工程力学组合变形ppt课件.ppt

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1、,第八章 组合变形,材料力学,在复杂外荷载作用下，构件的变形包含两种或两种以上的基本变形，若几种变形所对应的应力属于同一数量级而不能忽略，则构件的变形称为组合变形。,8.1 组合变形和叠加原理,组合变形,一、组合变形：,二、组合变形的研究方法 叠加原理,首先将作用在杆件上的荷载加以简化和分组，使简化后的每组荷载各自产生一种基本变形。,分别计算每一种基本变形引起的内力、应力和变形。,将以上应力、变形叠加。,组合变形,适用前提：小变形、线弹性，从而内力、应力和位移与外力成线性关系。,三、本章研究的组合变形：,轴向拉压与弯曲的组合。,扭转与弯曲的组合。,组合变形,8.2 轴向拉伸或压缩与弯曲的组合,

2、一、轴向拉伸或压缩与横力弯曲的组合,本节只限于讨论抗弯刚度 EI 较大的杆，这时横向力引起的弯曲变形很小，则轴向力因弯曲变形而产生的弯矩可略去。这样，轴向力就只引起拉伸或压缩变形，而不引起弯曲变形，叠加原理就可以应用了。,则杆横截面上任一点的正应力为：,组合变形,例1 最大吊重G8 kN的起重机如图(a)所示(单位：mm)。其中AB杆为工字钢，材料为Q235钢， 100 MPa，试选择工字钢型号。,解得：,解：AB杆受力如图(b)所示，设CD杆拉力为F，列平衡方程：,组合变形,可见AB杆在AC段内产生压缩与弯曲的组合变形。作出AB杆的弯矩图和轴力图如图(c)所示。,强度计算时，先不考虑杆轴力的

3、影响，只根据弯曲强度条件初选工字钢。则,从图中可看出，C截面左侧为危险截面。,选定工字钢后再进行强度校核。知危险点位于危险截面C左侧的下边缘，发生有绝对值最大正应力（压），大小为,组合变形,即最大正应力与许用应力 100MPa接近相等，故无需重新选取截面的型号。,查型钢表，初选16号工字钢，W141cm3，A26.1cm2。,组合变形,如果作用在直杆上的外力，其作用线与杆轴线平行但不通过杆件横截面的形心，则引起偏心拉伸/压缩。,二、偏心拉伸或压缩,1、分解：,首先建立坐标系。,以杆轴线为x轴，横截面的两个,形心主轴分别为y、z轴。,A,2、应力分析：,组合变形,设偏心拉力F在端截面上的作用点为

4、A(yF, zF)，则,于是：,再注意到：,在杆的任一横截面上，有,A,中性轴是一条不通过横截面形心的直线，它在 y、z 两轴上的截距分别为,4、危险点,3、中性轴方程,组合变形,危险点即距中性轴最远的点D1、 D2 。,若smax 0，则为stmax；若smin 0，则为scmax 。,中性轴与偏心力作用点分别位于截面形心两侧,ay,az,解：两柱横截面上的绝对值最大正应力均为压应力。,例2 图示等截面与不等截面柱，受力P=350kN， 试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。,图1,图2,组合变形,偏心距 e = 50 mm,例3图示钢板受力P=100kN，试求最大正应力。若将缺口移至板宽的中

5、央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？,解：（一）内力分析如图,坐标如图，挖孔处的形心,组合变形,应力分析如图,（二）求孔移至板中间，且使最大正应力保持不变时的挖空宽度,组合变形,例4 小型压力机的铸铁框架如图 (a)所示。已知材料的许用拉应力 30 MPa，许用压应力 160 MPa。试按立柱强度确定压力机的最大许可压力FP。立柱的截面尺寸如图 (b)所示（尺寸单位：mm）。,组合变形,a),b),其次分析立柱的内力和应力。立柱任意横截面m-m以上部分受力情况见图(c)，截面m-m为单向偏心受拉。可以求得轴力FN和弯矩My分别为,组合变形,解：首先根据截面尺寸计算截面面积，确定截面形

