基本不等式课件(共43张)课件.pptx

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1、这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,第1页/共53页,这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会,第2页/共53页,第2页/共53页,a,b,1、正方形ABCD的面积S=,、四个直角三角形的面积和S =,、S与S有什么样的不等关系？,探究：,S_S,问：那么它们有相等的情况吗？,第3页/共53页,ab1、正方形ABCD的、四个直角三角形的、S与S有什,重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,思考：你能

2、给出不等式 的证明吗？,（做差比较法）,第4页/共53页,ADBCEFGHba重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b,重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立,文字叙述为:,两数的平方和不小于它们积的2倍.,适用范围：,a,bR,问题一,即：,第5页/共53页,重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有文字叙述为:,通常我们把上式写作：,当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.,在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数；,文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,适用范围：,a0,b0,第6页/共

3、53页,通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,问题二,RtACDRtDCB，,A,B,C,D,E,a,b,O,如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,第7页/共53页,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题二RtACD,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,问题二,CD=_,OD=_,OD_CD,如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=

4、a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,几何意义：半径不小于弦长的一半,A,D,B,E,O,C,a,b,第8页/共53页,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题二CD=_,a=b,a=b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的2倍,a,bR,a0,b0,填表比较：,注意从不同角度认识基本不等式,第9页/共53页,适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均,应用举例,第10页/共53页,应用举例第10页/共53页,例1.(1) 已知 并指出等号成立的条件.,(2) 已知 与2的大小关系,并说明理由.,(3) 已

5、知 能得到什么结论? 请说明理由.,应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系,第11页/共53页,例1.(1) 已知,第12页/共53页,第12页/共53页,应用二：利用基本不等式证明不等式,第13页/共53页,应用二：利用基本不等式证明不等式第13页/共53页,第14页/共53页,第14页/共53页,第15页/共53页,第15页/共53页,第16页/共53页,第16页/共53页,第17页/共53页,第17页/共53页,小结,基本不等式,1.应用基本不等式要注意的问题,2.灵活对公式的正用、逆用、变形用,二定,一正,三相等,第18页/共53页,小结基本不等式1.应用基本不等式要注意的问题2.

6、灵活对公式的,3.4 基本不等式（2）,第19页/共53页,3.4 基本不等式（2）第19页/共53页,一、知识回顾,第20页/共53页,一、知识回顾第20页/共53页,ab,第21页/共53页,ab 第21页/共53页,2,第22页/共53页,2 第22页/共53页,二、应用举例,应用之三、求函数最值,(一)从生活中实例说起,第23页/共53页,二、应用举例应用之三、求函数最值(一)从生活中实例说起第23,引例1 (1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？,A,B,D,C,若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且

7、仅当x=y时，x+y有最小值_.,第24页/共53页,引例1 (1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2,例1 (2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,A,B,D,C,若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_；,第25页/共53页,例1 (2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问,（1）一正：各项均为正数,（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。,（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“”， 否则会出现错误,小结：利用 求最值

8、时要注意下面三条：,结论：已知 都是正数，（1）如果积 是定值P，那么当 时， 和 有最小值,（2）如果和 是定值S，那么当 时， 积 有最大值,第26页/共53页,（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最,（二）走进高考,第27页/共53页,（二）走进高考第27页/共53页,两个正数和为定值，积有最大值。,学练考P40例1（1）和变式（2）,第28页/共53页,例1：已知：0 x，求函数y=x（1-3x）的最大值两个正,例2： 求函数 的最小值,变式2：求函数 的最小值,变式1：求 的最大值。,变式3：若 则函数的最小值是_。,两个正数积为定值，和有最小值。,第29页/共

9、53页,例2： 求函数,3.4 基本不等式（3）,第30页/共53页,3.4 基本不等式（3）第30页/共53页,（一）知识回顾,第31页/共53页,（一）知识回顾第31页/共53页,ab,第32页/共53页,ab 第32页/共53页,第33页/共53页,第33页/共53页,（1）一正：各项均为正数,（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。,（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“”， 否则会出现错误,小结：利用 求最值时要注意下面三条：,5：用均值不等式求最值：已知 都是正数，（1）如果积 是定值P，那么当 时， 和 有最小值,（2）如果和 是定值S

10、，那么当 时， 积 有最大值,第34页/共53页,（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最,（二）活用均值不等式,题型 1 1的代换,第35页/共53页,（二）活用均值不等式题型 1 1的代换第35页/共53页,例1、已知x，y为正实数，且x+2y=1，（1）求xy的最大值，及取得最大值时的x，y的值；（2）求 的最小值。,变式1：已知x,y为正实数，若 ，则 恒成立的实数m取值范围是 。,第36页/共53页,例1、已知x，y为正实数，且x+2y=1，变式1：已知x,y,变式3：求 的最小值，并 指出取最小值时x的值。,变式2:已知 ，求 的最小值。,两个正数积为定值，和有

