建筑力学课件第十八章位移法.ppt
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1、建筑力学第十八章 位移法,建筑力学,第十八章 位移法,【学习目标】 1.理解位移法的基本原理;2.理解的基本未知量与基本结构的确定;3.掌握等截面单跨超静定梁的转角位移方程;4.熟练掌握用位移法计算连续梁和超静定刚架。,第十八章 位移法【学习目标】,第十八章 位移法,【引言】与力法相应,位移法是分析超静定结构的另一种基本方法。力法是以结构中的多余未知力作为基本未知量,通过结构的变形条件建立力法方程求出多余未知力后,再求出结构的其它未知力。然而,在一定的外因作用下,对于线弹性结构,结构的内力和位移之间恒具有一定的关系。因此,在结构计算时,也可以将结构中的某些未知位移作为基本未知量,先根据结构的平
2、衡条件求出这些基本未知量,然后利用位移与内力之间的关系求出相应的内力。这个方法是以未知的结点位移作为基本未知量,故称为位移法。,第十八章 位移法【引言】,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程,一、等截面单跨超静定梁的概念在位移法计算超静定结构时,常需要把杆件看作等截面单跨超静定梁,而各杆两端的位移视为单跨梁的支座位移。所谓等截面单跨超静定梁,顾名思义就是杆件的横截面都相同、只有一跨的超静定梁(以下简称为单超梁),这样的梁有三种形式,分别是两端固定的单跨超静定梁、一端固定一端铰支的单跨超静定梁和一端固定一端定向(滑动)的单跨超静定梁,如图18-1(a)、(b)、(c)所示。 (a) (b)
3、(c),18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程一、等截面单跨超静定,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程,二、作用在单超梁上的外因作用在单超梁上的外因,分为有两种:一种是支座位移,另一种是荷载。1支座位移:又可以分为支座转角和支座杆端相对线位移两种。(1)支座转角:A、B,规定以顺时针转为正,反之为负,如图18-2(a)所示。(2)支座杆端相对线位移:,规定使杆端A、B连线的弦转角产生顺时针转动为正,反之为负,如图18-2(b)所示。,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程二、作用在单超梁上的,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程,2荷载:作用在单超梁上的荷载,一般有均布荷载、集中
4、力、集中力偶三种,如图18-3(a)、(b)、(c)所示,其中均布荷载和集中力经常以向下为正,集中力偶以顺时针形式出现。,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程2荷载:作用在单超,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程,三、单超梁在外因作用下的杆端内力1单超梁受支座位移作用引起的杆件两端的内力杆端内力单超梁在支座位移作用下,梁的支座反力及内力都可以用上一章介绍的力法求得。在位移法中,将单超梁由于支座位移作用引起的杆件两端的内力,称为杆端内力,分为杆端弯矩与杆端剪力,分别用MAB、FSAB等表示。其中杆端弯矩规定绕杆端以顺时针为正,绕支座(或结点)以逆时针为正;杆端剪力仍然规定绕杆端或绕支座
5、(结点)以顺时针为正,如图18-4(a)、(b)所示。,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程三、单超梁在外因作用,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程,2单超梁受荷载作用引起的杆件两端的内力固端内力单超梁在荷载作用下,梁的支座反力及内力仍然都可以用上一章介绍的力法求得。在位移法中,将单超梁由于荷载作用引起的杆件两端的内力,称为固端内力,分为固端弯矩与固端剪力,分别用 、 等表示,其中上角标F表示固端内力是由于荷载作用引起的。其中固端弯矩与上面杆端弯矩一样,也规定绕杆端以顺时针为正,绕支座(或结点)以逆时针为正;固端剪力仍然规定绕杆端或绕支座(结点)以顺时针为正。,18.1等截面单跨超静
6、定梁的转角位移方程2单超梁受荷载作用,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程,为了计算方便,将三种单超梁受支座位移作用引起的杆端内力全部用力法求得,并列于表18-1中,其中 称为单超梁的线刚度;将单超梁受荷载作用引起的固端内力也全部用力法求得,并列于表18-2中。,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程为了计算方便,将三种,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程,表18-1 单超梁的杆端内力(1),18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程,表18-1 单超梁的杆端内力(2),18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程表18-1 单超梁的,18.1等
