目标跟踪中巴氏系数误差的分析及其消除方法.docx

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1、目标跟踪中巴氏系数误差的分析及其消除方法*国家自然科学基金(60234030, 60773110), 国家基础研究项目(A1420060159)作者简介：文志强(1973),男,湖南湘乡人,博士研究生,主要研究领域为目标检测目标跟踪. Email:zhqwen20001,联系地址:湖南长沙中南大学铁道校区研究生楼310号,邮编:410075.联系电话:13975316672,0731-2655993;蔡自兴(1938),男,福建莆田人,教授,博士生导师, 主要研究领域为人工智能,进化计算,智能控制,移动机器人协作与导航等.文志强1,2 蔡自兴11 (中南大学 信息科学与工程学院 湖南 长沙 4

2、10083)2 (湖南工业大学 计算机与通信学院 湖南 株洲 412008)摘要：在mean shift 的目标跟踪方法中，Taylor公式的近似展开会造成优化过程中Bhattacharyya系数值的误差，这种误差会给目标跟踪带来偏差，同时不适合快速运动目标的跟踪。针对Bhattacharyya系数的Taylor公式近似表示情形，研究了这种近似表示引起的系数误差和对目标跟踪的影响，在此基础上，将Bhattacharyya系数的优化问题转化为求解约束优化问题，从而提出一种改进的目标跟踪方法，以达到提高目标跟踪的精度，而且证明了该改进方法的收敛性。实验表明本文方法对于快速运动目标的跟踪具有更好的跟

3、踪精度。关键字：mean shift, 目标跟踪, 目标模型, Bhattacharyya系数中图法分类号:TP3011引言Mean shift是一个由Fukunaga和Hostetler在1975年提出的一种无监督聚类方法，它使每一个点“漂移”到密度函数的局部极大值点。1995年，Cheng1重新研究了mean shift，提出了更一般的表达形式并预示该算法在聚类和全局优化方面的巨大潜力。Comaniciu在1999年对mean shift做了应用方面的研究2。自此以后，mean shift已广泛应用于目标跟踪3-5、图像分割6、聚类分析7等领域，已成为当前研究的热点问题。Comaniciu

4、在34中首先将mean shift算法应用到目标跟踪领域中来，他利用Bhattacharyya系数作为目标模型与候选目标之间的相似性度量标准，用mean shift算法来搜索最优候选目标，获得了很好的跟踪效果。此后，有更多的研究者投入到了此项研究之中816。文献4中给出的mean shift算法采用核直方图作为图像特征的描述方式，没有考虑图像的空间信息。为了克服特征信息不足造成偏差缺点，需要寻找一种可行的图像空间信息和颜色信息的综合表达方法，很多文献在这方面做了大量工作810。文献8提出一种空域特征空间中的相似性度量方法，允许mean shift算法跟踪更一般的运动目标；文献9提出了一个鲁棒的

5、、实时的高斯圆柱形颜色模型，通过mean shift实现目标跟踪以抗不规则光照变化；文献10在颜色矩方图中引入旋转方向参数，采用5-degrees of freedom(DOF)的颜色矩方图，可以跟踪旋转的运动目标。另外，不同的图像特征描述方法适合于不同的场合或背景，因此根据场景来自适应选择特征描述方法是非常值得研究的内容，如文献11提出一种目标跟踪中适合于评价多特征的在线特征选择机制，自适应调整特征集以提高跟踪性能。其次，目标特征的构造、组合及更新需要根据实际情况来确定，在目标跟踪中引入机器学习方法是一种行之有效的方法。对场景进行一定时间的学习后确定相应特征和参数，可提高对周围环境的适应性，

6、例如文献12对目标的颜色进行聚类分析，通过矩阵分解和正交变换建立一种新的颜色模型来提高mean shift跟踪的性能；文献13把跟踪问题看成是二分类问题，结合adaBoost和弱分类器构成一个强分类器，通过在线训练来提高mean shift跟踪对不同场景的适应性。最后，研究集中在窗口自动选取，如Comaniciu14和彭宁嵩15分别提出了针对mean shift算法的窗口自动选取方法。虽然对mean shift跟踪算法进行了大量研究，但是该算法仍然存在跟踪偏差或者完全跟不上目标的情况。基于mean shift的目标跟踪方法3, 4通过对Bhattacharyya系数作Taylor近似展开获得m