11、最小值。（巧用常数来配凑）,第37页/共53页,变式3：求 的最,第38页/共53页,第38页/共53页,即 x12，y4 时取等号.当 x12，y4 时，xy 有最小值为16.,zxx k,解,第39页/共53页,即 x12，y4 时取等号. zxx k解第39页/共5,题型 2 利用基本不等式整体换元,【例 2】 若正数 a，b 满足 abab3，求 ab 及 ab 的,取值范围.,思维突破：本题主要考查均值不等式在求最值时的运用，,并体现了换元法、构造法等重要思想.,zxx k,第40页/共53页,题型 2 利用基本不等式整体换元【例 2】 若正数 a，,zxx k,第41页/共53页,

12、zxx k第41页/共53页,zxx k,第42页/共53页,zxx k第42页/共53页,整体思想是分析这类题目的突破口，即ab,与ab 分别是统一的整体，把 ab 转换成 ab 或把 ab 转换成ab.,zxx k,第43页/共53页,整体思想是分析这类题目的突破口，即ab与ab 分别是统一的,zxx k,题型3：均值不等式在实际生活中的应用,学练考P40例2,反思：应用题，先弄清题意（审题），建立数学模型（列式），再用所掌握的数学知识解决问题（求解），最后要回应题意下结论（作答）。,第44页/共53页,zxx k题型3：均值不等式在实际生活中的应用学练考P40,小结,巅 峰 回 眸 豁

13、然 开 朗,1、注意公式的正用、逆用、变形使用。,2、牢记公式特征“正”、“定”“等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。,我们积累了知识,于枯燥中见奇,于迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐在成功之中，就能领略到公式平静的美。,第45页/共53页,小结 巅 峰 回,1、设 且a+b=3,求ab的最小值_。,练习：,3、已知则x y 的最大值是 。,第46页/共53页,1、设 且a+b=3,求ab的最小值,课堂小结,本节课运用基本不等式求最值。要注意基本不等式的三个条件:,（一）不具备“正值”条件时，需将其转化为正值；,（二）不具备“定值”条件时，需将其构造成定值条件；（构造：积为定值或和为定值

14、）,（三）不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利用函数单调性求值域；同时要灵活运用“1”的代换。,第47页/共53页,课堂小结本节课运用基本不等式求最值。（一）不具备“正值”条件,各项皆为正数；和或积为定值；注意等号成立的条件.,一“正”二“定”三“相等”,利用基本不等式求最值时，要注意,第48页/共53页,各项皆为正数；一“正”利用基本不等式求最值时，要注意已知,小结评价,你会了吗？,1。本节课主要学习了基本不等式的证明与初步应用。,巅 峰 回 眸 豁 然 开 朗,2。注意公式的正用、逆用、变形使用。,3。牢记公式特征“正”、“定”、“等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光彩。,4。我们积累

15、了知识,于枯燥中见奇,于迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐在成功之中，就能领略到公式平静的美。,第49页/共53页,小结评价 你会了吗？1。本节课主要,复习导入,（当且仅当a=b时取等号）,（当且仅当a=b时取等号）,（当且仅当a=b时取等号）,（当且仅当a=b时取等号）,第50页/共53页,复习导入（当且仅当a=b时取等号）（当且仅当a=b时取等号）,（3）利用基本不等式求函数的最值的条件 _,4、 利用基本不等式求函数的最值：（1）已知x，yR+，如果积xy是定值P，那么当且仅当 时，和x+y有最 值是 ；,（2）已知x，yR+，如果和x+y是定值S，那么当且仅当 时，积xy有最 值是 ；

16、,x=y,小,x=y,大,正,定,相等,即：积定和最小,即：和定积最大,第51页/共53页,（3）利用基本不等式求函数的最值的条件4、 利用基本不等式,),(,.,3,4,0,0,0,0,.,2,),(,),(,1,.,1,2,2,2,2,2,2,4,4,4,2,c,b,a,abc,c,a,c,b,b,a,c,b,a,ac,ad,bc,bd,bc,ad,d,c,b,a,b,a,y,x,R,y,x,y,b,x,a,b,a,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,=,+,+,证明：,求证：,已知,求证：,，,是正数，且,、,已知,等式,利用基本不等式证明不,第52页/共53页,)(.34,0,0,0,0.2)(),(1.12222224,谢谢您的观看！,第53页/共53页,谢谢您的观看！第53页/共53页,