7、截面单跨超静定梁的转角位移方程,表18-2 单超梁的固端内力(1),18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程表18-2 单超梁的,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程,表18-2 单超梁的固端内力(2),18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程表18-2 单超梁的,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程,表18-2 单超梁的固端内力(3),18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程表18-2 单超梁的,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程,四、单超梁的转角位移方程如果单超梁受到支座移动(包括支座转角和支座杆端相对线位移)与各种荷载同时作用,则根据叠加原理,其杆端内力可以由表18-1和表
8、18-2中的相应栏目相叠加后得到。,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程四、单超梁的转角位移,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程,1两端固定单超梁的转角位移方程:如图18-5(a)所示,两端固定单超梁受到支座移动与各种荷载同时作用,其中杆端A和B的角位移分别为A和B,A、B两端在垂直于杆轴AB方向的相对线位移为,梁上还作用有外荷载,则其杆端弯矩和剪力分别为: (18-1) (18-2),18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程1两端固定单超梁的,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程,2一端固定另端铰支单超梁的转角位移方程:如图18-5(b)所示,一端固定另端铰支单超梁受到支座移动
9、与各种荷载同时作用,其中杆端A的角位移为A,A、B两端在垂直于杆轴AB方向的相对线位移为,梁上还作用有外荷载,则其杆端弯矩和剪力分别为: (18-3) (18-4),18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程2一端固定另端铰支,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程,3一端固定另端定向单超梁的转角位移方程:如图18-5(c)所示,一端固定另端定向单超梁受到支座移动与各种荷载同时作用,其中杆端A的角位移为A,梁上还作用有外荷载,则其杆端弯矩和剪力分别为: (18-5) (18-6),18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程 3一端固定另端定,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程,上面的公式(
10、18-1)(18-6)称为等截面单超梁的转角位移方程。它反映了杆端内力与杆端位移及所作用荷载之间的关系。该6个公式今后可以直接应用。,18.1等截面单跨超静定梁的转角位移方程上面的公式(18-1,18.2 位移法的基本原理,如图18-6(a)所示等截面连续梁,设各杆的抗弯刚度都等于EI,线刚度都为 (i=EI/l) ,在均布荷载作用下产生如图中虚线所示的变形。其中杆AB和杆BC在B点处刚性连接,在B端两杆产生相同的角位移B。,18.2 位移法的基本原理如图18-6(a)所示等截面连续,18.2 位移法的基本原理,位移法研究时,设想将该连续梁的两根杆件经过处理,变成如图18-6(b)所示的单超梁
11、,其中杆AB为两端固定梁在B端发生角位移B;杆BC为B端固定、C端铰支的梁,在梁上受均布荷载作用,并在B端发生角位移B。则如果能求得单超梁的支座转角B,单超梁即可以按照公式(18-1)(18-6)计算杆端内力,作最后内力图。下面介绍如何计算角位移B。,18.2 位移法的基本原理位移法研究时,设想将该连续梁的两,18.2 位移法的基本原理,为了将图18-6 (a)转化为图18-6 (b)进行计算,我们假设在连续梁结点B处加入一附加刚臂,其符号为“ ”,如图18-6 (c)所示,附加刚臂的作用是约束B点的转动,而不能约束移动。由于结点B原来无线位移,所以加入此附加刚臂后,B点就不能产生任何位移了,
12、即相当于固定端。于是原结构变成了AB和BC两个单超梁的组合体,我们称该组合体为位移法的基本结构。,18.2 位移法的基本原理为了将图18-6 (a)转化为图,18.2 位移法的基本原理,基本结构原来已受荷载作用,再使B点处的附加刚臂转过与实际变形相同的转角Z1=B(Z1是刚结点的转角,为位移法的基本未知量,由于Z1又是单超梁的支座位移,所以先假定为正,即按顺时针方向转动),就可使基本结构的受力和变形与原结构相同图18-6 (c),因此可以用基本结构代替原结构进行计算。,18.2 位移法的基本原理基本结构原来已受荷载作用,再使B,18.2 位移法的基本原理,研究基本结构上B点的平衡图18-6 (