7、ean shift的迭代公式，当跟踪目标的位置在两帧图像之间变化不大时，这种Taylor近似展开可以获得好的跟踪效果，但是当目标快速运动或突然转向时，这种系数近似的误差就较大，应用mean shift算法计算所得到的局部最优位置和应用原始的Bhattacharyya系数穷举搜索得到的位置之间存在误差。为了克服这种误差，本文对由于Bhattacharyya系数的Taylor近似公式表示所引起的误差进行了分析和研究，并在此基础上推导出一种降低误差方法。与原始的mean shift 方法不同的是，该方法仅仅更改了权值的计算方法，不会增加算法的时间复杂度。提出的方法适合于目标突然改变方向或快速运动的情

8、形。本文的安排如下：第1节是全文的引言；第2节介绍基于mean shift的目标跟踪方法；第3节对Bhattacharyya系数误差进行了分析；第4节提出目标跟踪方法；第5节为实验结果及分析；第6节是全文的结束语。2基于mean shift的目标跟踪方法2.1目标模型视频目标跟踪是mean shift算法应用的一个重要方面，大多文献沿用Comaniciu3, 4的方法，采用Bhattacharyya系数作为相似性度量标准，使用mean shift算法来获取目标位置。基于mean-shift的跟踪算法将颜色核直方图作为目标特征的描述，假定目标模型和候选目标特征分别表示为：和，其中y是候选目标区域

9、的中心位置，且，m为特征值bin的个数。目标模型与候选目标的相似性采用Bhattacharyya系数来衡量，即。为了得到一个相对于空间位置y平滑的相似函数，目标模型的特征分布表示为：，其中()为Kronecker delta函数，是归一化的目标模型像素位置，归一化后目标模型中心像素的位置为0，为像素点到像素特征的映射，是归一化常数。相应的候选目标的特征分布为：，其中Ch是归一化常数，nh为候选目标区域中的像素总数，这里k()称为核函数，h为带宽。2.2基于Bhattacharyya系数的目标跟踪相似函数定义了目标和候选目标的距离，为了提供各种目标的比较，距离应有一个度量函数。定义两个离散分布之

10、间的距离如下： （1）式中，为q和p之间的Bhattacharyya系数。最小化（1）式相当于最大化Bhattacharyya系数。在处使用Taylor展开式，得到的线性近似式如下： （2）当候选目标从初始值不发生急剧变化时，上述近似成立。假设，对于所有的成立，可得 （3）式中，。（3）式的第二部分最大化，可得mean shift算法的迭代公式如下： （4）式中，g(x)= - k(x)。首先初始化y0，计算wi，并重复(4)式的计算，直到|yi+1-yi|或大于预定的最大迭代次数，为预先设定的大于0的正数，得到的最终位置即为目标所在的位置。在目标跟踪时，目标模型必须进行自适应更改，以适应光照

11、、环境的变化，如采用Kalman滤波更新目标模型16。3系数误差分析（2）式虽然对运动目标不发生急剧变化的情形不会产生很大影响，但对于急剧变化的情形，（2）的近似表示会造成很大的偏差。为了对Taylor近似表示造成的误差进行研究，给出下面两个定理。定理1：如果Bhattacharyya系数用（2）式近似表示，设系数误差为，则，当且仅当y=y0时等号成立。证明在处根据Taylor展开式，并作一些转换可得(5)式 （5）其中。（2）引起误差的原因是省略项。设，易知，因此 （6）在（2）式中系数误差分下列三种情况讨论：1) 时，则；2) 时，则；3) 时，则；只有当y=y0时，成立。 下面利用图形来

12、进一步说明上述结论。设，假设，分别取不同的值，得到u(u)曲线如图1所示，由图1可见，。所以。由定理1知，Bhattacharyya系数的Taylor近似表示使得系数的值偏大。-1 0 110.50图1u(u)曲线, 其中1,2,3,4代表=0.02,0.05,0.1,0.15u(u)定理2：设为每次mean shift迭代时的系数误差，如果迭代次数时，则证明设第n次迭代时，对于（6）右边的第u项，分两种情况讨论1）当时，2）当时，所以故 从定理2可得出结论：从理论上看，Bhattacharyya系数用（2）式近似表示，利用mean shift来实现跟踪，这种方法并不影响跟踪的效果。但问题是在

