北师大版八年级数学上册第一章勾股定理课件.pptx

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1、1.1 探索勾股定理 （第1课时）,北师大版 数学 八年级 上册,1.1 探索勾股定理北师大版 数学 八年级 上册,导入新知,同学们，在我们美丽的地球王国上，原始森林，参天古树带给我们神秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给我们以美的享受.你知道吗？在古老的数学王国，有一种树木它很奇妙，生长速度大的惊人，它是什么呢？下面让我们带着这个疑问一同到数学王国去欣赏吧！,勾股树,导入新知 同学们，在我们美丽的地球王国上，原始森林，参天古树,1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.,素养目标,2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳”的教学过程，将形与数密

2、切联系起来.,3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的应用.,1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定理反映的是直,在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.,勾股定理的探索,做一做,探究新知,在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们,问题1 你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?,探究新知,问题1 你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?ABC,正方形A中含有 个小方格,即A的面积是 个单位面积.,同理:正方形B的面积是 个单位面积.,9,9,9,思考1 用什么办法能求

3、出图1中A, B的面积?,数格子,图1,探究新知,ABC（图中每个小方格代表一个单位面积）正方形A中含有,分割成若干个直角边为整数的三角形,（单位面积）,思考2 怎样求出C的面积?,图1,探究新知,分割成若干个直角边为整数的三角形（单位面积）思考2 怎样求,练一练 通过对图1的学习，求出图2正方形A,B,C中面积各是多少?,探究新知,解：正方形A的面积是4个单位面积，正方形B的面积是4个单位面积，正方形C的面积是8个单位面积.,练一练 通过对图1的学习，求出图2正方形A,B,C中面积各是,（1）观察图3、图4：,（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：,4 9,16 9,？,？,做一做,探究

4、新知,（1）观察图3、图4： （2）填表（每个小正方形的面积为单位,（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.,图3,图4,探究新知,（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流. 图3图4探,“补”,“割”,“拼”,探究新知,“补”“割”“拼”分割为四个直角三角形和一个小正方形补成大正,（4）分析填表数据,探究新知,4 9,16 9,13,25,（4）分析填表数据图4图3探究新知A的面积B的面积C的面积图,结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.,问题2 通过以上观察分析，你能发现三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？,探究新知,结

5、论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以,做一做 如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.,问题4 你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？,探究新知,做一做 如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么,即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.,表示为：RtABC中，C=90,则 .,探究新知,勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么,直角三角形中,在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为勾，下半部分

6、称为股“.,趣味小常识,探究新知,勾较短的直角边称为 ，股较长的直角边称为 ，,2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”，这就是本届大会会徽的图案.,探究新知,2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，,方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.,例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,求斜边AB的长度.,解：在RtABC中根据勾股定理,AC+BC=AB，,AC=12，BC=5,所以12+5=AB，,所以AB=12+5=169，,所以AB=13

7、厘米.,答：斜边AB的长度为13厘米.,探究新知,素养考点 1利用勾股定理求直角三角形的边长方法点拨：已知直角,求下列图形中未知边的长度：,所以x=8 .,解：由勾股定理得：,62+x2=102 ,所以x2=64 ,巩固练习变式训练求下列图形中未知边的长度： 所以x=8 .解,1.寻求图形面积之间的关系,方法点拨：以直角三角形三边为基础向外作正方形，等腰三角形或半圆，都能形成简单的勾股图，对于勾股图都有相同的结论，即S3=S1+S2（S3是以斜边为基础向外作的图形的面积，S1和S2分别是以直角边基础向外所作图形的面积.,例2 如图，以RtABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1

8、、S2、S3，若S1+S2+S316，则S1的值为（）,A7 B8 C9 D10,探究新知,B,1.寻求图形面积之间的关系素养考点 2利用勾股定理求面积问题,例3 如图，在ABC中，ABAC13，BC10，求ABC的面积,方法点拨：当题目中没有直角三角形时，常作垂线（或作高）构造直角三角形，然后利用勾股定理求得线段的长，进而求面积.,2.求非直角三角形的面积,探究新知,例3 如图，在ABC中，ABAC13，BC10，求,巩固练习,如图，ABC中，ACB90，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S16，S28，则S3,14,巩固练习 如图，ABC中，ACB90，以它,

9、连接中考,1.（2018山东省中考真题）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A5 B6 C7 D8,2.（2019黔东南州）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB1，EC2，那么正方形ABCD的面积为,A,连接中考1.（2018山东省中考真题）在直角三角形中，若勾,课堂检测,1.判断题（1）ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) （2）ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 2.在ABC中, C=90,AC=6,CB=8,则ABC面积为_,斜边为上的高为_.,24,4.8,课堂检测基础巩固题ABCD1.判断题244.8,64 cm,课堂检测,基础巩固题15 c

10、m17 cm64 cm课堂检测3.,4.求出图中直角三角形第三边的长度.,课堂检测,所以x=8 .,解：由勾股定理得：,152+x2=172 ,所以x2=64 ,所以x=13 .,解：由勾股定理得：,x2= 32 +42+152 ,所以x2=169 ,基础巩固题4.求出图中直角三角形第三边的长度.课堂检测所以x,5.已知ACB=90,CDAB,AC=3,BC=4. 求CD的长.,课堂检测,解：因为ACB=90，AC=3，BC=4，,所以AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.,基础巩固题5.已知ACB=90,CDAB,AC=3,B,如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S

