大学物理量子物理2薛定谔方程ppt课件.ppt

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1、2 .1薛定谔方程和力学量算符,1926年，在一次学术讨论会上年轻的薛定谔介绍德布罗意关于粒子波动性假说的论文，在薛定谔讲完后，物理学家德拜（P.Debey）评论说：认真地讨论波动，必须有波动方程。,几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋地说：你们要的波动方程，我找到了！这个方程，就是著名的薛定谔方程。,薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一样的。,同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。,一、自由粒子薛定谔方程,自由粒子波函数（一维）,微商，得到方程,对波函数的运算

2、、变换或操作。,：算符 代表用 乘波函数,：对波函数取复共轭,：算符 代表对波函数关于 求导,：算符 代表对波函数关于 求导,算符是通过对波函数的作用关系来定义的,例如,算符(operator),对于非相对论性自由粒子：,算符对应关系：,作用于波函数，得自由粒子薛定谔方程,算符和力学量的对应关系：,设粒子在势场U(x,t)中运动，能量关系为,二、薛定谔方程,算符对应关系：,作用于波函数，得薛定谔方程,三维：,引入拉普拉斯算符：,薛定谔方程：,是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理,方程中含有虚数 i,它的解 是复函数，复数不能直接测量。而 的模方代表概率密度，可测量。,是量子力学的基本方程，描述

3、非相对论性粒 子波函数随时间演化规律。,三、力学量算符的引入,量子力学假设：,力学量用算符表达。,1、坐标算符,其中 代表任意波函数。,坐标算符假定为,2、动量算符,算符和动量的对应关系：,坐标算符假定为,【例】动量算符对自由粒子波函数的作用,作用结果：等于粒子的动量乘波函数。,自由粒子波函数是动量算符的“本征态”。,物理上的理解：,动量是动量算符的“本征值”。,3、哈密顿（Hamilton）量,若U不显含时间，则H 称为能量算符。,用哈密顿量，薛定谔方程可写成,势函数U不显含时间的情况很重要。这时，薛定谔方程可分离变量求解。,哈密顿量决定了微观粒子波函数随时间的演化，外界对粒子的作用，包括不

4、能用力来表达的微观相互作用，一般都可以用哈密顿量中的势函数U(x,t)来概括。,而在经典力学中，改变宏观粒子运动状态的原因是作用在粒子上的力。,只讨论势函数U与时间无关的情况。,算符只是抽象的数学记号，其本身并不象经典力学中力学量那样代表物理量的取值。,算符和相应力学量的取值之间，是通过本征方程联系起来的。,四、力学量算符的本征方程,力学量算符 的本征方程，指下述类型方程,如果粒子处于本征态 ，则粒子的与 对应的力学量的取值，一定等于本征值 。,本征值的集合 本征值谱；,坐标算符 的本征方程及其解,本征波函数的集合 本征函数系。,本征值谱：,本征函数系：, ,（连续谱）,动量算符 的本征方程及

5、其解,哈密顿量 的本征方程及其解,给定U(x)的具体形式，求解微分方程；顾及本征波函数的自然条件。,五、不含时薛定谔方程（能量本征方程）,除以 ，得,若势函数U不显含t，为求解薛定谔方程,设,代入薛定谔方程，得,=E (常数),上式可分为以下两个方程：,方程（1）的解为,方程（2）：,式中E具有能量量纲，C 可以是复数。,（简谐振动）,或称能量本征方程。,不含时薛定谔方程,数学上：E 不论取何值，方程都有解。,物理上：E 只有取一些特定值，方程的解才能满足波函数的条件（单值、有限、连续）。,满足方程的特定的E 值，称为能量本征值。,定态：,能量取确定值的状态，薛定谔方程的特解。,E称为与E对应

6、的本征波函数。若粒子处于E，则粒子的能量为E。,对于不同的势能函数和能量区间，能量本征值可以取一系列分立的值，也可以取连续值。为了讨论方便，下面假设它取分立值En，n=1,2,3,相应的本征波函数为n，n=1,2,3,薛定谔方程的一系列定态解为,通解可写成定态解叠加的形式,式中Cn称为展开系数。,后面证明，给定初始时刻的状态(x,0)， Cn可按下式计算,若势函数不显含时间，则薛定谔方程的求解，可通过解能量本征方程（不含时薛定谔方程）来解决。,因此，能量本征方程的求解，在量子力学中占有重要地位。,改写成,一类是本征值问题，给定势能函数U(x)，求粒子的能量E和相应的本征波函数n(x)；,求解两

7、类问题：,另一类是散射问题，假设粒子以能量E射向势垒U(x)，计算粒子穿透势垒的概率。,2.2 无限深方势阱中的粒子,，为什么？,能量本征方程：,解方程，求出能量本征值谱 、本征波函数集合 。,无限深方势阱中粒子的波函数可以表示成,为给定的初始时刻的状态。,一、势阱中粒子的能量,令 ，方程写成,粒子被束缚在势阱内,(束缚态),1、阱外,2、阱内,通解：,“单值、有限”已经满足，下面看连续条件。,3、用连续条件定特解,A，B为待定常数，由波函数应满足的“单值、有限、连续”条件决定。,k取特定值,E取特定值,一维无限深势阱能量的本征值：,【思考】为什么不取 ？,其中n称为量子数，n=1代表基态，取