13、利用mean shift进行迭代优化时，迭代结束的条件是|y-y0|或者迭代次数小于预先设定的次数，很难达到u0的情形，因而导致目标跟踪误差，特别是初始目标位置离收敛位置比较远时，误差更大。这就是（2）式不适合于运动目标发生急剧变化情形的原因，如图2所示，在乒乓球下落较快时，跟踪不上目标。 图2 mean shift目标跟踪的实验结果4目标跟踪方法基于第3节的分析，为了适合于运动目标发生急剧变化的情形，本节提出一种改进目标跟踪方法，以消除系数误差。4.1改进的跟踪方法根据上节分析，将Bhattacharyya系数优化问题转化为求解约束优化问题：其中c(y)=，由于某次迭代时，故取构造新的目标求

14、解函数，如下将上式转化为忽略分母中的项，得取，则可求得改进mean shift的迭代公式如（7）式。 （7a） （7b）其中 （8） 式(7)与式(4)相比，只是wi的计算方法不同，当u趋于0时，这两种方法具有相同的效果。改进的mean shift目标跟踪方法如下：第1步：初始化位置y0,0,和第2步：根据(8)式用yt代替y0计算权重wi，用近似代替。第3步：根据(7a)计算下一个目标位置yt+1第4步：根据(7b)更新参数t+1，假如i+10，则t+1=0；第5步：假如|yt+1-yt|和|t+1-t|，则结束；否则，令yt=yt+1，t =t+1，转至第2步。4.2收敛性分析(7a)式经

15、过一些转换得到下式 （9）式中，（为归一化常数），为迭代步长，其值随迭代过程自适应地修改。式（9）体现了mean shift算法沿梯度方向迭代。为了分析上述mean shift算法的收敛性，首先证明上述改进的目标跟踪方法在12,=t+1情形下的收敛性，为此下面先给出一个引理。引理 当k()为高斯核函数时，令由mean shift算法产生的点列为yt，则有下式成立证明：根据文献17的方法，易证当k()为高斯核函数时，带权的mean shift算法迭代时满足式中，通过一些转换得到，代入上式得即. 引理说明当固定时，相邻两步之间的迭代方向的夹角在(0,90)内,保证沿着梯度上升的方向收敛.下面给出m

16、ean shift迭代收敛性定理。定理3 设SRd为非空开凸集，在S上具有二阶连续偏导数，如果ytS，k()为高斯核函数且在yt处的Hessian矩阵，t=1,2,.为负定矩阵,则序列收敛并且严格单调递增，而且序列yt收敛。证明:从核函数的性质可知k(x)有界，可知有界，只需证明单调递增，就已说明的收敛性。对t0，在yt处一阶Taylor公式展开，并令y=yt+tdtS，得, 设，则下列极限成立 (由引理得)连续且可导，则(因为)易知单调递减且, ，即.所以序列严格单调递增且收敛，设收敛于点，根据到凸集的性质，故.又，得(10)(11)(10)式和(11)式的左边相乘得则,即，所以收敛.考虑到

17、连续性，易知收敛于，且. 由定理3知对于正常数，都有，由此得到以下定理4。定理4 令目标跟踪方法产生的序列yt,t，则序列yt,t收敛，即，。 证明：由(7)式知，因此由于为有界函数，故收敛，则有根据定理3得：，故，即。又故又有下界，故故即. 上述目标跟踪方法是一种采用迭代方法来求解约束优化问题的方法。求解约束优化问题的方法有很多，如罚函数法，乘子法等18。相当于罚函数，如果采用罚函数法或者乘子法，则罚函数前面的系数会急剧增大(外罚函数法)或者减小(内罚函数法)，容易引起求解的目标位置收敛到错误位置，从而引起跟踪目标的丢失，因此不宜使用这些方法。4.3方法的实施 采用上述基于mean shif

18、t 的跟踪方法外，在实施过程中还有一些因素需要考虑。1）核函数的选择 在mean shift中，比较常用的核函数有高斯核函数k(x) = e-x；Epanechnikov ；截断高斯函数。本文选择截断高斯函数作为核函数。选择的理由有以下三点：（1）对于高斯核函数来说，当x较大时，高斯函数的值很小，对目标跟踪的精度影响很小，但会增加了计算量。（2）而对于Epanechnikov核4，mean shift算法就变成了，这就相当于每次迭代时求目标的质心点坐标，体现不出核函数对目标跟踪的影响。（3）截断的高斯函数是通过参数来限制截尾的范围，相比高斯核函数来说计算量要大大减少，而且能保证算法的收敛性17

