状态所占的分数.,117,证明在0K温度下含N个自由电子的三维气体的动能为,118,几个问题,1. 电子分布函数也就是费米-狄拉克统计的物理意义是什么？2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量?3. 如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的? 4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化?5.为什么温度升高, 费密能反而降低?,