土动力学基础课件第二章振动理论及应用2020(4课时).ppt

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1、1,第二章振动理论,毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580年约前500（490）年）古希腊数学家、哲学家，振动现象最早研究者之一。,1第二章振动理论毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前5,2.2 质量-弹簧系统的自由振动,2.3 质量-弹簧-阻尼系统的自由振动,2.4 质量-弹簧-阻尼系统的稳态强迫振动,2.5 基座运动引起强迫振动,2.1 简谐振动,2.6* 双自由度质量-弹簧系统的自由振动,2.7* 双自由度质量-弹簧系统的强迫振动,2.8* 多自由度系统的强迫振动,2.9 复杂荷载的处理,2.2 质量-弹簧系统的自由振动2.3 质量-弹簧-阻尼系统,振动是质点（或系统）的

2、一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作往复运动。 物理学知识的深化和扩展物理学中研究质点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。,自由振动没有外部激励，或者外部激励除去后，系统自身的振动。 受迫振动系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。,单自由度振动一个自由度系统的振动。 多自由度振动两个或两个以上自由度系统的 振动。,振动是质点（或系统）的一种运动形态，是指物体在平衡位,4,振幅A平衡位置附近振动的最大幅度, 通常指最大位移值。 周期T来回振动一次经历的时间。频率f单位时间内振动的次数, 单位为赫兹 (Hz) 。相位 某一瞬时所处

3、的位置与平衡位置之间的关系。,振动曲线的特征参数,4 振幅A平衡位置附近振动的最大幅度, 通常指最大位移值。,选择合适的广义坐标； 分析运动； 分析受力； 选择合适的动力学定理； 建立运动微分方程； 求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。,振动问题的研究方法,选择合适的广义坐标；振动问题的研究方法,2.1 简谐振动,2.1 简谐振动,土动力学基础课件第二章-振动理论及应用2020(4课时),相同频率的简谐振动的相位分析,第一个振动比第二个相位超前,相同频率的简谐振动的相位分析第一个振动比第二个相位超前,9,位移,速度,加速度,三个运动物理量之间的关系：(1)相位相差 / 2；(2)幅值关

4、系与振动频率有关。低频振动-位移为主； 高频振动-加速度为主。,9位移速度加速度三个运动物理量之间的关系：,10,由有限个不同频率的简谐振动合成的振动, 如果任意两个频率之比为有理数 (两个正整数的比值) , 则合成的振动是周期振动, 但不一定是简谐振动; 如果任意两个频率之比并非均是有理数, 则合成的振动不是周期振动, 称为准周期振动。,多个简谐振动的叠加,10由有限个不同频率的简谐振动合成的振动, 如果任意两个频率,2.2 质量-弹簧系统的自由振动,2.2 质量-弹簧系统的自由振动,平衡方程,平衡方程,13,微分方程,通解,初始条件,特解,13微分方程通解初始条件特解,14,自由振动特征,

5、振动能量,质量 m 越大, 周期 Tn越长, 频率 fn越低; 刚度 k 越大, 周期 Tn越小, 频率 fn越高。,14自由振动特征振动能量质量 m 越大, 周期 Tn越长,2.3 质量-弹簧-阻尼系统的自由振动,2.3 质量-弹簧-阻尼系统的自由振动,16,阻尼：振动过程中存在有某种形式的阻力、消耗了能量、 这种阻力来自于构件之间的摩擦力、润滑表面阻力、液体或气体等介质的阻力及材料内部的阻力。,牛顿粘滞阻尼,平衡方程,16阻尼：振动过程中存在有某种形式的阻力、消耗了能量、 这种,17,微分方程,特征方程,通解,17微分方程特征方程通解,18,过阻尼（D1）,临界阻尼(D=1),弱阻尼(D1

6、),临界阻尼系数,阻尼比,阻尼的振动的影响决定于阻尼比D，而不是阻尼系数c。,18过阻尼（D1）临界阻尼(D=1)弱阻尼(D1)临界阻,19,弱阻尼振动,振幅衰减,对数衰减率,阻尼使系统的频率降低, 周期加长。 但阻尼比较小时, 对频率和周期的影响不大。,能量衰减率,19弱阻尼振动振幅衰减对数衰减率阻尼使系统的频率降低, 周期,20,课堂思考1：经过10个周期测得的幅值比r=2，将求该系统的阻尼比D。,课堂思考2：如阻尼比D=0.05和0.2，分别评价阻尼比对自振频率的影响。,课堂思考3：如阻尼比D=0.05和0.2，分别评价阻尼比对振幅的影响。,阻尼对振幅的影响要比对自振频率的影响显著的多！