19、,19。2）带宽的确定 在文献4中，令是前一帧的带宽，分别使用三个不同的带宽, 和通过mean shift算法获得具有最大Bhattacharyya系数的。典型选择是。为了避免对尺度变化的敏感，带宽通过下式滤波获取：。这种方法的缺点是三次使用mean shift算法，会增加目标跟踪的计算时间，降低实时性。为提高目标跟踪的实时性，本文在使用mean shift算法找到目标的中心坐标(x, y)后，搜索最优h使得最大。带宽搜索区域不能太大，否则实时性差，本文采用h伸缩10%进行搜索最优带宽，这样只需要一次使用mean shift算法，两次带宽搜索就可以完成目标跟踪的任务。3）迭代初始点的确定 以上

20、帧目标的中心位置作为下帧mean shift迭代的起始点。5实验及分析实验中，为了准确直观地比较跟踪效果，使用下式来计算第i帧位置跟踪的偏差：errori=|Ti-Ci|，Ti表示跟踪的第i帧位置，Ci表示准确的第i帧位置，计算出来的errori表示偏离准确位置的偏差，可用来衡量跟踪定位的准确性。另外用下式来衡量目标跟踪的平均偏差：。分别用上两式来计算各帧中目标位置在x，y方向的偏差和平均偏差。实验中Ci的确定是通过采取手动方法获得每帧中目标的准确中心位置，虽然这种方法对单帧中目标精确定位带有很强的主观性，会带来一些误差，但从整体上来看对比较结果不会有太大影响，特别是对计算的平均偏差几乎不会有

21、影响。另外假设已知目标及其初始位置，通过mean shift算法，来实现目标的跟踪。5.1实验一从stennis序列(http:/www.cs.cmu.edu/cil/v-images.html)中截取80帧视频来进行目标跟踪实验。视频中乒乓球在接触球拍前运动速度快，接触球拍后会突然改变方向，本文的方法适合于这种场合。本文方法与mean shift方法的实验比较结果如图3、图4。图3分别表示视频中第8，18，30，58，77，78帧跟踪的对比结果，黑色框表示本文方法的跟踪结果，红色框表示mean shift跟踪4的结果。从中可看出本文方法的优越性。在x，y方向每帧的定位偏差的比较如图4，图中I

22、MS表示本文方法，MS表示mean shift方法。本文方法与mean shift方法在x，y方向的平均定位偏差如表1。从实验结果可看出本文方法对于快速运动的目标具有好的跟踪效果，因此而付出的代价是该方法的迭代次数比文献方法多，平均迭代次数分别31.2，19.3。另外无迹粒子滤波(UPF)方法利用了无迹卡尔曼滤波( UKF)的状态估计结果计算出重要密度函数并产生试探性分布，是当前一种较新的算法20；而正则粒子滤波器(RPF)21是为了解决重采样导致粒子失去多样性问题而提出的，是一种较好的方法；另外混合粒子滤波和mean shift的方法(HPFMS)22也是当前较好的一种跟踪方法。本文方法分别

23、与UPF、RPF和HPFMS三种方法的比较见表1。从比较结果可看出本文方法对于运动目标的跟踪具有好的效果。 图3 stennis序列的跟踪实验比较结果，上述分别为第8,18,30,58,77,78帧的结果，黑色框表示本文方法的跟踪结果，红色框表示mean shift跟踪的结果。error (pixels)error (pixels)(b)(a)FramesFrames 图4 在x, y方向的位置偏差比较, (a)x方向的偏差,(b) y方向的偏差.图中IMS表示本文方法，MS表示mean shift方法表1 x, y方向的平均误差(单位：象素)平均误差IMSMSRPFUPFHPFMSx方向平均

24、误差1.011.582.562.82.42y方向平均误差1.252.393.363.32.565.2实验二从室外获取的一段汽车运动视频中截取60帧（car序列）来进行目标跟踪实验，视频中汽车的运动速度较快，适合于本文方法的要求。本文方法与mean shift方法的实验比较结果如图5、图6。图5分别表示视频中第9, 21, 27, 46帧跟踪的对比结果，白色框表示本文方法的跟踪结果，黑色框表示mean shift跟踪4的结果。在x，y方向每帧的定位偏差的比较如图6，本文方法与mean shift方法在x，y方向的定位平均偏差如表2。从实验结果可看出本文方法对于快速运动的目标具有好的跟踪效果。另外

