隐函数存在定理教材课件.ppt

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1、华北科技学院基础部,1,2022年12月19日星期一,第 16 章,隐函数存在定理函数相关,数学分析（2）,华北科技学院基础部,2,2022年12月19日星期一,16.1 隐函数存在定理,一、 F (x, y) = 0 情形,二、多变量情形,三、方程组情形,华北科技学院基础部,3,2022年12月19日星期一,前面关于隐函数（组）的微分法都假定：隐函数存在，且它们的导数或偏导数也存在。,本章讨论隐函数存在性问题及连续性、可微性。,1、隐函数概念,显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示,的函数称为显函数例如：,一、 F (x, y) = 0 情形,华北科技学院基础部,4,2022年12月19

2、日星期一,方程式所确定的函数,通常称为隐函数例如：,隐函数：自变量与因变量之间的关系是由某一个,注2 不是任一方程 都能确定隐函数,例如 显然不能确定任何隐函数,注1 隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要,化为显函数上面把隐函数仍记为 ，这,与它能否用显函数表示无关,华北科技学院基础部,5,2022年12月19日星期一,注3 一个方程能否确定隐函数还应与所讨论的点及其某邻域有关.,(0,1),(0,-1),(-1,0),(1,0),华北科技学院基础部,6,2022年12月19日星期一,等.,条件时，由 F(x, y) =0 能确定隐函数 y =f (x) 并使,要讨论的问题是：当函数 满足怎

3、样一些,该隐函数具有连续、可微等良好性质?,2、隐函数存在性条件分析,华北科技学院基础部,7,2022年12月19日星期一,唯一确定隐函数,（1）连续,（1）连续曲线存在,使,（2）可微,（2）存在切线,交线,2、隐函数存在性条件分析,华北科技学院基础部,8,2022年12月19日星期一,曲面,在,点有切平面且切平面的法线不平行于,轴（即切平面不是,平面）,切平面的法向量为,与,不共线,（即,不能同时为零）,交线 存在切线 ，意味着一元函数的可微性，也要求,华北科技学院基础部,9,2022年12月19日星期一,: z = F (x,y),: F (x,y)=0,P0(x0,y0),图1 隐函数

4、存在性条件分析示意图,: y = f (x),F (x0, y0) =0,y0= f (x0),F (x, f (x) =0,( 满足一定条件或在某一局部),华北科技学院基础部,10,2022年12月19日星期一,3、隐函数存在定理,定理1 (隐函数存在惟一性定理) 设方程 F(x,y)=0中,的函数 满足以下三个条件：,(ii) ( 初始条件 )；,则有如下结论成立：,(i) 在区域,(iii),F(x,y)=0 惟一地确定了一个隐函数,(i) 存在某邻域 ，在 内由方程,华北科技学院基础部,11,2022年12月19日星期一,它满足：, 且当 时, 使得,证 首先证明隐函数的存在与惟一性,

5、证明过程归结起来有以下四个步骤 ( 见图2 )：,(iii),华北科技学院基础部,12,2022年12月19日星期一,图2 隐函数存在性与惟一性分析示意图,华北科技学院基础部,13,2022年12月19日星期一,(a) “一点正, 一片正 ”,由条件 (iii)，不妨设,因为 连续，,保号性， 使得,(a) 一点正,一片正,D,P0,所以根据连续函数的,华北科技学院基础部,14,2022年12月19日星期一,(b) “正、负上下分 ”,因 故,把 看作 的函数，它在 上,严格增，且连续 ( 据条件 (i) ),华北科技学院基础部,15,2022年12月19日星期一,因为 关于 连续，故由,(b

6、) 的结论，根据保号性， 使得,(c) “同号两边伸”,(d) “利用介值性”,因 关于 连续, 且严,格增，故由 (c) 的结论，依据介值性定理, 存在惟,华北科技学院基础部,16,2022年12月19日星期一,就证得存在惟一的隐函数:,由的任意性, 这,若记 则定理结论 得证,下面再来证明上述隐函数的连续性:,欲证上述 在 连续.,华北科技学院基础部,17,2022年12月19日星期一,类似于前面 (c) ， 使得,由 对 严格增，而,推知,如图 3 所示,小，使得,华北科技学院基础部,18,2022年12月19日星期一,在 上处处连续,因此 在连续. 由的任意性, 便证得,且当 时，有,

7、类似于前面 (d) ，由于隐函数惟一，故有,最后再来证明 y = f (x) 可微性:,华北科技学院基础部,19,2022年12月19日星期一,使用微分中值定理, 使得,设则,由条件易知 F 可微，并有,华北科技学院基础部,20,2022年12月19日星期一,显然也是连续函数,因 都是连续函数, 故 时,并有,华北科技学院基础部,21,2022年12月19日星期一,华北科技学院基础部,22,2022年12月19日星期一,注1 定理 1 的条件 (i) (iii) 既是充分条件, 又,是一组十分重要的条件. 例如：, (双纽线), 在,点 同样不满足,条件 (iii); 如图 4,在该点无论多么

