理论力学第12章课件.ppt

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1、第十二章动 能 定 理, 12-1 力的功 12-2 质点和质点系的动能 12-3 动能定理 12-4 功率 功率方程 机械效率 12-5 势力场 势能 机械能守恒定律 12-6 普遍定理的综合应用举例,第十二章 动能定理, 12-1 力的功,常力在直线运动中的功,质点M在常力F 作用下沿直线走过一段路程s，力F在这段路程内所积累的效应用力的功来度量，定义为：,代数量,单位：J（焦耳）,其中， 为力与直线位移方向之间的夹角,元功：,在直角坐标系中：,变力在曲线运动中的功,矢量形式：,1.重力的功,质点：,几种常见力的功,重力作功为：,重力作功仅与质点运动开始和末了位移的高度差有关，与运动轨迹的

2、形状无关,重力在直角坐标轴上的投影为：,质点系：,由质心坐标公式,有:,重力的功只与质心的始、末位置有关，与质心的运动轨迹形状路径无关。,全部重力作功之和为：,2.弹性力的功,k弹簧刚度系数 (N/m),物体受到弹性力的作用，作用点A的轨迹为,在弹性极限内，弹性力的大小：,当弹簧伸长时，力与 的方向相反；当弹簧被压缩时，力与 的方向相同；,弹性力的功为：,得,即,弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有关，与力作用点的轨迹形状无关,初变形,末变形,因为：,若 常量，则：,3. 定轴转动刚体上作用力的功,由于：,从角 转动到角 过程中力 的功为,力F在切线上的投影为：,力F的元功为：,4.

3、 任意运动刚体上力系的功,无论刚体作何运动，力系的功总等于力系中所有力作功的代数和。,对刚体而言，力系的简化和等效原理对动力学也适用。将力系向刚体上任一点简化，一般简化为一个力和一个力偶。由力系的等效原理，这个力和力偶所作的元功等于力系中所有力所作元功的和，有：,平面运动刚体的元功为：,当质心由 ,转角由 时,力系的功为：,已知:均质圆盘R ,m ,F =常量,且很大,使圆盘向右运动, 初静止。,求: 盘心C走过s路程时力的功。,例12-1,重力，摩擦力，法向约束力都不作功，只有力F作功，将力F向质心简化，得：,解：,一个力 ，一个力偶,总功为：,且：, 12-2 质点和质点系的动能,1.质点

4、的动能,标量，恒为正值,动能和动量都是表征机械运动的量,2.质点系的动能,单位：J（焦耳）,（1）平移刚体的动能,即：,（2）定轴转动刚体的动能,即：,平移刚体各点的速度都相同，可以质心速度为代表，于是平移刚体的动能为：,平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与绕质心转动的动能之和.,速度瞬心为P,（3）平面运动刚体的动能,对于任意质点系（可以是非刚体）的任意运动，质点系在绝对运动中的动能等于它随质心平移的动能与相对于质心平移坐标系运动的动能之和。,质心为C,均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能,均质圆盘在平板上作纯滚动时的动能,例 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰与质量

5、为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为 ，杆与水平线的夹角 ，求该瞬时系统的动能。,解：,P 为AB杆的瞬心,例如图滑块A以速度 在滑道内滑动，其上铰接一质量为m，长为 l 的均质杆AB，杆以角速度 绕A转动。试求当杆AB与铅垂线的夹角为 时，杆的动能。,解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为,速度合成矢量图如图，由余弦定理有：,则杆的动能：, 质点动能定理的微分形式,12-3 动能定理,1.质点的动能定理,将 两端点乘 ，得：,由于 ，于是有：,由于,质点动能的增量等于作用在质点上力的元功, 质点动能定理的积分形式,在质点运动的某个过程中,质点动能的改

6、变量等于作用于质点的力作的功.,对 积分后可得到,力作正功，质点动能增加；力作负功，质点动能减小。,质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和,由,即, 质点系动能定理的微分形式, 质点系动能定理的积分形式,质点系在某一段运动过程中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和,2.质点系的动能定理,对上式积分后得：,光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的柔索等约束的约束力作功等于零.,约束力作功等于零的约束为理想约束.,3.理想约束及内力的功,内力作功之和不一定等于零.,当轮子在固定面只滚不滑时，接触点为瞬心，滑动摩擦力作用点没动，此时的滑动摩擦力