8、其它值代表激发态。这表明，一维无限深方势阱中运动粒子的能量是量子化的。能量本征值也称为能级，在一定条件下粒子的状态可以从一个能级变化到另一个能级，这种变化叫跃迁（transition）。,最低能量（基态能量）, 零点能,能级间隔,宏观情况或量子数很大时，可认为能量连续。,二、势阱中粒子的波函数,势阱中粒子的概率密度,势阱中粒子的德布罗意波,能量为En的定态n，对应波长为n的德布罗意波的驻波。,在定态n(x,t)或能量本征态n(x)上测量粒子的能量，结果一定是能量本征值En。,n很大时，势阱内粒子概率分布趋于均匀,量子 经典,束缚态(bound state),玻尔对应原理,任何满足适当边界条件和

9、连续性要求的波函数 ，均可用这个函数系作展开,三、能量本征函数系是正交、归一的完备集合,正交、归一化条件（自己验证）：,完备性：,展开系数按下式计算,（付氏级数）,证明：,平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。例如，原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。,2.3 一维简谐振子,选平衡位置为坐标原点和势能零点，简谐振子能量本征方程为,本征态是束缚态：,1、 简谐振子的能量,n = 0, 1, 2, ,采用级数解法。结果如下：,(1)量子化，等间距：,符合不确定度关系,(3)有选择定则：,(2)有零点能：,所以，室温下分子可视为刚性。,能级跃迁要满足,(4) 当n

10、时，,符合玻尔对应原理。,量子化连续,（宏观振子能量相应n 1025 ，E 10-33J ）,分子振动,E （10 2 10 1 eV） kT (室温)，,2、简谐振子的本征波函数,Hn是厄密（Hermite）多项式，,最高阶是,3、概率密度,波函数,概率密度,概率密度的特点：,(1) 概率在E U 区仍有分布, 量子效应,例如基态位置概率分布在 x = 0 处最大，,(3) 当n 时，,经典振子在x = 0处概率最小。,符合玻尔对应原理。,量子概率分布,(2) n小时，概率分布与经典谐振子完全不同, 经典概率分布，,简谐振子 n =11 时的概率密度分布：,经典简谐振子在原点速度最大，停留时

11、间短，,振子在两端速度为零，,粒子出现的概率小；,出现的概率最大。,可以验证，简谐振子的能量本征函数系也是完备的，也满足正交、归一化条件：,任何满足适当边界条件和连续性要求的波函数 ，均可用这个函数系作展开,简谐振子本征函数系是很好的量子计算基底。,【例】设体系的初始状态为,其中0和2分别是频率为的n=1和2的简谐振子能量本征态。,（2）求t 时刻体系的状态(x,t)。,（1）(x,0)是定态吗？在(x,0)上测量体系的能量，能测到哪些值？测到这些值的概率是多大？测量值的平均值是多少？,（1）,在状态(x,0)上测量体系的能量，能测到的值为,测到E0的概率：1/3；测到E2的概率：2/3；它们

12、分别等于展开式中相应展开系数的模方。,测量值的平均值：,不是定态。,定理：对于势场连续点，或势场不是无限大的间断点，波函数的一阶导数连续。,2.4 量子隧穿效应（tunneling effect）,波函数连续（概率连续）：,波函数一阶导数连续：,证明：,一、量子隧穿效应,量子隧道效应,设一质量为m的粒子以能量E从左边沿x轴射向势垒。我们只讨论EU0的情况，假设势垒无吸收，粒子能量保持不变。由于粒子具有波动性，所以入射粒子可以有一定的概率穿透势垒，这称为量子隧穿效应（tunneling effect）。,列出求解的主要步骤和势垒穿透概率的计算公式。,在给定E和U(x)的条件下，求解薛定谔方程得到

13、波函数3，由3计算粒子穿透势垒出现在3区的概率。,1、分区列能量本征方程,设,，方程写成,2、有物理意义的解,（入射波）,（阱壁多次反射）,（透射波）,（反射波）,3、粒子穿透势垒的概率 穿透系数,为确定S，要用在x=0和x=a这两点波函数的连续性条件,由此可得关于R, A, B, S的四个代数方程，解出S就可以得到穿透系数T的计算公式。,以及波函数一阶导数的连续性条件,例如，当U0E5eV, a50nm时, T0, 隧道效应基本消失, 量子经典。,二、量子隧道效应的应用,隧道二极管，金属场致发射，核的 衰变，,1、核的 衰变, 是通过 隧道效应出来的。,对不同的核，算出的衰变概率和实验一致。

14、,2、扫描隧道显微镜（STM）（Scanning Tunneling Microscopy）,STM是一项技术上的重大发明，,原理：利用量子隧道效应,表面的微观结构（不接触、不破坏样品）。,用于观察,A 常量, 样品表面平均势 垒高度（ eV）,d 变 i 变，反映表面情况。,E,隧道电流i，对针尖和样品表面之间的距离d非常敏感。用金属探针在样品表面扫描，通过隧道电流的变化就能记录下样品表面的微观形貌和电子分布等信息。,扫描隧道显微镜在表面物理、材料科学、化学和生物等很多领域的科学研究中都有重要的应用。,用STM得到的神经细胞象,硅表面STM扫描图象,1991年恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙原子，拼成了字母IBM，每个字母长5纳米。,移动分子实验的成功，表明人们朝着用单一原子和小分子构成新分子的目标又前进了一步，其内在意义目前尚无法估量。,镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的STM照片,Fe原子间距：0.95 nm，,圆圈平均半径：7.13 nm,48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。,