大学物理量子物理基础21 06 波函数薛定谔方程ppt课件.ppt

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1、1,量 子 力 学 简 介,21.6 波函数与薛定谔方程,The wave function and Schrdinger Equation,2,描述微观粒子运动规律的系统理论是量子力学。量子力学有两种不同的表述方式。一种是薛定谔 根据德布罗意的波粒二象性假设，从粒子的波动性出发，用波动方程来描述粒子和粒子体系的运动规律，这种理论也称波动力学，是薛定谔 于1926年创立的。另一种是从粒子的粒子性出发，用矩阵形式来描述粒子和粒子体系的运动规律，这种理论是在1925年左右，由海森堡 、玻恩、泡利等人创建的，也称为矩阵力学。两种理论完全等价。我们只介绍波动力学的基本概念和基本理论。,3,海森堡 在1

2、925年（24岁）建立了矩阵力学。,薛定谔 在1926年（39岁）建立了波动力学。,波动力学与矩阵力学是量子力学的两个等价理论。,4,薛定谔是著名的奥地利理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。,薛定谔(Erwin Schrodinger，1887-1961),薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程。,5,薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理学和生物学相结合，形成了现代分子生物

3、学的最显著的特点之一。,薛定谔(Erwin Schrodinger，1887-1961),他和狄拉克一道，为量子力学的建立做了开创性的工作，为此，他们于1933年共获诺贝尔物理学奖。,6,1928年建立了电子的狄拉克方程，,在薛定谔建立波动力学的同一年，狄拉克（24岁），将薛定谔方程推广到相对论情形。,1930年预言了正电子的存在，,同一年出版量子力学原理。,这部巨著是对量子力学建立和发展的系统总结。书中创造了 “狄拉克符号” 既简洁又深刻的描述方式。此著被称作量子力学的“圣经”。,狄拉克,7,波 函 数,The wave function,8,微观粒子不仅表现出粒子性，而且表现出显著的波动性

4、，粒子的位置和动量不能同时准确测定，要受到不确定关系的限制。因此，微观粒子不服从经典力学的规律，它的运动状态，不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述。这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。,在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描写；状态随时间的变化遵循着一定的规律。,9,微观体系的运动状态可用波函数来描述，这是量子力学的基本假设之一。,知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子在空间各点处出现的几率，以后的讨论进一步知道，波函数给出体系的一切性质。当粒子处于某个波函数所描述的量子态时，它的力学量如坐标、动量等一般有许多

5、可能值，这些可能值各自以一定的几率出现，这些几率都可以由波函数得出。,10,量子力学建立在若干基本假设的基础上，这些假设与几何学的公理一样，不能用逻辑的方法加以证明。但从这些基本假设出发推导得出一些重要结论，可以正确地解释和预测许多实验事实，于是这些假设也被称为公理或公设。,1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基本假设来描述微观粒子的运动规律。,当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻粒子所处的状态由薛定谔方程决定。,11,描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随 之确定；描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以 一定几率出现。,用波函数能

6、确切地描述粒子的运动状态，就能把粒子和粒子的波性这两种对立的属性统一起来。,波函数,12,说明：,微观粒子的运动所遵循的是统计性规律，波函数正是为描写粒子的这种统计行为而引入的。波函数的概念也和通常的经典波的概念不同，它既不代表介质运动的传播过程，也不是那种纯粹经典的场量，而是一种比较抽象的几率波。它只给出粒子运动的几率分布。,13,一、波函数 概率密度,1）经典的波与波函数,机械波,用指数形式表示：,波的强度,14,自由粒子的物质波相当于单色平面波，具有确定能量和动量，类比可写成：,2）量子力学波函数（复函数）,对于动量为 P 、能量为 E 的一维自由粒子，其德布罗意波的频率和波长：,量子力

7、学中一维自由粒子波函数的一般形式。,15,对三维空间，沿矢径 方向运动的自由粒子的波函数为：,注意：微观粒子物质波的波函数只能用复数形式来表示。不能用实数形式来表示。,量子力学中一维自由粒子波函数的一般形式。,16,与光波类比，物质波的强度：,由玻恩的统计解释，在某处德布罗意波的强度与粒子在该处出现的概率 成正比。,为正实数,某一时刻粒子出现在某点附近在体积元 dV 中的概率为：,3）波函数的统计意义,17,波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅（几率密度幅）的形式描述粒子的量子运动状态。,由此可见， 为粒子在某点附近单位体积内粒子出现的几率，称为几率密度。即：,波函数（x, y, z,

8、t）的统计解释：波函数模的平方代表某时刻 t 在空间某点 (x, y, z) 附近单位体积内发现粒子的概率，即：| 2 代表概率密度。,18,波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。,根据玻恩的解释，波函数本身并没有直接的物理意义，有物理意义的是波函数模的平方。从这点来说，物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的。物质波是一种几率波，它反映微观粒子运动的统计规律。,波函数不给出粒子在什么时刻一定到达某点，只给出到达各点的统计分布。一个粒子下一时刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）