25、，本文方法与UPF、RPF和HPFMS三种方法的比较见表2。整体上看，本文方法对于运动目标的跟踪具有好的效果。 图5 car序列的跟踪实验比较结果，上述分别为第9,21,27,46帧的结果，白色框表示本文方法的跟踪结果，黑色框表示mean shift跟踪的结果error (pixels)error (pixels)(b)(a)FramesFrames 图6 在x, y方向的位置偏差比较, (a)x方向的偏差,(b) y方向的偏差。图中IMS表示本文方法，MS表示mean shift方法表2 x, y方向的平均误差(单位：象素)平均误差IMSMSRPFUPFHPFMSx方向平均误差5.75.91

26、0.77.68.2y方向平均误差2.52.72.72.51.65.3 参数的影响实验中采用截断高斯函数作为核函数，因此参数对于算法性能有很大的影响，主要从三个方面影响着算法性能：定位精度(用x, y方向定位偏差表示，偏差越小，精度越好)，迭代次数和运行时间，因此的选择对于目标跟踪的稳定性是非常重要的。下面对两个视频：car序列和man序列(见图8)分别取不同的值来分析对跟踪方法的影响，分析结果见图7。图7(a)，(b)分别表示对x，y方向定位的平均误差的影响。图7(c)，(d)分别表示对平均迭代次数和平均计算时间（赛扬处理器1.3GHZ，内存256M）的影响。从图7可看出，越小，则目标的平均定

27、位精度越差，迭代次数越少，计算速度越快。因此不能取得太大，否则计算时间太长，实时性能差。一般=1.5-2.5，实验中取2。另外越大，算法的抗遮挡性更好一些，对man序列分别针对和的跟踪结果如图8，9所示。图8表示具有一定的抗遮挡能力，图9表示在存在遮挡时出现了目标跟丢的现象。error (pixels)error (pixels) (a) 对平均定位偏差的影响 (b) 对平均定位偏差的影响iterationstime (ms) (c) 对平均迭代次数的影响 (d) 对平均计算时间的影响图7 man, car序列实验中参数对算法的影响 图8 man序列的实验结果（=2），图中分别表示第20, 3

28、0, 70, 120的跟踪结果 图9 man序列的实验结果（=2），图中分别表示第20, 30的跟踪结果5.4复杂度分析标准的mean shift方法的平均时间代价是Nmax(ncs, m)，其中max(x, y)表示求x与y之间的最大者，N为平均迭代次数，n为目标区域的像素个数，cs为额外的做除法和开方的代价。如果m与目标区域的像素个数n在相同的范围，则平均代价是Nncs4。改进方法只是在计算权值wi时需要修改t并不改变方法的时间代价，但就迭代的结束条件来说，相比标准的mean shift，改进方法增加了一个结束条件|t+1-t|，因此平均迭代次数会增加，可以通过增加限制最大迭代次数来解决此

29、问题。6结束语虽然现存在许多mean shift跟踪方法，但是这些跟踪方法仍然存在跟踪偏差或者完全跟不上目标的情况，如对Bhattacharyya系数泰勒展开近似表示会引起目标定位的偏差。本文针对Bhattacharyya系数Taylor公式的近似表示情形，研究了这种近似表示引起的系数误差，并研究了系数误差对目标跟踪效果的影响，在此基础上，将Bhattacharyya系数的优化问题转化为求解约束问题，从而求出达到目标跟踪的目的。在给出改进跟踪方法的同时，对方法的收敛性、参数的影响、复杂度进行了分析。实验表明，本文方法对于快速运动目标的跟踪具有更好的跟踪精度。虽然本文的方法实现的跟踪效果有所改进

30、，但实际上还有其他一些因素会影响跟踪的精度，如目标模型中存在的背景信息会降低目标跟踪的精度；其次，当目标逐渐增大尺寸时，核窗宽很难被扩大，反而经常越变越小；另外mean shift算法采用颜色核直方图作为目标模型的表示方式，没有考虑目标的空间信息或其他目标内在信息。这些都是下一步的工作。我们期待本文的研究能促进mean shift算法的发展。参考文献1 Cheng Y, Mean shift, mode seeking, and clustering, IEEE Trans. on pattern analysis and machine intelligence, 1995,17(8):79

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44、 approximate formula, which will bring some errors of Bhattacharyya coefficient in mean shift object tracking, will result in errors of object racking, so mean shift object tracking method do not fit for the case that object move quickly. Errors of Bhattacharyya coefficient and its influence on object tracking are studied in this paper. Based the analysis on errors of Bhattacharyya coefficient, the optimization problem of Bhattacharyya coefficient is transformed into a constrained optimization problem for improving the precision of object tracking