6、心位置，求出截面对形心主惯性轴 y 的主惯性矩Iy。结果为,轴力FN对应的均布拉应力为,c),组合变形,最后，由,弯矩 My 对应线性分布的正应力，最大拉、压应力分别是,叠加以上两种应力见图d) ，且,为使立柱同时满足抗拉、抗压强度条件，应有,由,FP 45kN,FP 171.4kN,得：,得：,FP 45kN。,故在截面内、外边缘上分别发生最大拉、压应力。,8.3 截面核心,故在横截面形心附近存在某一区域。当偏心压力作用在此区域内时，相应的中性轴将在截面以外或与截面周边相切而不穿过横截面，这时整个截面上只有压应力而无拉应力。该区域称截面核心。,组合变形,偏心拉、压问题的中性轴截距公式为,研究

7、截面核心的意义？,如何确定截面核心？,当偏心压力作用在截面核心的边界上时，相应的中性轴将与截面周边相切且不穿过横截面。,考虑图示任意形状的截面，y 轴和 z 轴为其形心主惯性轴。,为确定截面核心的边界（图中的封闭曲线1-2-3-4-5-1），作一系列与截面周边相切和外接的直线，并把它们视为中性轴。,组合变形,得出每一与截面周边相切或外接的直线（中性轴）所对应的偏心压力F作用点的位置，亦即截面核心边界上相应点的坐标：,根据这些直线中每一直线在y轴和z 轴上的截距ayi和azi ，即可由中性轴截距公式,组合变形,连接这些点所得封闭曲线其包围的范围就是截面核心。,应该注意的是，截面核心的每一边界点与

8、对应的截面周边上的切线和外接的直线（中性轴）总是位于截面形心的相对两侧。,组合变形,(1) 圆截面的截面核心,圆截面对圆心（形心）O是极对称的，故其截面核心的边界必然也是一个圆心为O的圆。作一条如图所示与截面周边相切的直线，它在形心主惯性轴 y和 z 上的截距为,而对于圆截面有,从而,组合变形,此即截面核心边界上点1的坐标。以O为圆心，以d /8为半径所作的圆其包围的范围就是圆形截面的截面核心。,组合变形,(2) 矩形截面的截面核心,对于矩形截面的形心主惯性轴y、z轴，惯性半径的平方为：,作与周边相切的直线、 、，将它们视为中性轴，根据它们在形心主惯性轴 y、z上的截距便可确定截面核心边界上的

9、相应点1、2、3、4。,组合变形,例如若以直线为中性轴，则：,截距,核心边界点1的坐标,对应于周边上其他三条切线的截面核心边界点的坐标可类似地求得，并将其标注在图中。,组合变形,现在的问题是，确定截面核心边界上的四个点1、2、3、4后，相邻各点之间应如何连接。,实际上这就是说，当与截面相切的直线（中性轴）绕截面周边上一点旋转至下一条与周边相切的直线时，偏心压力的作用点按什么轨迹移动。,现以切线绕B点旋转至切线时的情况来说明。,组合变形,前述已知，杆件偏心受压时横截面上中性轴的方程为,当中性轴绕一点B转动时，位于中性轴上的B点的坐标(yB, zB) 不变，亦即上式中的y0、z0在此情况下为定值y

10、B、zB，而偏心力的作用点(yF, zF )移动，将上式改写为,显然，这是关于yF、zF的直线方程。,组合变形,这表明，当截面周边切线（中性轴）绕周边上的定点转动时，相应的偏心压力的作用点亦即截面核心的边界点沿直线移动。,于是在确定截面核心边界上的点1、2、3、4后，顺次以直线连接这些点所得到的菱形便是矩形截面的截面核心。该菱形的对角线长度分别为矩形边长的三分之一，即h/3和b/3(如图所示)。,组合变形,注意：对于周边有凹进部分的截面（如T形截面），在确定截面核心边界时，不能取与凹进部分周边相切的直线作中性轴。,组合变形,8.4 扭转与弯曲的组合,弯曲与扭转的组合在机械工程中最常见。下面以操