9、。,19,）波函数应满足的条件：,标准条件：,波函数必须连续可微，且一阶导数也连续可微。,由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以任意时刻，在整个空间发现粒子的总几率应是 1。,归一化条件：,“单值、有限、连续”,波函数满足的条件：单值、有限、连续、归一。,20,以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件。,如果波函数对整个空间的积分值是有限的，但不为零，则可以适当选取波函数的系数，使这积分值为1，这个过程称为波函数的归一化过程。,21,原因：由于粒子在全空间出现的几率等于一，粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波

10、函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变。,所以，波函数有一常数因子不定性。,量子力学中的波函数具有一个独特的性质：波函数与 所描写的是粒子的同一状态。,令：,22,时刻，在空间任意两点 和 处找到粒子的相对几率是：,波函数与 所描写的状态的相对几率相同，是粒子的同一状态。,令：,23,这与经典波截然不同。对于经典波，当波幅增大一倍（原来的 2 倍）时，则相应的波动能量将为原来的 4 倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。,为消除波函数有任一常数因子的这种不确定性，利用粒子在全空间出现的几率等于一的特性，提出波函数的归一化条件：,24,解：1）由归一化条件：,解得：,25,解：2

11、）粒子的概率密度为：,粒子在 0 到 a / 2 区域内出现的概率：,26,解：3）,因为 0 x a，故得 x = a / 2，此处粒子出现的概率最大。,粒子出现的概率最大。,概率最大的位置应该满足：,27,薛定谔方程,The Schrdinger Equation,28,微观粒子的运动状态用波函数描述，那么微观粒子的运动规律是怎样的呢？ 当然它应该表现为波函数随时间的演化方程。,1925年在瑞士，德拜让他的学生薛定谔作一个关于德布罗意波的报告。报告结束后，德拜提醒薛定谔：“对于波，应该有一个波动方程”。薛定谔此前就曾注意到爱因斯坦对德布罗意假设的评论，这次又受到德拜的鼓励，于是就努力钻研。

12、,薛定谔把原子系统中的能级理论、德布罗意的物质波思想以及哈密顿的经典力学与几何光学的数学相似性思想结合起来，形成了波动力学概念。几个月后，他向世人拿出了一个波动方程，这就是薛定谔方程。,29,薛定谔方程是量子力学的基本方程，它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，就像牛顿定律在经典力学中所起的作用一样，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具，在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用。 薛定谔方程不能由其它更基本的方程推导出来，它只能是通过某种方式建立起来，是量子力学的又一个基本假设，其正确性只能靠实验检验。薛定谔当时就是“猜”加上“凑”出来的。,30,所要建立的是描写波函

13、数随时间变化的方程，它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。,二、薛定谔方程（1925 年）,这个方程还应满足以下两个条件：（1）方程是线性的，即如果1和 2都是这方程的解，那么 1和 2的线性迭加（a 1 +b 2）也应是方程的解，这是由态迭加原理决定的；（2）这个方程的系数不应包含状态的参量，如动量、能量等。否则方程只能被粒子的部分状态所满足，不能被各种可能的状态所满足。,31,态迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的正确性也依赖于实验的证实。,1）若 是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态。,2）当体系处于 态时，发现体系处于 态的几率是 ，并且,态迭加原理：,32,动

14、量为P 、质量为m、能量为 E，沿 x 轴运动的自由粒子的其波函数为：,1、一维运动自由粒子的薛定谔方程,将波函数对时间 t 求一阶偏导：,33,将波函数对时间 t 求一阶偏导：,将波函数对 x 求二阶偏导：,34,即：,即：,35,比较以上三式，消去 p, E，可得：,为一维运动自由粒子的含时薛定谔方程。,因粒子是自由运动，势能为零，能量E=Ek（动能），根据非相对论的动能和动量的关系，即：,36,此时的薛定谔方程为：,若粒子不是自由的，而是在某力场中运动，其势能函数为EP(x,t)，则粒子的总能量为：,*2、势场中运动的粒子的薛定谔方程 （薛定谔方程的一般形式）,一维运动自由粒子的含时薛定

15、谔方程。,37,粒子波函数为： 势 能 为：,*3、粒子在三维空间中的薛定谔方程,为书写方便，引入拉普拉斯算符：,38,引入哈密顿算符：,上式可写为：,薛定谔方程的一般形式。,薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，是量子力学的基本动力学的方程，其地位与经典力学中的牛顿方程相同。,39,比较简单的问题是微观粒子在稳定力场中运动，粒子的势能并不随时间而变化，即： U = U ( x, y, z )，不包含时间。（在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况）,定态薛定谔方程,定态：能量不随时间变化的状态。,在这种情况下，可以用分离变量法把波函数写成空间坐标函数和时间函数的乘积，即：,代入薛定谔方程：,4

16、0,两边除以 ，可得：,很明显，上式右边只是 矢径 的函数，而左边只是时间 t 的函数，为了使上式成立，必须两边恒等于某一个常数，设以 E 表示，则有：,41,方程（2）为定态薛定谔方程。,将上式写成两个独立的方程：,42,（c为任一常数）,并把常数包含在 中，这样就得到薛定谔方程的特解为：,定态波函数,定态波函数所描述的状态称为定态。,将 代入 ，,43,定态薛定谔方程的每一个解表示粒子的一个稳定状态，并且由其解所得出的粒子在空间的几率密度与时间无关：,方程（2）,称为定态薛定谔方程，或写成：,44,常数 E 其实就是微观粒子的总能量，所以定态也就是微观粒子能量不随时间变化的状态。,讨论定态

