格林公式曲线积分与路线的无关性课件.ppt

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1、3. 格 林 公 式,曲线积分与路线的无关性,2022/12/17,1,皖西学院 数理系 数学分析,3. 格 林 公 式曲线积分与路线的无关性2022/9/,一、格林公式,格林公式表达了在区域D上的二重积分与区域D的边界曲线L上的第二型曲线积分的关系.,设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,复连通区域,单连通区域,2022/12/17,2,皖西学院 数理系 数学分析,一、格林公式格林公式表达了在区域D上的二重积分与区域D的边界,边界曲线正向的规定：,设区域D由边界曲线L围成，当沿边界行走时，区域D总在它的左边.,外部边界曲线

2、的正向为逆时针方向；,内部边界曲线的正向为顺时针方向。,2022/12/17,3,皖西学院 数理系 数学分析,边界曲线正向的规定： 设区域D由边界曲线L围成，当沿边,格林公式,定理的证明：按照区域D的三种情形分别证明.,2022/12/17,4,皖西学院 数理系 数学分析,格林公式定理的证明：按照区域D的三种情形分别证明.20,设 D 既是X-型, 又是Y-型的区域 , 则,2022/12/17,5,皖西学院 数理系 数学分析,设 D 既是X-型, 又是Y-型的区域 , 则2022/9/,为方便记忆，,格林公式,可以写成下面的形式：,2022/12/17,6,皖西学院 数理系 数学分析,为方便

3、记忆，格林公式可以写成下面的形式：2022/9/246,2022/12/17,7,皖西学院 数理系 数学分析,2022/9/247皖西学院 数理系 数学分析,解：,另解：利用格林公式.,注意曲线的方向,2022/12/17,8,皖西学院 数理系 数学分析,解：另解：利用格林公式.注意曲线的方向2022/9/248皖,2022/12/17,9,皖西学院 数理系 数学分析,2022/9/249皖西学院 数理系 数学分析,推论: 正向闭曲线L 所围区域D的面积,2022/12/17,10,皖西学院 数理系 数学分析,推论: 正向闭曲线L 所围区域D的面积2022/9/2410,2022/12/17,

4、11,皖西学院 数理系 数学分析,2022/9/2411皖西学院 数理系 数学分析,另解：,2022/12/17,12,皖西学院 数理系 数学分析,另解：2022/9/2412皖西学院 数理系 数学分析,由格林公式，得,思考：若L包含原点呢？,2022/12/17,13,皖西学院 数理系 数学分析,由格林公式，得思考：若L包含原点呢？2022/9/2413皖,2022/12/17,14,皖西学院 数理系 数学分析,2022/9/2414皖西学院 数理系 数学分析,2022/12/17,15,皖西学院 数理系 数学分析,2022/9/2415皖西学院 数理系 数学分析,二、曲线积分与路线的无关性

5、,1、曲线积分与路径无关的概念,2022/12/17,16,皖西学院 数理系 数学分析,二、曲线积分与路线的无关性1、曲线积分与路径无关的概念202,2、曲线积分与路径无关的条件定理21.12,2022/12/17,17,皖西学院 数理系 数学分析,2、曲线积分与路径无关的条件定理21.122022/9/,定理的证明：,2022/12/17,18,皖西学院 数理系 数学分析,定理的证明：2022/9/2418皖西学院 数理系 数,2022/12/17,19,皖西学院 数理系 数学分析,2022/9/2419皖西学院 数理系 数学分析,2022/12/17,20,皖西学院 数理系 数学分析,20

6、22/9/2420皖西学院 数理系 数学分析,注：利用曲线积分与路径的无关性，可以通过选择适当的简单路径，得到简化计算的目的.,2022/12/17,21,皖西学院 数理系 数学分析,注：利用曲线积分与路径的无关性，可以通过2022/9/242,3、曲线积分与路线无关的应用,简化计算,积分与路线无关,解：,2022/12/17,22,皖西学院 数理系 数学分析,3、曲线积分与路线无关的应用简化计算积分与路线无关解：2,3、曲线积分与路径无关的应用,求原函数,2022/12/17,23,皖西学院 数理系 数学分析,3、曲线积分与路径无关的应用求原函数2022/9/242,第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）2019,2022/12/17,24,皖西学院 数理系 数学分析,第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）20192022,