8、小,的邻域内, 确实不能,确定惟一的隐函数.,华北科技学院基础部,23,2022年12月19日星期一,注3 必须注意, 定理 1 是一个局部性的隐函数存,在定理例如从以上双纽线图形看出: 除了(0, 0),三点以外, 曲线上其余各点处都存在,注 2 条件 (iii) 在证明中的作用只是用来保证在邻,域 内 关于为严格单调,局部隐函数 .,的. 当条件 (iii) 改为 (其它条件不变),时，将存在局部的连续隐函数,华北科技学院基础部,24,2022年12月19日星期一,例1,。,，,在该邻域内可唯一确定可微的隐函数,华北科技学院基础部,25,2022年12月19日星期一,例2方程,内确定隐函数

9、,或,？,能否在原点的某邻域,解： 令,则,，,他们都在全平面上连续.,故方程在,点的邻域内可唯一地确定可微的隐函数,由于,，据此无法断定是否在,点的某邻域内,存在。,有隐函数,华北科技学院基础部,26,2022年12月19日星期一,例3 试讨论双纽线方程,所能确定的隐函数,解 令 它有连续的,求解,分别得到,华北科技学院基础部,27,2022年12月19日星期一,所以，除 这,三点外，曲线上在其他,在其他所有点处都存在局部的可微隐函数,所有点处都存在局部的可微隐函数,同理，除 这五点外，曲线上,华北科技学院基础部,28,2022年12月19日星期一,二、多变量情形,定理2 设函数 F (x1

10、, x2, xn ; y) 满足以下条件,则有如下结论成立：,(i) 在区域,(iii),(i),上具有对一切变量的连续偏导数.,方程F (x1, x2, xn ; y) = 0惟一确定一个函数,(ii) ( 初始条件 )；,y = f (x1, x2, xn ),华北科技学院基础部,29,2022年12月19日星期一,(ii) y = f (x1, x2, xn ) 在 内连续；,(iii) y = f (x1, x2, xn ) 在 内对各变量有连续偏,导数，且,华北科技学院基础部,30,2022年12月19日星期一,例4 设,问方程是否在原点,地确定可微函数,，其中,属于,某个邻域 ，使

11、得,的某邻域唯一,点的,解： 令,.显然,的偏导数，且,由,，,知，存在,，使得在,有唯一的可微函数,，满足：,在全平面有连续,华北科技学院基础部,31,2022年12月19日星期一,设有一组方程,则称由 (1) 确定了隐函数组,之对应, 能使,其中 定义在 若存在,三、方程组情形,华北科技学院基础部,32,2022年12月19日星期一,并有,关于隐函数组的一般情形 ( 含有 m + n 个变量的,m 个方程所确定的 n 元隐函数 )，与此同理.,华北科技学院基础部,33,2022年12月19日星期一,定理 3 ( 隐函数组定理 ) 设方程组 (1) 中的函数,F 与 G 满足下列条件：,(i

12、) 在以点 为内点的某区域,内有连续的偏导数；,(ii) (初始条件);,(iii),则有如下结论成立：,华北科技学院基础部,34,2022年12月19日星期一,确定惟一一组隐函数,它们被定义在 (x0, y0) 的某个邻域 U 内，且满足,及,(ii) 在 U 内连续；,华北科技学院基础部,35,2022年12月19日星期一,且有,本定理的详细证明从略，下面只作一粗略的解释:, 由方程组 (1) 的第一式 确定隐,函数,华北科技学院基础部,36,2022年12月19日星期一, 将 代入方程组(1) 的第二式, 得, 再由此方程确定隐函数 并代回至,这样就得到了一组隐函数,通过详细计算, 又可

13、得出如下一些结果:,华北科技学院基础部,37,2022年12月19日星期一,华北科技学院基础部,38,2022年12月19日星期一,例5 设有方程组,试讨论在点 的近旁能确定怎样的隐函,数组？并计算各隐函数在点 处的导数.,解 易知点 满足以上方程组 . 设,华北科技学院基础部,39,2022年12月19日星期一,它们在 上有连续的各阶偏导数. 再考察,在点 关于所有变量的雅可比矩阵,由于,华北科技学院基础部,40,2022年12月19日星期一,因此由隐函数组定理可知, 在点 近旁可以惟一,地确定隐函数组:,但不能肯定 y , z 可否作为 x 的两个隐函数.,华北科技学院基础部,41,202

14、2年12月19日星期一,运用定理 3 的结论 , 可求得隐函数在点 P0 处的,导数值:,华北科技学院基础部,42,2022年12月19日星期一,且,解：,例6,华北科技学院基础部,43,2022年12月19日星期一,定理 4 设有m 个函数,(i),(ii),(iii),（初始条件）,华北科技学院基础部,44,2022年12月19日星期一,则有如下结论成立：,华北科技学院基础部,45,2022年12月19日星期一,(ii) 这一组函数 f i 在 内连续；,(iii) 这一组函数 f i 在 内对各变量有连续偏导数，,且,华北科技学院基础部,46,2022年12月19日星期一,练习题,1.方

15、程 在点 的 的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的连续、可微函数？,解答提示,结论：,华北科技学院基础部,47,2022年12月19日星期一,解答提示,华北科技学院基础部,48,2022年12月19日星期一,解答提示,华北科技学院基础部,49,2022年12月19日星期一,F，G有连续的偏导数.,华北科技学院基础部,50,2022年12月19日星期一,华北科技学院基础部,51,2022年12月19日星期一,作 业 布 置:,P,课本P231 习题 2,课外题：见下页,华北科技学院基础部,52,2022年12月19日星期一,1.讨论方程,在原点附近确定的二元隐函数及其偏导数,2.讨论方程组在点的附近,能否确定形如 的隐函数组,