第4章时间序列分析课件.ppt

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1、1,第四章 时间序列分析,2,第一节 随机过程与时间序列的概念,一、随机过程与时间序列的定义 随机过程的定义是：设T是某个集合，对固定的t T，都有对应的随机变量Xt，当t在T中变动时，所得到的随机变量的全体称为随机过程，记为Xt；t T，或简记为Xt。,特征（1）随机过程是随机变量的集合（2）构成随机过程的随机变量是随时间产生的，在任意时刻，总有随机变量与之相对应。,3,时间序列的定义：,当 时，即时刻t只取整数时，随机过程 可写成此类随机过程 称为随机序列，也成时间序列。,特点（1）随机序列是随机过程的一种，是将连续时间的随机过程等间隔采样后得到的序列；（2）随机序列也是随机变量的集合，只

2、是与这些随机变量联系的时间不是连续的、而是离散的。,4,5,二、随机过程的数字特征,6,7,8,10,三、平稳随机过程和平稳时间序列,11,换句话说：时间序列xt是平稳的。如果xt有有穷的二阶中心矩，而且满足：（1）ut= E（xt ）=c;（2）r(t,s) = E(xt-c)(xs-c) = r(t-s,0)则称xt是平稳的。含义：a有穷二阶矩意味着期望和自协方差存在； b平稳时间序列任意时刻所对应的随机变量的均值相等； c自协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关。,12,13,14,15,16,17,18,19,第二节、时间序列的随机线性模型 一、平稳自回归模型（AR模型）,20,

3、21,22,二、可逆滑动平均模型（MA模型）,23,24,三、平稳自回归-可逆滑动平均混合模型,25,26,27,第三节 线性模型的自相关函数和偏相关函数,一、偏相关函数,28,29,30,31,32,二、自相关函数 自相关函数定义为：,三、自相关函数和偏自相关函数的性质,33,34,例：,35,计算结果表明，自相关函数逐渐衰减，但不等于零；偏自相关函数在k=1后，与零接近，是截尾的。结论：自相关函数呈指数衰减，是拖尾的；偏自相关函数在一步后为零，是截尾的。,36,例：用zt=(1-0.5B)at模拟产生250个观察值，at为白噪声序列，得到序列自相关和偏自相关函数如下：可见，ACF在一步后截

4、尾，PACF是拖尾的。结论：MA(q)的ACF是截尾的，PACF是拖尾的。,37,这两节介绍了三类模型的形式、特性及自相关和偏自相关函数的特征，现绘表如下：,38,第四节 模型的识别,一、模型识别定义 由平稳序列的一个样本函数确定它的线性模型的类别、阶数，称为模型识别。即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程。 所使用的工具主要是时间序列的自相关函数（autocorrelation function，ACF）及偏自相关函数（partial autocorrelation function， PACF ）。二、样本自相关函数和样本偏相关函数1样本自相关函数,39,4

5、0,2样本偏相关函数样本偏相关函数可用下式定义,41,三、确定模型的类别和阶数,42,43,AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估计方法较多，大体上分为3类： （1）最小二乘估计； （2）矩估计； （3）利用自相关函数的直接估计。 下面有选择地加以介绍。,结构阶数,模型识别,确定,估计,参数,第五节 模型参数估计,44, AR(p)模型的Yule Walker方程估计,在AR(p)模型的识别中，曾得到,利用k=-k，得到如下方程组：,此方程组被称为Yule Walker方程组。该方程组建立了AR(p)模型的模型参数1,2,p与自相关函数1,2,p的关系，,(195）,45,利用实际

6、时间序列提供的信息，首先求得自相关函数的估计值,然后利用Yule Walker方程组，求解模型参数的估计值,由于,于是,从而可得2的估计值,在具体计算时，,可用样本自相关函数rk替代。,(196),46, MA(q)模型的矩估计,将MA(q)模型的自协方差函数中的各个量用估计量代替，得到：,首先求得自协方差函数的估计值，(197)是一个包含(q+1)个待估参数,(197),的非线性方程组，可以用直接法或迭代法求解。,常用的迭代方法有线性迭代法和Newton-Raphsan迭代法。,47,（1）MA(1)模型的直接算法,对于MA(1)模型，（197）式相应地写成,于是,或,有,于是有解,由于参数

