定积分的几何应用体积ppt课件.ppt

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1、,二、体积,Volumes,1. 已知平行截面面积求立体的体积,设有位于区间a, b 上的一立体,已知立体的垂直于 x 轴的截面的面积为 A(x),求立体的体积 V,用微元法求体积微元 dV,立体的体积 :,切片法Section method,例 9,另解,自学,2. 旋转体的体积,由 y = f(x), y = 0, x = a, x = b 所围成的图形,绕 x 轴旋转一周，得一旋转体,求旋转体的体积 Vx,用切片法,x 处的切片为一圆片,半径：y = f(x),旋转体的体积,旋转体的体积,体积微元为一圆片：,故此法称为圆片法Disk method,高等数学学习手册165页,由 x=f(y

2、), x=0, y=c, y=d 所围成的图形,绕 y 轴旋转一周，得一旋转体,求旋转体的体积 Vy,旋转体的体积,体积微元为一圆片：,由 y=f(x), y=g(x), x=a, x=b 所围成的图形,绕 x 轴旋转一周，得一旋转体,求旋转体的体积 Vx,旋转体的体积 Vx,体积微元为：,故此法称为垫圈法Washer method,形如一垫圈,高等数学学习手册166页,垫圈法Washer Method,http:/www.cs.gasou.edu/faculty/demos/washermethod/,例 7,求椭圆所围成的平面图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积.,解,解

3、,只需求第一象限部分绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积，再乘以 2.,同理，由对称性，,当 a=bR 时，得球体体积，,课内练习,求以下两曲线所围成的平面图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积.,解,作图,with(plots):quxian:=plot(x,x3,x=-2.2,y=-1.5.1.5,thickness=4,color=red,blue):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,with(plots):quxian:=plot(x,-x,x3,-x3,x=-1.1,y=-1.5.1.5,thickn

4、ess=4,color=red,red,blue,blue):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,例,圆环体的体积,Torus,.281, 题 16,绕 x 轴,柱壳法 (Shell Method),http:/www.cs.gasou.edu/faculty/demos/shellmethod/,.281 19题,选学,高等数学学习手册167页,换一种方法求体积微元,柱壳,柱壳半径,柱壳的高度,柱壳的厚度,高等数学学习手册167页,例,求,与 x 轴所围成的图形分别绕 x 轴和 y 轴所得的旋转体的体积,with(plots)

5、:f:=plot(sin(x),x=0.Pi,thickness=3):f1:=plot(sin(x),x=0.Pi,filled=true,color=grey):display(f,f1,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,高等数学学习手册167页，例 6.2.2,with(plots):f:=plot(sin(x),x=0.Pi,thickness=3):g:=plot(-sin(x),x=0.Pi,thickness=3):f1:=plot(sin(x),x=0.Pi,filled=true,color=grey):g1:=plot(-sin(x),

6、x=0.Pi,filled=true,color=grey):display(f,f1,g,g1,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,with(plots):qumian:=plot3d(x,sin(x)*cos(t),sin(x)*sin(t),x=0.Pi,t=0.2*Pi):display(qumian,scaling=constrained);,with(plots):qumian:=plot3d(y*cos(t),y*sin(t),sin(y),y=0.Pi,t=0.2*Pi):display(qumian,scaling=constrained);,with(plots):f:=plot(sin(x),x=0.Pi,thickness=3):f1:=plot(sin(x),x=0.Pi,filled=true,color=grey):display(f,f1,tickmarks=0,0,scaling=constrained);,绕 y 轴的旋转体,.281 19题,