大学线性代数课程第五节矩阵的初等变换课件.ppt

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1、一 矩阵的初等变换,四 逆矩阵的求解,五 小结,第五节 矩阵的初等变换,二 初等矩阵,三 相关定理,一 矩阵的初等变换四 逆矩阵的求解五 小结第五节 矩,1、定义,下面三种变换称为矩阵的初等行变换.,（1）互换两行：,（2）数乘某行：,（3）倍加某行：,一、矩阵的初等变换（Elementary Transformation）,定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等变换,同理，把 换成 可定义矩阵的初等列变换.,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,逆变换,逆变换,逆变换,1、定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换.（1）互换两行：（,利用初等行变换可把矩阵 化为行阶梯形矩阵

2、.,利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵.,定理,利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩,阵化为标准形矩阵.,行阶梯形矩阵,行最简形矩阵,标准形矩阵,利用初等行变换可把矩阵 化为行阶梯形矩阵.利用初等行变换，,行阶梯形矩阵,称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵：,1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；,2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右.,如,行阶梯形矩阵称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵：1）若有,大学线性代数课程-第五节-矩阵的初等变换-课件,称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵：,1）行阶梯形矩阵,行最简形矩阵,2）各非零行的首非零元均为1.,3）首非零元

3、所在列其它元素均为.,如,称满足下列三个条件的矩阵为行最简形矩阵：1）行阶梯形矩阵行最,标准形矩阵,称形如D 的矩阵为标准形矩阵：,标准形矩阵称形如D 的矩阵为标准形矩阵：,行阶梯形,行标准形,行最简形,行阶梯形行标准形行最简形,相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵.,二、初等矩阵的概念,定义,、对调,，P就称为初等矩阵.,记作,I经过一次初等变换变为P,相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵.二、初等矩阵的概念定,大学线性代数课程-第五节-矩阵的初等变换-课件,、数乘,记作,、数乘记作,、倍加,记作,、倍加记作,基本事实,相当于,相当于,相当于,相当于,相当于,相当于,基本事实相当于相当于

4、相当于相当于相当于相当于,初等矩阵均可逆,初等矩阵的重要结论,初等矩阵均可逆初等矩阵的重要结论,定理2.2 设,（1） 对A的行进行某种初等变换得到的矩阵，等于用,相应的m阶初等矩阵左乘A；,（2） 对A的列进行某种初等变换得到的矩阵，等于用,相应的n阶初等矩阵右乘A.,三、相关定理,定理2.2 设（1） 对A的行进行某种初等变换得到的矩阵,定理2.3 任意一个矩阵A经过若干次初等变换，可以化,为下面形式的矩阵D.,推论 如果A为n阶可逆矩阵，则D=I.,定理2.3 任意一个矩阵A经过若干次初等变换，可以化 为,证 根据定理2.3可知,其中，,都是n阶初等矩阵，,则其都可逆，其对应的行列式都不

5、为0，所以上式两边,取行列式,因为A可逆，所以,，综上有,所以，,证 根据定理2.3可知其中，都是n阶初等矩阵，则其都可逆,例17 化下列矩阵A为矩阵D的形式,或,例17 化下列矩阵A为矩阵D的形式或,1. 定理2.4 n阶矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是,它可以表成一些初等矩阵的乘积.,四、逆矩阵的求解,证 先证必要性,由定理2.3知，若A可逆，则A经过若干次初等变换后，,可化为I，即存在矩阵,使,则,即，A可以表示成一些初等矩阵的乘积,1. 定理2.4 n阶矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是它可,再证充分性,因为A可以表示成初等矩阵乘积，而初等矩阵均可逆,所以A可逆，结论成立。,再证充分性因

6、为A可以表示成初等矩阵乘积，而初等矩阵均可逆所以,2. 初等矩阵求逆法,若A可逆，则,可表示成初等矩阵的乘积，即,因为,，有,即,经过若干次初等行变换，A变为I，I变为,2. 初等矩阵求逆法若A可逆，则可表示成初等矩阵的乘积，即因,例18 求矩阵,的逆矩阵。,解,例18 求矩阵的逆矩阵。解,大学线性代数课程-第五节-矩阵的初等变换-课件,所以,例19 利用上题中的A，求,所以例19 利用上题中的A，求,五、小结,、矩阵的初等变换（Elementary transformation）,初等行(列)变换,2、初等矩阵,五、小结、矩阵的初等变换（Elementary trans,利用初等行变换可把矩

7、阵 化为行阶梯形矩阵.,利用初等行变换，也可把矩阵化为行最简形矩阵.,3、,利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩阵,化为标准形矩阵.,4、利用初等变换求逆矩阵,利用初等行变换可把矩阵 化为行阶梯形矩阵.利用初等行变换，,作业,27（3）、（4）、（6）,作业27（3）、（4）、（6）,例4 将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形,再化为行最简形,最后化为标准形.,注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用初等行变换. 化矩阵为标准形时，初等行变换和初等列变换均可以使用.,例4 将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形,再化为行最简形,大学线性代数课程-第五节-矩阵的初等变换-课件,行阶梯形和行最简形矩阵。,行阶梯形和行最简形矩阵。最后得到的矩阵 是 的标准形，,定义,就称矩阵,，记作,等价关系的性质：,具有上述三条性质的关系就称为等价,（1）反身性：,（2）对称性：,（3）传递性：,定义经过有限次初等变换变成矩阵 ，如果矩阵就称矩阵，记作等,3、,就称矩阵,，记作,4、矩阵等价具有的性质,3、经过有限次初等变换变成矩阵 ，如果矩阵就称矩阵，记作4,