7、也不作功。,不计滚动摩阻时，纯滚动的接触点也是理想约束,刚体所有内力作功之和等于零.,理想约束的约束力不作功，而质点系的内力作功之和并不一定等于零,例两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示； AB 杆质量是OA杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。,解：取整个系统为研究对象,OA杆铅垂时, AB杆瞬时平移。,B端速度为v，且,已知：轮O ：R1 ，m1 ,质量分布在轮缘上; 均质轮C ：R2 ，m2 ，纯滚动, 初始静止 ; ,M 为常力偶。,求:轮心C 走过路程s 时的速度和加速度,例12-3,轮C与轮O共同作为一个质点系,解:,主

8、动力所作的功为：,质点系的动能为：,由于：,其中：,式(a)是函数关系式，两端对t 求导,得,例如图，重物A和B通过动滑轮D和定滑轮C而运动。如果重物A开始时向下的速度为v0，试问重物A下落多大距离，其速度增大一倍。设重物A和B的质量均为m，滑轮D和C的质量均为M，半径均为r且为均质圆盘。重物B与水平面的动摩擦因数为f ，绳索质量忽略不计且不能伸长。,解：取系统分析，则运动初瞬时的动能为,速度增大一倍时的动能为,系统受力如图所示，设重物A下降h高度时，其速度增大一倍。在此过程中，所有的力所作的功为,由 得,解得,单位时间力所作的功,即:功率等于切向力与力作用点速度的乘积.,由 ,得,作用在转动

9、刚体上的力的功率为：,单位W（瓦特）,1W=1J/S, 12-4 功率、功率方程、机械效率,1.功率,即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点 系的所有力的功率的代数和.,或,2.功率方程, 功率方程,功率方程常用来研究机器在工作时能量的变化和转化的问题。,机械效率：,有效功率：,多级传动系统：,3.机械效率,是评定机器质量优劣的重要指标之一，一般情况下,例12-8,求:切削力F的最大值。,已知:,解:,如果物体在力场内运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点的始、末位置有关,而与该点的轨迹形状无关。这种力场称为势力场(保守力场)。,如果一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位

10、置确定的力的作用，则这部分空间称为力场。,势力场中,物体所受的力为有势力(保守力)。, 12-5 势力场.势能.机械能守恒定律,1.势力场,例如：地球表面的空间为重力场； 太阳周围的空间为太阳引力场。,重力、弹性力、万有引力都是保守力；重力场、弹性力场、万有引力场都是势力场。,点 的势能等于零，称为势能零点,在势力场中,质点从点M运动到任意位置M0，有势力所作的功为质点在点M相对于M0的势能,2.势能,在势力场中,势能的大小是相对于零势能点而言的。对于不同的零势能点，在势力场同一位置的势能有不同的数值。,（1）重力场中的势能,（2）弹性力场的势能,重力场中，以铅垂轴为z轴，z0处为零势能点。质

11、点在z坐标处的重力势能为：,以弹簧变形量为 处为零势能点，则变形量为 处的弹簧势能为：,若取弹簧的自然位置为零势能点，则有 ，于是有：,（3）万有引力场中的势能,如果取零势能点在无穷远，即： ，则：,设质量为 的质点受质量为 的物体的万有引力F作用。,取点 为零势能点，则质点在点A的势能为：,万有引力场为势力场,（4）重力弹性力系统,质量为m，长为l的均质杆用刚性系数为k的弹簧吊住于水平位置平衡。,选不同零势能点列出系统的势能。,一般取系统的平衡位置作为系统的零势点。,平衡时弹簧的初变形为,选水平位置为重力零势能点，自然位置O为弹簧零势能点。,杆处于微小摆角 时，系统的势能为,选杆水平位置平衡

12、时为系统的零势能点,杆处于微小摆角 时，系统的势能为,如果质点系仅在有势力作用下,有：,由动能定理有：,质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒,机械能:质点系在某瞬时动能和势能的代数和.,非保守系统的机械能是不守恒的.,3.机械能守恒定律,此类系统称保守系统.,机械能耗散,已知：轮D匀速转动。重物m=250kg, 以v=0.5m/s匀速下降，钢索刚度系数 k=3.35 N/m .,求: 轮D突然卡住时，钢索的最大张力.,例12-10,重物只受重力和弹性力作用，系统机械能守恒。取平衡位置为零势能点。则在I、II两个位置系统的势能为：,轮匀速转动时，重物处于平衡状态，临卡住前一瞬时钢索的伸长量：

