积分变换 课件.ppt
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1、积分变换,第一章 付里叶变换,第二章 拉普拉斯变换,1.1 付氏积分,1.2 付氏变换,1.3 付氏变换的公式和性质,1.4 卷积与相关函数,2.1 拉普拉斯变换的概念,2.2 拉氏变换的基本公式和性质,2.3 拉氏逆变换,2.4 拉氏变换的应用,(一)付氏级数,称实系数R上的实值函数 f(t) 在闭区间a,b,上满足狄利克莱(DirichL et)条件,如果它满足条件:, 在a,b上或者连续,或者只有有限个第一类间断点;, f(t)在a,b上只有有限个极值点。,1.1 付氏积分,第一章 付里叶变换,从T为周期的周期函数fT(t),如果在 上满足狄利克雷条件,那么在 上fT(t)可以展成付氏级
2、数,在fT(t)的连续点处,级数的三角形成为,其中 称为频率,频率对应的周期T与fT(t)的周期相同,因而称为基波频率,n称为fT(t)的n次谐波频率。,(二)付氏级数的复指数形式,在fT(t)的间断点t0处,式(1.1.1)的左端代之为,付氏积分定理 若f (t)在(-,+)上满足下列条件:,注 非周期函数满足付氏积分定理的条件1,才能保证函数在任意有限区间上能展为付氏级数。满足付氏积分定理的第2条,才能保证 存在。,1.2 付氏变换,例 1 求矩形脉冲函数 的付氏变换及其积分表达式。,t,(二)尤拉公式及尤拉公式推出的几个公式,2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换,在物理和工程技术中, 常常会
3、碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.,在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则,当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.,如果我们形式地计算这个导数, 则得,这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这
4、样的电流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数:,有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.,(在极限与积分可交换意义下),工程上将d-函数称为单位脉冲函数。,可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数的强度.,d-函数有性质:,可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。,(三)函数及其付氏变换,1.函数的定义,(1)(狄拉克)满足一列两个条件的函数称为函数。,d-
5、函数的傅氏变换为:,于是d (t)与常数1构成了一傅氏变换对.,证法2:若F(w)=2pd (w), 由傅氏逆变换可得,例1 证明:1和2pd (w)构成傅氏变换对.,证法1:,3.函数在积分变换中的作用,(1)有了函数,对于点源和脉冲量的研究就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式来对待。 (2)尽管函数本身没有普通意义下的函数值,但它与任何一个无穷次可做的函数的乘积在(-,+)上的积分都有确定的值。 (3)函数的付氏变换是广义付氏变换,许多重要的函数,如常函数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等是不满足付氏积分定理中的绝对可积条件的(即 不存在),这些函数的广义付氏变换都可以利
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