高等教育《最优控制理论》ppt课件第四章.ppt
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1、最优控制理论,选用教材:王朝珠、秦化淑 最优控制理论 科学出版社教学参考书:系统最优化及控制 符曦 机械工业出版社 最优控制理论与应用 解学书 清华大学出版社,第四章 极小值原理及其应用,用古典变分法解最优控制问题时,假定u(t)不受限制,从而得到最优控制应满足,实际上在工程问题中,控制变量总有一定的限制.,设控制变量被限制在某一闭集内,即u(t)满足,满足限制条件的u(t)称为容许控制,由于u不能是任意的,的条件已不存在,4-1.连续时间系统的极小值原理,设系统状态方程为:,初始条件,为有界闭集,不等式约束为,G为m维连续可微的向量函数,系统从x0转移到终端状态x(tf),tf未给定,终端状
2、态x(tf)满足等式约束,M为q 维连续可微向量函数,性能指标:,最优控制问题就是要寻找最优容许控制u(t)使J为极小,令,于是,系统方程为:,终端时刻tf 未给定,终端约束,要求确定最优控制,使性能指标,为极小,引入拉格朗日乘子向量及,写出增广性能指标泛函,令哈密而顿函数为,拉格朗日纯量函数,则,对J取一阶变分得,令,可得增广性能指标泛函取极值的必要条件为,欧拉方程,横截条件:,把的表达式代入欧拉方程:,横截条件:,由欧拉方程和横截条件知,最优轨线,以上为使性能指标J取极值的必要条件,为使性能指标为极小,还必须满足维尔斯特拉斯函数沿最优轨线非负的条件,即:,或:,上式表明,沿最优轨线函数H相
3、对最优控制u*(t)取绝对极小值,这是极小值原理的一个重要结论.,0,0,-*,上式表明,在有不等式约束的情况下,沿最优轨线,不再成立,定理:(极小值原理),设系统的状态方程为,控制u(t)是有第一类间断点的分段连续函数,属于p维空间中的有界闭集,满足不等式约束:,在终端时刻tf 未知的情况下,为使状态自初态,转移到满足边界条件,的终态,并使性能指标,达极小值.设哈密而顿函数为,则最优控制u*(t),最优轨线x*(t)和最优伴随向量*(t)必须满足下列条件:,(1).沿最优轨线满足正则方程:,式中是与时间t无关的拉格朗日乘子向量,其维数与G相同,若G中不包含x,则:,(2)横截条件及边界条件:
4、,(3)在最优轨线x*(t)上与最优控制u*(t)相对应的H函数取绝对极小值,即,并且沿最优轨线,下式成立,上述条件与不等式约束下的最优控制的必要条件相比较,横截条件及端点边界条件没有改变,仅,这一条件不成立,而代之以与最优控制相对应的函数为绝对极小,其次是正则方程略有改变,仅当G中不包含x时, 方程才不改变.,当 t0和x(t0)给定,根据tf给定或自由, x(tf)给定,自由或受约束等不同情况下所导出的最优解必要条件列表如下:,例1,设宇宙飞船质量为m,高度为h,垂直速度为v,发动机推力为u,月球表面的重力加速度设为常数g,不带燃料的飞船质量为M,初始燃料的总质量为F,飞船的状态方程为:,
5、要求飞船在月球上实现软着陆,即终端约束为,发动机推力u受到约束,试确定u*(t),使飞船由已知初态转移到要求的终端状态并使飞船燃料消耗最少,即使得,本题是控制受约束, tf 自由,末值型性能指标,终端受约束的最优控制问题.,解:,构造哈密而顿函数,伴随方程:,横截条件,为待定的拉格朗日乘子,将哈密而顿函数整理,有极小值原理知, H相对u*(t)取极小值,因此最优控制律为:,上述结果表明,只有当发动机推理在最大值和零值之间进行开关控制,才有可能在实现软着陆的同时保证燃料消耗最少.,4-2离散系统极小值原理,设离散系统的状态方程为:,其中f是连续可导的n维向量函数, x(k)为n维的状态向量序列,
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