13、,解:,钢索的张力：,动能为：,卡住后，当重物的速度等于零时，弹性力达到最大值,解得：,即：,由机械能守恒 ，有：,钢索的最大张力为：,取正号, 12-6 普遍定理的综合应用,动力学普遍定理,动量定理动量矩定理动能定理,矢量形式，投影求解, 标量形式,综合应用,1.根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒定理的应用,2.比较复杂的问题，根据需要选用两、三个定理联合求解。一般可用动能定理求运动有关的量（速度、加速度），用质心运动定理或对动量矩定理求力,求解过程中，往往要正确进行运动分析，提供正确的运动学补充方程,平面运动速度和加速度的分析,已知:均质细杆长为l,质量为 m，静

14、止直立于光滑水平地面上,求:杆受微小干扰而由铅直倒下,刚到达地面时的角速度和地面约束力.,例,解:,由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，倒下过程中质心将铅直下落。,设杆左滑于任一角度 ，P为杆的瞬心。则杆的角速度为：,杆的动能：,此过程中只有重力作功，由动能定理得：,当 时,点A的加速度 为水平，由质心守恒， 方向应为铅垂。,(a),(b),(c),杆刚达到地面时，受力如图：,由刚体平面运动微分方程，得：,沿铅垂方向投影，得：,由(a)、(b)、(c)式可解得：,例 质量为m 的板置于两个半径为r ，质量为m/2 的均质圆柱上，如在板上作用水平力F ，求板的加速度。设接触处都有摩擦，而无相对滑

15、动。,设任一瞬时板的速度为 v，则圆柱体质心速度为v/2 ，角速度 。,解：用功率方程求解,系统的动能,主动力的功率之和,由功率方程：,例 物块A和B的质量分别为m1、m2，且 m1m2，分别系在绳索的两端，绳跨过一定滑轮，如图。滑轮的质量为m，并可看成是半径为r的均质圆盘。假设不计绳的质量和轴承摩擦，绳与滑轮之间无相对滑动，试求物块A的加速度和轴承O的约束力。,分别以物块A、B和滑轮为研究对象，受力如图。,解1：取单个物体为研究对象。,由质心运动定理和定轴转动的微分方程，得,注意到,由以上方程联立求解得：,解2：用动能定理和质心运动定理。,以整个系统为研究对象，受力如图，,运动分析如图。系统

16、动能为,所有力的元功为,由微分形式的动能定理得,于是可得,考虑刚体系统的质心运动定理,得,于是可得,解3：用动量矩定理和质心运动定理,解：以整个系统为研究对象，受力如图，,运动分析如图。系统对定轴的动量矩为,例均质直杆AB长为2l，质量为m,A端被约束在一光滑水平滑道内。开始时直杆位于水平位置，由静止释放后，该杆受重力作用而运动。求A端的约束力。,解：系统受力如图，水平方向无外力作用。质心C 初始静止，因此质心C在水平方向守恒，其轨迹为铅直线。图示为质心的加速度和杆的角加速度。由平面运动微分方程有,2个方程3个未知数，必须补充运动学关系。,方程两边在铅垂轴投影得,由动能定理 有,由此可知,代入

17、并化简得,由求得,、代入后再代入求得,作业：P320 12-8 12-16P323 综-6,或,微分形式：,一、动量定理,质点的动量定理,积分形式：,质点系的动量定理,微分形式：,积分形式：,或,质心运动定理,质点的动量矩定理,二、动量矩定理,质点系的动量矩定理,质点系对于质心的动量矩定理,平行轴定理,刚体绕定轴的转动微分方程,或,或,刚体的平面运动微分方程,微分形式：,积分形式：,三、动能定理,质点的动能定理,质点的动能定理,微分形式：,积分形式：,功率方程,机械能守恒定律,例12-5,已知:均质圆盘R ,m ,F=常量,且很大,使O 向右运动, 动滑动摩擦因数 f ,初始静止。,求:盘心走过s路程时， 。,圆盘速度瞬心为C,解:,由 得：,动能：,功：,将式(a)两端对t 求导得：,