平面问题基本理论ppt课件.ppt

《平面问题基本理论ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面问题基本理论ppt课件.ppt（117页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第五章 平面问题的基本理论,5.1 平面应力问题和平面应变问题5.2 平面问题的基本方程5.3 边界条件5.4 圣维南原理及其应用5.5 按位移求解平面问题5.6 按应力求解平面问题5.7 常体力下的简化 应力函数,弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数，且均为 。,2-1平面应力问题和平面应变问题,弹性力学空间问题共有应力、应变和位移15个未知函数，且均为 ；,退化到平面问题,（2）体力作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变； （3）面力作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变； （4）约束作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。,结构条件：,第一类平面问题：平面应力问题,（1）等厚

2、度的薄板；,受力条件：,坐标系如图选择。,简化为平面应力问题：,故只有平面应力 存在。,由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：,（1）两板面上无面力和约束作用，故,所以归纳为平面应力问题：a.应力中只有平面应力 存在；b.且仅为 。,（2）由于板为等厚度，外力、约束沿z向不变，故应力 仅为 。,如：弧形闸门闸墩,计算简图：,深梁,计算简图：,F,因表面无任何面力，,A,B,例题1：试分析AB薄层中的应力状态。,故接近平面应力问题。,故表面上，有：,在近表面很薄一层内：,（2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；,第二类平面问题：平面应变问题,条件是：,（1）很长的

3、常截面柱体；,（3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；,（4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。,坐标系选择如图：,对称面,故任何z 面（截面）均为对称面。,平面应变,（1）截面、外力、约束沿z 向不变，外力、约束 平行xy面，柱体非常长；,简化为平面应变问题：,（2）由于截面形状、体力、面力及约束沿 向均不 变，故应力、应变和位移均为。,平面应变,所以归纳为平面应变问题：A. 应变中只有平面应变分量 存在； B. 且仅为 。,例如：,平面应变,隧道,挡土墙,o,y,x,y,o,x,且仅为 。,故只有 ，,本题中：,平面应变,ox,y,z,例题2：试分析薄板中的

4、应变状态。,故为平面应变问题。,52平面问题基本方程,定义,一、平衡微分方程,二、几何方程,定义,广义胡克定律：,三、物理方程,平面应力问题的物理方程：,代入 ，得：,在z方向,平面应力,代入 得,平面应变问题的物理方程,平面应变,在z方向，,平面应力物理方程平面应变物理方程：,变换关系：,平面应变物理方程平面应力物理方程：,位移边界条件 设在 部分边界上给定位移分量 和 ,则有,（在 上)。（a）,定义,边界条件 表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系。,位移边界条件,53边界条件, 若为简单的固定边， 则有,位移边界条件的说明：,（在 上）。（b）, 它是在边界上物体保持连续性的条

5、 件，或位移保持连续性的条件。, 它是函数方程，要求在 上每一点 ， 位移与对应的约束位移相等。,任一斜面应力与坐标面应力的关系式，,应力边界条件设在 上给定了面力分 量,（c）,应力边界条件,将此斜面移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力边界条件:, 它是边界上微分体的静力平衡条件；,说明,应力边界条件的说明：, 式（c）在A中每一点均成立，而 式（d）只能在边界 s上成立；, 它是函数方程，要求在边界上每一点s 上均满足，这是精确的条件；, 所有边界均应满足，无面力的边界 （自由边） 也必须满足。, 式（d）中， 按应力符号规定， ， 按面力符号规定；, 位移,应力边界条件均为每个边界

6、两 个，分别表示 ， 向的条件；,说明,若x=a为正x 面，l = 1, m = 0, 则式(d)成为,当边界面为坐标面时，,坐标面,若x=-b为负x 面，l = -1, m = 0 , 则式(d)成为,应力边界条件的两种表达式：,两种表达式, 在同一边界面上，应力分量应等于对 应的面力分量（数值相等，方向一 致）。即在同一边界面上,应力数值应 等于面力数值(给定),应力方向应同面 力方向(给定)。, 在边界点取出微分体，考虑其平衡条 件，得式（d）或（e），（f ）；,例1列出边界条件：,例2列出边界条件：,显然，边界条件要求在 上， 也成抛物线分布。, 部分边界上为位移边界条件，另一部分边

7、界上为应力边界条件；,混合边界条件,混合边界条件：, 同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。,例3列出 的边界条件：,弹性力学问题是微分方程的边值问题。应力，形变，位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。,54圣维南原理及其应用,圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。,如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。,圣维南原理,圣维南原理：,圣维南原理,1.圣维南原理只能应用于一小部分边界 （小边界，次要边界或局部

8、边界）；,圣维南原理的说明：,4.远处 指“近处”之外。,3.近处 指面力变换范围的一，二倍 的局部区域；,2.静力等效 指两者主矢量相同，对 同一点主矩也相同；,圣维南原理,圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。,圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。,例1比较下列问题的应力解答：,b,例2比较下列问题的应力解答：,推广,圣维南原理的应用：1.推广解答的应用；2.简化小边界上的边界条件。,应用,圣维南