17、问题，就归结于解定态薛定谔方程，求出体系可能有的定态波函数 和在这些态中的能量 E。,比较:,45, 三维定态薛定谔方程, 一维定态薛定谔方程,一维运动时：,三维运动时：,定态波函数,定态波函数,46,21.7 一维无限深势阱,47,应用定态薛定谔方程处理实际问题的一般步骤：,（1）找出问题中势能函数的具体形式， 代入相应的薛定谔方程；,（2）用分离变量法求解波函数；,（3）由波函数归一化条件和标准条件， 确定积分常数；,（4）求概率密度并讨论其物理意义。,一维定态薛定谔方程,48,一、一维无限深势阱,考虑在一种简单的外力场中做一维运动的粒子，它的势能在一定区域内（x = 0 到 x = a）

18、为零，而在此区域外势能为无限大，,粒子只能在宽为 a 的两个无限高势壁间运动，这种势称为一维无限深势阱。,（薛定谔方程的简单应用）,1、势函数：,49,1）是金属中自由电子的简化模型。自由电子在一块金属内的运动就相当于粒子在势阱中的运动。 2）数学运算简单，量子力学的基本概念、原理在其中以简洁的形式表示出来。,2、薛定谔方程：,意义：,50,这样就把粒子限制在 0a 范围内。,边界条件：,由标准条件，波函数在阱内外不能突变。,阱外：,须有：,51,在阱内 0 x a 区域，定态薛定谔方程为：,令：,3、解方程、定常数,即为：,52,与谐振动方程比较：,其通解为：,C 和 为待定常数，由边界条件

19、确定。,因此：,根据波函数的连续、单值的条件，有：,53,由边界条件，波函数在 x = a 处连续，有：,由归一化条件确定常数 C：,n = 0 时， (x) = 0；而 n 为负数与正数表达同样的概率。,54,归一化的波函数为：,（1）能级和能级间隔,4、 讨论：,55,结果说明：粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。,表示阱内不可能有静止的粒子，这与经典理论所得结果是不同的。因为根据经典理论， 粒子的最低能量可以为零。E1又称为零点能。,这是微观粒子波粒二象性的表现，“静止的波是没有意义的”。,当 n = 1 时：,为粒子的基态能量。,56,对宏观物体，由于其质

20、量很大，运动范围也大，E很小，故其能量可看作是连续变化的。,对微观粒子，若在宏观范围内运动，则 E很小，其能量量子化不显著；如果是在原子尺寸大小的范围内运动，则E很大，能量量子化就很明显。,相邻能级间的差值，随量子数n的增加而增加，随粒子质量 m 和势阱宽度 a 的增大而减小。, 能级间隔：,57,当 n 时，能量的量子化效应不显著，可以认为能量是连续分布的。所以经典物理可以看成是量子物理中量子数n时的近似。, 能级相对间隔：,能级间隔：,粒子的能量：,58,n+1个节点,（2）波函数,粒子在势阱中的波函数的波形很象两端固定弦的驻波，波的波长随能级的增高而缩短。,n 很大时，相邻波腹靠得很近，

21、接近经典力学各处概率相同。,（3）几率密度,59,势阱中粒子的能级、波函数和几率密度分布曲线,对于不同的量子数，在阱内某一特定的点，粒子出现的几率是不同的。,60,经典理论中，处于无限深势阱中粒子的能量为连续值，粒子在阱内运动不受限制，各处概率相等。,随着能级的升高，几率密度的峰值增多，当 时，粒子在势阱内各处出现的概率相等，量子力学的结果过滤到经典力学的情况。,从以上分析可知：对于无限深势阱来说，粒子只能在势阱 U = 0 的区域内运动。,61,例：设想一电子在一无限深方势阱中运动，求：电子在原子尺度 a =10-10 m和普通尺度 a =10-2 m 势阱宽度范围的相邻能级的能量差。,解：

22、由,a =10-2 m时，,此时，相邻能级之间的间隔非常小，能量量子化不显著。,a =10-10 m时，,此时，相邻能级之间的间隔非常大，能量量子化显著。,62,例： 设质量为 m 的微观粒子处在宽度为 a 的一维无限深势阱中，试求：(1)粒子在 0 x a/4 区间中出现的几率，并对 n = 1 和 n = 的情况算出概率值。(2)在哪些量子态上，a/4 处的概率密度最大？,粒子出现在 0 x a/4 区间中的几率为：,时，,时 ，,解：(1) 已知,63,(2),处：,最大时有：,例： 设质量为 m 的微观粒子处在宽度为 a 的一维无限深势阱中，试求：(1)粒子在 0 x a/4 区间中出现的几率，并对 n = 1 和 n = 的情况算出概率值。(2)在哪些量子态上，a/4 处的概率密度最大？,