7、,20课堂思考1：经过10个周期测得的幅值比r=2，将求该系统,土动力学基础课件第二章-振动理论及应用2020(4课时),证明：在以下初始条件下的单质点有阻尼振动体系的自由振动解。,初始条件,证明：在以下初始条件下的单质点有阻尼振动体系的自由振动解。初,2.4 质量-弹簧-阻尼系统的强迫振动,2.4 质量-弹簧-阻尼系统的强迫振动,24,频率为的稳态荷载,2.4.1 常扰力的强迫振动,24频率为的稳态荷载2.4.1 常扰力的强迫振动,25,齐次方程的通解,非齐次方程的特解,与荷载频率相同、相位不同的稳态振动,特解+通解,25齐次方程的通解非齐次方程的特解与荷载频率相同、相位不同的,26,衰减的

8、自由振动,稳态强迫振动,静位移,放大系数,荷载频率,与荷载的相位差,频率比 是影响强迫振动的最重要参数！,低频区,共振区,高频区,幅频曲线,相频曲线,26衰减的自由振动稳态强迫振动静位移放大系数荷载频率与荷载的,27,课堂思考：改如何降低强迫振动的振幅？,（1）阻尼方面；（2）频率方面；（3）荷载大小方面；,27课堂思考：改如何降低强迫振动的振幅？（1）阻尼方面；,28,2.4.2 变扰力的强迫振动,282.4.2 变扰力的强迫振动,29,低频区,共振区,高频区,29低频区共振区高频区,30,共振,某一特定的激振频率下, 振动系统不断累积能量而使得振幅达到最大。,共振的最早文字记载公元前6世纪

9、成书的旧约 约书亚记所记，耶利哥城在以色列人的齐声呐喊中突然塌陷。,常扰力,变扰力,小阻尼情况下的简化,共振振幅决定于阻尼比！,共振频率,共振放大系数,2.4.3 共振分析,30共振某一特定的激振频率下, 振动系统不断累积能量而使得振,31,（常扰力）,最大动作用力,基座动作用力,2.4.4 基座动作用力分析,31（常扰力）最大动作用力基座动作用力2.4.4 基座动作用,土动力学基础课件第二章-振动理论及应用2020(4课时),土动力学基础课件第二章-振动理论及应用2020(4课时),证明： 已知单质点有阻尼振动体系在简谐荷载下P=P0sin(t)的强迫振动解为：,如果初始条件为,证明系数C1

10、和C2的值为,证明：如果初始条件为证明系数C1和C2的值为,2.5 基座运动引起的振动,2.5 基座运动引起的振动,36,力矢量图与强迫振动相同,2.5.1 质量块的绝对运动分析,36力矢量图与强迫振动相同2.5.1 质量块的绝对运动分析,37,振动特征：（1）共振；（2）高频系统(大n，低频率比)-同步振动；（3）低频系统（小n，高频率比）-减震；,为了取得较好的隔振效果，系统应当具有较低的固有频率和较小的阻尼。不过阻尼也不能太小，否则振动系统在通过共振区时会产生较大的振动。,37振动特征：为了取得较好的隔振效果，系统应当具有较低的固有,38,2.5.2 质量块的相对运动分析（相对于基座）,

11、相对位移,振幅比,与变扰力情况下的放大系数 的表达式相同,当 / n 1 时, Ar/Ab = 1, 即相对运动的振幅与绝对运动的振幅相同惯性式位移传感器的设计原理（传感器需要具有低频特性）。,变扰力强迫振动方程,382.5.2 质量块的相对运动分析（相对于基座）相对位移振,惯性位移计的开发,惯性位移计的开发,土动力学基础课件第二章-振动理论及应用2020(4课时),土动力学基础课件第二章-振动理论及应用2020(4课时),2.6 双自由度质量弹簧系统的自由振动,2.6,1、模型与振动方程,1、模型与振动方程,2、特解及主振型,设特解为两个振幅不同、 频率和相位相同的简谐振动,2、特解及主振型

12、设特解为两个振幅不同、 频率和相位相同的简谐,双自由度振动系统的固有频率（两个）,仅与材料的特性有关！代表双自由度振动系统的振动特性！引申有多少个自由度，就有多少个固有频率！,双自由度振动系统的固有频率（两个）仅与材料的特性有关！,两个质量块的振幅比 r,两个质量块的振幅比 r,多自由度振动系统的一个新概念-振型,系统按照主振型振动时, 两个质量块同时经过平衡位置, 同时到达最远位置, 按照固有频率作简谐振动。,这种特殊振动的振幅比称为振型，每一个主频率对应一个振型，也称为主振型。,振型只取决于各质量块位移比值, 与位移具体大小无关。,多自由度振动系统的一个新概念-振型系统按照主振型振动时,