9、原理在小边界上的应用：, 精确的应力边界条件,如图，考虑 小边界，,上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。,(a),在边界 上，,在小边界x=l上，用下列条件代替式(a)的条件： 在同一边界 x=l 上， 应力的主矢量 = 面力的主矢量（给定); 应力的主矩(M) = 面力的主矩（给定）.,数值相等,方向一致.,(b),圣维南原理的应用积分的应力边界条件,右端面力的主矢量，主矩的数值及方向，均已给定；,左端应力的主矢量，主矩的数值及方向，应与面力相同，并按应力的方向规定确定正负号。,具体列出3个积分的条件：,即： 应力的主矢量，主矩的数值=面力的主矢量

10、，主矩的数值； 应力的主矢量，主矩的方向=面力的主矢量，主矩的方向。,式中应力主矢量，主矩的正方向,正负号的确定： 应力的主矢量的正方向，即应力的正方向， 应力的主矩的正方向，即（正应力） （正的矩臂）的方向。, 平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相同。因此，两者的解答相似,只须将 进行变换。以下讨论平面应力问题。,1.平面问题的基本方程及边界条件,平面问题,55按位移求解平面问题, 平面应力问题,平面域A内的基本方程:平衡微分方程,（在A内）,几何方程,物理方程,（在A内）,（在A内）,应力边界条件 位移边界条件,（在 上）,（在 上）,S上边界条件:,8个未

11、知函数 必须满足上述方程和边界条件。,按位移求解（位移法）取 ， 为基本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含 ， 的方程和边界条件，从而求出 ， ；再求形变和应力。,2.解法消元法,解法,按应力求解（应力法）取 为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求形变和位移。,这是弹力问题的两种基本解法。,3. 按位移求解, 将其他未知函数用 ，表示： 形变用 ，表示几何方程; 应力先用形变来表示（物理方程）， 再代入几何方程，用 ，表示:, 取 ， 为基本未知函数；,按位移求解, 在A中导出求 ，的基本方程将式(a) 代入平衡微分

12、方程，,上式是用 ，表示的平衡微分方程。,位移边界条件,（在 上）(d),（在 上）(c),应力边界条件将式(a)代入应力边界条件，, 在S上的边界条件,按位移求解时， ， 必须满足A内的方程(b)和边界条件(c)，(d)。,归纳：,式(b)，(c)，(d)是求解 ， 的条件;也是校核 ， 是否正确的全部条件。,按位移求解（位移法）的优缺点：,求函数式解答困难，但在近似解法（变分法，差分法，有限单元法）中有着广泛的应用。,适用性广可适用于任何边界条件。,例1 考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用， 。试用位移法求解。,(a) (b),解：为了简化，设位移 按位移求解，位移应满足式(b

13、),(c),(d)。代入式(b),第一式自然满足，第二式成为,(a) (b),均属于位移边界条件，代入 ，,得,得,解出,在 处，,代入 ，并求出形变和应力，,（1）取 为基本未知函数；,基本方程,56 按应力求解平面问题相容方程,1.按应力求解平面应力问题,（2）其他未知函数用应力来表示:,位移用形变应力表示，须通过积分，不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未知项，因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。故在按应力求解时，只考虑全部为应力边界条件的问题,即 。,形变用应力表示（物理方程）。,按应力求解, 在A内求解应力的方程,(b),从几何方程中消去位移 ， ，得相容方程（形变协

14、调条件）：,补充方程从几何方程，物理方程中消去位移和形变得出 :,平衡微分方程 （2个）。 (a),代入物理方程，消去形变，并应用平衡微分方程进行简化，便得用应力表示的相容方程 ：,其中,(4) 应力边界条件假定全部边界上均为应力边界条件 。,（1）A内的平衡微分方程；（2）A内的相容方程；（3）边界 上的应力边界条件；（4）对于多连体，还须满足位移的单值条 件（见第四章）。,归纳：,（1）-（4）也是校核应力分量是否正确的全部条件。,按应力求解平面应力问题 ，应力 必须满足下列条件：,2.形变协调条件（相容方程）的物理意义,形变协调对应的位移存在位移必然连续；形变不协调对应的位移不存在不是物

15、体实际存在的形变微分体变形后不保持连续。, 形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。, 形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体位移连续几何方程形变协调条件。,点共点（连续），变形后三连杆在 点共点，则三连杆的应变必须满足一定的协调条件。,例1三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在 D,1.试比较按位移求解的方法和按应力求解的 方法，并与结构力学中的位移法和力法作 比较。2.若 是否可能 成为弹性体中的形变？3.若 是否 可能为弹性体中的应力？,思考题, 相容方程 (A) (a),1.常体力情况下按应力求解的条件,(A) (b), 平衡微分方程,按应力函数求解,57常体力情