13、c),根据MB=0 ,可得: MBA+ MBC=0 (a)其中MBA和MBC都为单超梁的杆端弯矩,对图18-6 (b)可以按公式(18-1)(18-6)计算,即: , (b),18.2 位移法的基本原理研究基本结构上B点的平衡图18,18.2 位移法的基本原理,将MBA和MBC的表达式(b)代入到上面的平衡方程(a)式中,可得:解得: ( )求得Z1为正,说明转角Z1(B)与假设方向一致,为顺时针方向转动。将其代入到式(b)中,可得而,18.2 位移法的基本原理将MBA和MBC的表达式(b)代,18.2 位移法的基本原理,求得各杆的杆端弯矩以后,就可以应用区段叠加法作出连续梁的最后弯矩图,如图
14、18-6(d)所示。,18.2 位移法的基本原理求得各杆的杆端弯矩以后,就可以应,18.2 位移法的基本原理,将其中作AB杆作弯矩图的步骤,介绍如下:(1)根据杆端弯矩的正负确定弯矩弧线的转向,由于MAB和MBA都为正,所以弯矩弧线绕杆端都是顺时针方向的;如图18-7(a)所示。(2)根据弯矩弧线的箭尾确定杆端的哪一侧为受拉侧,其中弯矩MAB弧线的箭尾在下面为下侧受拉,弯矩MBA弧线的箭尾在上面为上侧受拉。(3)将弯矩的竖标值画在杆端的受拉侧,并连虚线;(4)用区段叠加法作出该杆的最后弯矩图(由于AB杆段无荷载,所以可以将虚线直接变成实线),如图18-7(b)所示。,18.2 位移法的基本原理
15、将其中作AB杆作弯矩图的步骤,介,18.2 位移法的基本原理,归纳上面位移法的思路,其过程如下:1位移法是以结点位移(刚结点转角为其中之一)作为基本未知量,通过添加附加约束限制结点位移(附加刚臂限制刚结点的转动,其他形式的结点位移用其他约束限制),使原超静定结构变成若干单超梁的组合体,即位移法求解超静定结构的基本结构;2在添加附加约束处列出平衡条件。例如附加刚臂限制了刚结点的转动,所以建立的平衡条件为力矩平衡条件;3根据公式(18-1)(18-6)分别列出各单超梁在原荷载以及支座位移共同作用下的杆端内力表达式;4将表达式代入到平衡条件中,求出结点位移值;5将求得的结点位移值再代回到杆端内力表达
16、式中,求出各杆端最后内力,作出最后内力图。,18.2 位移法的基本原理归纳上面位移法的思路,其过程如下,18.3 位移法的基本未知量与基本结构,一、位移法的基本未知量由上节内容可知,如果将超静定结构上每根杆件都变成单超梁,求得两端的转角位移和垂直于杆轴的相对线位移,则各杆的内力均可根据公式(18-1)(18-6)确定。由于超静定结构中的杆件是在结点处相互连接的,汇交于某刚结点处的各杆杆端位移相等,且等于结点位移。因此,在位移法中,基本未知量应是刚结点的转角位移和结点线位移。在计算时,应首先确定刚结点转角位移和独立的结点线位移的数目。,18.3 位移法的基本未知量与基本结构一、位移法的基本未知,
17、18.3 位移法的基本未知量与基本结构,1刚结点的转角位移由于变形协调,汇交于同一刚结点处各杆端的转角相等且等于刚结点的转角。所以,每一个刚结点只有一个独立的转角位移。在结构的固定支座处,其转角为零或是已知的支座位移;铰结点或铰支座处的杆端转角不是独立的位移,确定杆件内力时并不需要知道它们的数值,可不作为基本未知量。因此,刚结点转角位移未知量的数目就等于刚结点的数目。,18.3 位移法的基本未知量与基本结构1刚结点的转角位移,18.3 位移法的基本未知量与基本结构,如图18-8(a)所示刚架,A、B、C均为固定支座,它们的转角为零;结点E为铰结点;D、F都是刚结点,分别产生结点角位移D和F,在
18、位移法中,未知量都用Z表示,结点角位移D和F分别用Z1和Z2表示。因此,该刚架有两个刚结点转角位移。为了限制刚结点的转角位移,需要在刚结点上施加附加刚臂“ ” 。,18.3 位移法的基本未知量与基本结构如图18-8(a)所,18.3 位移法的基本未知量与基本结构,2独立的结点线位移在超静定梁及刚架的计算中,为了减少基本未知量的个数,使计算得到简化,通常忽略各杆的轴向变形对位移的影响,并假设结点转角和各杆弦转角都是微小的。因而认为受弯直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变,这样,每一根受弯直杆就相当于一个约束,从而减少了独立的结点线位移数目。,18.3 位移法的基本未知量与基本结构2独立的结点线位
19、移,18.3 位移法的基本未知量与基本结构,由此,图18-8 (a)所示刚架,A、B、C是固定端,由于AD、BE、CF两端距离保持不变,因此在微小位移的情况下,结点D、E、F都没有竖向位移。结点D、E、F虽然有水平线位移,但由于杆DE、EF长度不变,故三结点D、E、F均有相同的水平位移,用Z3表示。所以,该刚架只有一个独立的结点线位移。为了限制结点线位移,需要在结点上添加附加支座链杆“ ” 。,18.3 位移法的基本未知量与基本结构由此,图18-8 (,18.3 位移法的基本未知量与基本结构,在位移法中,对于超静定刚架,由于不考虑各杆长度的改变,因此,独立的结点线位移数目可用几何组成分析的方法
20、确定,即“结点铰结化、增设外链杆”的方法:把刚架所有刚结点和固定支座都改为铰结点,得到一个相应的铰接链杆体系,若此体系一般是几何可变或瞬变体系,则为使其成为几何不变所需添加的最少(支座)链杆数目即为原结构的独立结点线位移数目。,18.3 位移法的基本未知量与基本结构在位移法中,对于超静,18.3 位移法的基本未知量与基本结构,图18-8 (a)所示刚架,把所有的刚结点和固定支座都改为铰结点得到18-8 (b)所示铰接链杆体系,它是几何可变的,但是添加一根非竖向链杆就能使其成为几何不变体系,因此,原刚架只有一个独立的结点线位移。,18.3 位移法的基本未知量与基本结构图18-8 (a)所,18.