13、两,3 通解及振型组合,矩阵形式表述,双自由度系统的自由振动是两种不同频率的固有振动的叠加, 其结果通常不再是简谐振动；,在特殊的初始条件下, 可以实现系数B1和B2中的某一个为零, 在此情况下系统按某一主振型做简谐振动。,3 通解及振型组合矩阵形式表述双自由度系统的自由振动是两种不,土动力学基础课件第二章-振动理论及应用2020(4课时),土动力学基础课件第二章-振动理论及应用2020(4课时),土动力学基础课件第二章-振动理论及应用2020(4课时),2.7 双自由度质量弹簧系统的强迫振动,2.7,土动力学基础课件第二章-振动理论及应用2020(4课时),假定微分方程组的解为与外界扰力同步

14、的简谐振动,两个质量块的振幅A和B,假定微分方程组的解为与外界扰力同步的简谐振动两个质量块的振幅,振幅动力放大系数,振幅动力放大系数,双自由度体系强迫振动特征,双自由度体系强迫振动特征,土动力学基础课件第二章-振动理论及应用2020(4课时),2.8 多自由度系统的振动,2.8 多自由度系统的振动,多自由度系统的无阻尼强迫振动振型分析法,多自由度系统的无阻尼强迫振动振型分析法,1.运动方程,质量矩阵,刚度矩阵,荷载向量,刚度矩阵元素 kij是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应 于第 i 个坐标上所需施加的力,荷载向量元素pi为作用在第i个质量块上的外扰力,1.运动方程质量矩阵刚度矩阵

15、荷载向量刚度矩阵元素 kij是,2. 振型分析,常数矢量 r 决定了各质点振幅的相对大小, 也称为振幅系数向量,假设一组特殊的解答,特征方程或频率方程,对应 n 个 固有频率, 就可以得到 n 个振幅系数矢量，即n个振型,2. 振型分析常数矢量 r 决定了各质点振幅的相对大小, 也,3. 主坐标表示的振动,振动表示为 n 个阵型的叠加,3. 主坐标表示的振动振动表示为 n 个阵型的叠加,4. 方程解耦,将运动方程解耦成为n个独立的单自由度强迫振动方程，进而求解。,4. 方程解耦将运动方程解耦成为n个独立的单自由度强迫振动方,2.9 复杂荷载的处理,2.9 复杂荷载的处理,65,简单荷载,求解微

16、分方程的条件之一：,对于复杂荷载该如何求解？,65简单荷载求解微分方程的条件之一：对于复杂荷载该如何求解？,66,1、傅里叶变换分解法：采用傅里叶变换将复杂荷载分解为一系列的简单荷载的组合，分别求解后，采用叠加法得到最终的解答。适用于线性振动系统。,周期信号的傅里叶变换,时域,频域,661、傅里叶变换分解法：采用傅里叶变换将复杂荷载分解为一系,67,离散信号快速傅里叶变换技术（FFT）,傅里叶谱也被用来分析荷载或振动的频率特征（卓越频率）,67离散信号快速傅里叶变换技术（FFT）傅里叶谱也被用来,68,2、杜哈美积分法：把激振力看作是一系列作用时间很短的脉冲荷载之和。先求出单个脉冲荷载下的响应

17、, 然后利用叠加原理, 将一系列脉冲响应一个个叠加起来 (数学上用积分表示) 求得解答。,单位脉冲响应函数,以单质点强迫振动为例：,(荷载为单位力),离散信号-数值积分,682、杜哈美积分法：把激振力看作是一系列作用时间很短的脉冲,3、复杂荷载下的振动特征（系统响应）,信号输入,振动系统,响应,人:20Hz一20kHz，即空气每秒振动的次数在20次到20000次人耳能听到。,狗：15Hz50kH赫兹，可以听到我们无法听到的超声波还有一些很细微的声音。,海豚和鲸:15Hz-125kHz超声波，次声波,世界是一样的，“听”到的世界是不一样的。,次声波20kHz,3、复杂荷载下的振动特征（系统响应）信号输入振动系统响应人:,土动力学基础课件第二章-振动理论及应用2020(4课时),周期T=2s（0.5Hz）下的方波的激励响应,频率增大十倍，高频响应变得明显。,相同频率下的共振现象,周期T=2s（0.5Hz）下的方波的激励响应频率增大十倍，高,振动体系的结构与特征（耳朵的结构）决定了自身的振动特性。在外界复杂荷载或信号的作用下，仅对那些与自身振动频率匹配的信号产生强烈的响应（共振），从而表现出信号过滤的（滤波）的效应。这也就是复杂荷载下系统响应特征的最简要的概述。,听到的，是我自己“要”听的！自然万物皆如此！,振动体系的结构与特征（耳朵的结构）决定了自身的振动特性。在外,