16、况下的简化 应力函数, 应力边界条件,(S) (c), 多连体中的位移单值条件。 (d),在 - 条件下求解 的全部条件(a)，(b)，(c)中均不包含弹性常数，故 与弹性常数无关。,2.在常体力,单连体,全部为应力边界条件（ ）下的应力 特征：,3.常体力下按应力求解的简化,对应的齐次微分方程的通解，艾里已求出为,非齐次微分方程(b)的任一特解，如取,（1）常体力下平衡微分方程的通解是： 非齐次特解+齐次通解。,所以满足平衡微分方程的通解为:,(g),为艾里应力函数。,（2）应力应满足相容方程（a），将式 （g）代入（a），得,（3）若全部为应力边界条件 则应力边界条件也可用 表示。,归纳：

17、,（1）A内相容方程（h）；（2） 上的应力边界条件；（3）多连体中的位移单值条件连体。,求出 后，可由式（g）求得应力。,在常体力下求解平面问题 ，可转变为按应力函数 求解， 应满足:,例1 试列出图中的边界条件。,M,F,y,x,l,h/2,h/2,q,(a),解: (a)在主要边界 应精确满足下列边界条件：,在小边界x = 0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚 时，,在小边界x = l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，3个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。,(b) 在主要边界x= 0, b，应精确满足下列边界条件：,F,O,x,y,q,h,(b),b/

18、2,b/2,在小边界y = 0，列出3个积分的边界条件，当板厚 时，,注意在列力矩的条件时两边均是对原点o 的力矩来计算的。 对于y = h的小边界可以不必校核。,例2 厚度 悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是 试检查此组位移是否是图示问题的解答。,h/2,h/2,A,x,y,l,F,O,解： 此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件:,(1) 区域内用位移表示的平衡微分方程 (书中式218）;,（2）应力边界条件（书中式219），在 所有受面力的边界 上。其中在小边 界上可以应用圣维南原理，用3个积 分的边界条件来代替。（3）位移边界条件（书中式214）。本 题在x

19、 = l的小边界上，已考虑利用圣 维南原理，使3个积分的应力边界条 件已经满足。,因此，只需校核下列三个刚体的约束条件： A点（ x = l及y = 0），,读者可校核这组位移是否满足上述条件，如满足，则是该问题之解。,例3 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在,解：应变分量存在的必要条件是满足形变 相容条件，即 （a）相容； （b）须满足B = 0, 2A=C ； （c）不相容。只有C = 0，则,例4 在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：,解：弹性体中的应力，在单连体中必须 满足： （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）应力边界条件（当 ）。,（a）此组应

20、力满足相容方程。为了满足平 衡微分方程，必须A=-F, D=-E.此外，还应满足应力边界条件。（b）为了满足相容方程，其系数必须满足 A + B = 0。 为了满足平衡微分方程，其系数必须 满足 A = B =-C/2。 上两式是矛盾的，因此此组应力分量 不可能存在。,例5 若 是平面调和函数，即满足拉普拉斯方程 试证明函数 都满足重调和方程，因而都可以作为应力函数使用。,解： 上述函数作为应力函数，均能满足相 容方程（重调和方程），,(a),例6 图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，,x,y,l,o,q,ql,h/2,h/2,解：本题是按应力求解的，在应力法中，

21、应力分量在单连体中必须满足（1）平衡微分方程；（2）相容方程 ;（3）应力边界条件（在 上）。 将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。,再校核边界条件，在主要边界上，,再将式（b）表达式代入次要边界条件，,其主矢量为,而主矩为,其主矢量为,其主矢量为0，,而主矩为,由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（b）是图示问题之解。,q(x),x,y,l,o,h/2,h/2,例7 在材料力学中，当矩形截面梁（度 ）,受任意的横向荷载q(x)作用而弯曲时，弯曲应力公式为,（a）试由平衡微分方程（不计体力）导出切应力 和挤压应力 的公式。,（提示：注意关系式积分后得出的

22、任意函数，可由梁的上下边界条件来确定。）,（b）当q为常数时，试检验应力分量是否 满足相容方程，试在 中加上一项对平衡没有影响的函数f (y)，再由相容方程确定f (y),并校核梁的左右边界条件。,解：本题引用材料力学的弯应力 的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解。应力分量必须满足 （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）应力边界条件（在 上）。,（a）不计体力，将 代入平衡微 分方程第一式， 得:,两边对y积分，得,再由上下的边界条件,将 代入平衡微分方程的第二式,对y积分，得,得,由上下的边界条件，,上述解答 及式(c),(d)已经满足平衡微分方程及 的边界条件；但一般不满足相容方程，且尚未校核左右端的小边界条件。,由此得,（b）若q为常数，则 ，得 代入相容方程，为了满足相容方程，,此式 和式（c），（d）的一组应力分量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方程，得积分得,由次要边界条件,由此得,读者可检测，式（c），（d），（e）的一组应力已满足无体力，且q为常数情况下的平衡微分方程，相容方程，和应力边界条件（在x =0, l小边界上的剪力即为 的主矢量），因而是该问题之解。,