7、估计有两组解，可根据可逆性条件|1|1来判断选取一组。,(198),(199),(200),48,（2）MA(q)模型的迭代算法,对于q1的MA(q)模型，一般用迭代算法估计参数： 由（197）式得,第一步，给出,的一组初值，比如,代入（201）式，计算出第一次迭代值,（201）,49,第二步，将第一次迭代值代入（201）式，计算出第二次迭代值,按此反复迭代下去，直到第m步的迭代值与第m-1步的迭代值相差不大时（满足一定的精度），便停止迭代，并用第m步的迭代结果作为（201）的近似解。,50, ARMA(p,q)模型的矩估计,在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)个待估参数1,2,p与1,2

8、,q以及2，其估计量计算步骤及公式如下： 第一步，估计1,2,p,是总体自相关函数的估计值，可用样本自相关函数rk代替。,(202),51,第二步，改写模型，求1,2,q以及2的估计值,将模型,改写为：,令,于是(203)可以写成：,(203),构成一个MA模型。按照估计MA模型参数的方法，可以得到1,2,q以及2的估计值。,(204),52, AR(p)的最小二乘估计,假设模型AR(p)的参数估计值已经得到，即有,残差的平方和为：,(205),根据最小二乘原理，所要求的参数估计值是下列方程组的解：,即,j=1,2,p (206),解该方程组，就可得到待估参数的估计值。,53,为了与AR(p)

9、模型的Yule Walker方程估计进行比较，将(206)改写成：,j=1,2,p,由自协方差函数的定义，并用自协方差函数的估计值,代入，上式表示的方程组即为：,或,j=1,2,p,j=1,2,p,54,解该方程组，得到：,即为参数的最小二乘估计。 Yule Walker方程组的解,比较发现，当n足够大时，二者是相似的。 2的估计值为：,55,需要说明的是，在上述模型的平稳性、识别与估计的讨论中，ARMA(p,q)模型中均未包含常数项。,如果包含常数项，该常数项并不影响模型的原有性质，因为通过适当的变形，可将包含常数项的模型转换为不含常数项的模型。 下面以一般的ARMA(p,q)模型为例说明。

10、 对含有常数项的模型,方程两边同减/(1-1-p)，则可得到,其中,56,57,由于ARMA(p,q)模型的识别与估计是在假设随机扰动项是一白噪声的基础上进行的，因此，如果估计的模型确认正确的话，残差应代表一白噪声序列。 如果通过所估计的模型计算的样本残差不代表一白噪声，则说明模型的识别与估计有误，需重新识别与估计。 在实际检验时，主要检验残差序列是否存在自相关。,1、残差项的白噪声检验,可用统计量进行2检验：在给定显著性水平下，可计算不同延迟期的值，通过与2分布表中的相应临界值比较，来检验是否拒绝残差序列为白噪声的假设。 若大于相应临界值，则应拒绝所估计的模型，需重新识别与估计。,第六节 模

11、型的检验,58,2、AIC与SBC模型选择标准 另外一个遇到的问题是，在实际识别ARMA(p,q)模型时，需多次反复偿试，有可能存在不止一组（p,q）值都能通过识别检验。 显然，增加p与q的阶数，可增加拟合优度，但却同时降低了自由度。 因此，对可能的适当的模型，存在着模型的“简洁性”与模型的拟合优度的权衡选择问题。,59,其中，n为待估参数个数（p+q+可能存在的常数项），T为可使用的观测值，RSS为残差平方和（Residual sum of squares）。 在选择可能的模型时，AIC与SBC越小越好 显然，如果添加的滞后项没有解释能力，则对RSS值的减小没有多大帮助，却增加待估参数的个数，因此使得AIC或SBC的值增加。 需注意的是：在不同模型间进行比较时，必须选取相同的时间段。,常用的模型选择的判别标准有：赤池信息法（Akaike information criterion，简记为AIC）与施瓦兹贝叶斯法（Schwartz Bayesian criterion，简记为SBC）：,60,第七节 平稳时间序列的预报递推预报法,一、自回归模型预报,61,62,63,二、滑动平均模型的预报,64,65,三、混合模型预报,