21、3 位移法的基本未知量与基本结构,位移法的基本未知量包括刚结点转角位移和独立的结点线位移,因此其数目等于超静定结构的刚结点转角位移和独立的结点线位移之和。图18-8 (a)所示刚架的全部基本未知量共有三个:即刚结点转角位移Z1、Z2和独立的结点线位移Z3。,18.3 位移法的基本未知量与基本结构位移法的基本未知量包,18.3 位移法的基本未知量与基本结构,图18-9 (a)所示刚架有三个刚结点E、F、G,因而有三个独立的结点角位移。其相应的铰接链杆体系如图18-9 (b)所示,需在结点E、G处加入两根水平附加链杆后体系才能成为几何不变。故原结构有五个基本未知量:即三个刚结点转角位移和两个独立的
22、结点线位移。,18.3 位移法的基本未知量与基本结构图18-9 (a)所,18.3 位移法的基本未知量与基本结构,二、位移法的基本结构在确定的位移法的基本未知量以后,在产生刚结点转角位移的刚结点上,添加附加刚臂“ ” ,限制刚结点的转动;在产生独立结点线位移的结点上,添加附加支座链杆“ ” ,限制独立的结点线位移。原超静定结构在添加了附加约束后,变成为若干单超梁的组合体即位移法求解超静定结构的基本结构。如图18-8(c)和图18-9(c),即是将图18-8(a)和图18-9(a)通过添加附加约束后所得到的位移法的基本结构。,18.3 位移法的基本未知量与基本结构二、位移法的基本结构,18.4
23、位移法的计算示例,一、位移法计算连续梁在位移法计算连续梁时,一般情况下,只有刚结点转角位移而没有结点线位移。例18-1 用位移法计算图18-10 (a)所示连续梁,并作内力图,已知EI=常数。,18.4 位移法的计算示例一、位移法计算连续梁,18.4 位移法的计算示例,解:(1)确定基本未知量和基本结构连续梁有一个刚结点B,基本未知量为结点B的转角位移Z1 。在结点B加附加刚臂,并使刚臂顺时针转动Z1,得到基本结构如图18-10(b)所示。(2)建立平衡条件:如图18-10(c)所示,根据基本结构上添加附加刚臂B处的力矩平衡条件,即:MB=0 ,可得: MBA+ MBC=0,18.4 位移法的
24、计算示例解:(1)确定基本未知量和基本结,18.4 位移法的计算示例,对基本结构来说,在加了附加刚臂后,AB杆变成为两端固定的单超梁,BC杆变成为一端固定一端铰支的单超梁,所以可以根据公式(18-1)(18-6)分别列出杆端弯矩表达式,令i=EI/24,则iAB=3 i , iBC=4 i ,因此:,18.4 位移法的计算示例对基本结构来说,在加了附加刚臂后,18.4 位移法的计算示例,(3)将杆端弯矩表达式代入平衡条件,得: 24iZ112=0解得: ( )求得的Z1为正,说明刚结点B的转角为顺时针方向转动。(4)求各杆端最后弯矩,作最后弯矩图,18.4 位移法的计算示例(3)将杆端弯矩表达
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