11、纵手柄为例说明这类组合变形的应力及强度的计算方法。,图 a)所示为一钢制手柄，AB段是直径为d 的等直圆杆，A端为固定端，BC段长度为a，C端受铅垂力FP作用。为分析AB杆的受力情况，将FP力向AB杆B端的形心简化。,在危险截面A上，弯曲正应力s 在上下两端点1和2处最大(图e)，而扭转切应力t 在横截面周边各点处最大(图f)。所以点1和点2为危险截面上的危险点。,AB杆弯矩图和扭矩图分别如图c)、d)所示。显然固定端A截面为危险截面，其弯矩 M-FPl，扭矩 TFPa。,组合变形,组合变形,因手柄用钢材制成，应选用第三或第四强度理论。其相应的强度条件分别为,取其中的点 1研究，其受力如右图所

12、示。,点 1的三个主应力为,组合变形,式中的 M 和 T 分别为圆截面杆危险截面上的弯矩和扭矩。,注意到：,且对圆截面杆有WP2W，则以上两式改写成,按第三强度理论：,按第四强度理论：,组合变形,例5 电动机带动一圆轴AB，在轴中点处装有一重G5 kN、直径D1.2 m的胶带轮(图a)，胶带紧边的拉力F16 kN，松边的拉力F23 kN，两端轴承间的轴长 l =1.2m。若轴的许用应力s50 MPa，试按第三强度理论求轴的直径d。,组合变形,受力简图b)中：,所以轴的右半段发生弯曲和扭转的组合变形。,解: 把作用于轮上的胶带拉力F1、F2向轴线简化，如图b)所示。,F=G+F1+F2,根据横向

13、力F作出的弯矩图如图c)所示。最大弯矩在轴的中点截面上，其值为,=(5+6+3)kN=14kN,组合变形,解得：,根据扭转外力偶矩Mx，作出的扭矩图如图 d)所示。扭矩为,故轴中间截面右侧为危险截面。,代入相应数据：,按第三强度理论，有,组合变形,例6图a所示钢制实心圆轴在其两个齿轮上作用有切向力和径向力，齿轮C 的节圆（齿轮上传递切向力的点构成的圆）直径 dC=400 mm，齿轮D的节圆直径 dD=200 mm。已知许用应力 s =100 MPa，试按第四强度理论设计轴的直径。,解：(1) 受力分析,将每个齿轮的作用力向该齿轮所在处轴的横截面形心简化，可得轴的计算简图如图b所示。,由图b可知

14、轴将发生扭转变形和在 xy、 xz两相互垂直纵向平面内的弯曲变形。,组合变形,分别作弯矩图及扭矩图如图c、d、 e 所示。,(2) 内力分析：,由于通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面，圆截面的任何形心轴均为形心主惯性轴，故可将同一截面上的两弯矩Mz和My按矢量和合成，且合成弯矩的作用面仍为纵向对称平面，仍可按对称弯曲计算。,例如，截面B上的两弯矩MzB和 MyB（图f）按矢量和所得的总弯矩MB（图g）为：,组合变形,可知截面B上的总弯矩为最大，并且由扭矩图可见B截面上的扭矩与CD段其它横截面上相同，TB-1000 Nm，于是判定横截面B为危险截面。,又：,组合变形,按第四强度理论建立的强度

15、条件为,即,亦即,于是得,(3) 计算轴径：,说明：考虑到轴在交变应力下工作，这里规定的许用应力s 低于静载下的数值。,解：此问题为拉扭组合,危险点 在杆表面，应力状态如图。,例7 直径为d =0.1m的圆杆受力如图,T =7kNm，P =50kN, =100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。,故安全。,组合变形,一、钢圆轴为拉伸与扭转的组合变形，试写出其强度条件。若为拉伸、扭转和弯曲的组合变形，试写出其强度条件。,组合变形,第八章 组合变形练习题,解：,二、边长为a的正方形截面杆，其横截面面积在 mn 处减少一半，试求由轴向载荷 P 引起的 mn 截面上的最大拉应力。,解：作弯矩图，显然固定端为危险截面，D、F点为危险点。,组合变形,三、矩形截面梁如图。已知b=50mm , h=75 mm，求梁内的最大正应力。如改为 d = 65mm的圆截面，最大正应力为多少？,如改为圆截面，则,