11、2、S3,则S1、S2、S3的关系是（ ）S1+S2=S3 B. S12+S22=S32 C. S1+S2S3 D. S1+S2S3,A,课堂检测,能力提升题 如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次,勾股定理的探索,如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2,利用勾股定理进行计算,课堂小结,勾股定理的探索如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为,1.1 探索勾股定理 (第2课时),北师大版 数学 八年级 上册,1.1 探索勾股定理北师大版 数学 八年级 上册,1.上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？,2.如何验证勾股定

12、理呢 ？,据不完全统计，验证的方法有400多种，你想得到自己的方法吗？,1.上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问,1.掌握用面积法如何验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题,2.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.,素养目标,1.掌握用面积法如何验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实,问题思考 分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.,勾股定理的证明,问题思考 分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作,割,小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对大正方形进行割补的？,你

13、能将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来吗？,补,割 小明的证明思路如下图，想一想：小明是怎样对大正方形,a+b,大正方形ABCD的面积可以表示为： 或者_,可得等式,方法一,(a+b)2,a+b大正方形ABCD的面积可以表示为：,你能用右图验证勾股定理吗？,验证了勾股定理,所以a2+b2=c2 .,S正方形C,你能用右图验证勾股定理吗？验证了勾股定理探究新知=c2S正方,小正方形ABCD的面积可以表示为： 或者_,可得等式,方法二,c2,小正方形ABCD的面积可以表示为：,你能用右图验证勾股定理吗？,也验证了勾股定理,所以a2+b2=c2 .,你能用右图验证勾股定理吗？也验证

14、了勾股定理探究新知=c2S正,所以a2 + b2 = c2,方法三,c2,a,b,c,a2,b2,所以a2 + b2 = c2 方法三c2abca2b,a,b,c,所以c2 = b2 + a2,方法四,abc所以c2 = b2 + a2 方法,毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.,毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行,所以a2+b2+2ab=c2+2ab，,证明：因为S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4 ab+c2 =c2+2ab，,所以a2+b2=c2 .,a

15、aaabbbbcccc所以a2+b2+2ab=c2+2ab,a,a,b,b,c,c,美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.,如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.,所以a2+b2=c2 .,aabbcc 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.,c,意大利文艺复兴时代的著名画家达芬奇的证法,abcABCDEFO意大利文艺复兴时代的著名画家达芬奇的证,请同学们自己写一下证明过程，相信你能行的！,证明：,所以a2+b2=c2 .,AaBCbDEFOABCDEF请同学们自,归纳总结,勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式

16、拼图，补拼是要求无重叠，叠合是要求无空隙；而用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从而达到验证的目的,归纳总结 勾股定理的验证主要是通过拼图,用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图所示的图形，则下列结论中正确的是() Ac2a2b2 Bc2a22abb2 Cc2a22abb2 Dc2(ab)2,A,用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如图所示的图形，则,例 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400m,10s后,汽车与他相距500m,你能帮小王

17、计算敌方汽车的速度吗?,分析：,点A表示小王的位置,点C表示汽车开始位置,点B表示10s后汽车距小王500m,小王距离公路400m，所以C是直角,点A、B、C构成直角三角形,A,C,公路,400m,例,例 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察,发现一辆敌,即它行驶的速度为108 km/h.,总结：在实际问题中，可以根据问题中的条件构造直角三角形，从而利用勾股定理来解答.,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.,敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为,300660=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.总结：在实际问题中，可,飞机在空中水平飞行

18、，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4km处，过了20s，飞机距离这个男孩子头顶5km，飞机每小时飞行多少千米？,4km,20秒后,5km,A,B,C,在RtABC中，BC2=AB2-AC2.,解：,因为AB=5，AC=4,所以BC2=52-42.,所以BC2=9,所以BC=3，,因为 ,所以 .,答：飞机每小时飞行540km.,飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4km,例 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm，求这个三角形的面积.,8,D,A,B,C,解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为xcm，则AB为（16-x）cm，,由勾股定理得：x2+82=(16-

19、x)2,即x2+64=256-32x+x2,所以x=6,方法点拨：利用勾股定理解答几何问题，经常用到设未知数列方程的思想,答：这个三角形的面积为48cm2.,例 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm，求这个三角,下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积.,解：设正方形的边长为x厘米 , 则,x2=172-152 =64,答：正方形的面积是64平方厘米.,下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积.15厘米17厘米,议一议 判断图中三角形的三边是否满足a2+b2=c2.,锐角三角形：a2+b2 c2,钝角三角形：a2+b2 c2,直角三角形：a2+b2=c2,提示：用数格子的方法判断图

20、中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.,议一议 判断图中三角形的三边是否满足a2+b2=c2.锐角,（2019咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽下列图案中是“赵爽弦图”的是（）A B C D,连接中考,B,（2019咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”,1如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚() A0.2 m B0.4 m C2 m D4 m,C,1如图，一个长为

21、2.5 m的梯子，一端放在离墙脚C课堂检测,2如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为()A5 B6 C7 D25,A,2如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，,3如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的 面积分别为3和4，则b的面积为() A16 B12 C9 D7,D,D课堂检测基础巩固题,4两棵树之间的距离为8 m，两棵树的高度分别是8 m，2 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？,思路：先根据题意画出图形，然后添加辅助线，构造直角三角形，再利用勾股定理解答,4两棵树之间的距离为8

22、m，两棵树的高度分别是8 m，2,解：根据题意画出示意图，如图所示，两棵树的高度分别为AB8 m，CD2 m，两棵树之间的距离BD8 m，过点C作CEAB，垂足为E，连接AC.则BECD2 m，ECBD8 m，AEABBE826(m)在RtACE中，由勾股定理，得AC2AE2EC2，即AC26282100，所以AC10 m.答：这只小鸟至少要飞10 m,解：根据题意画出示意图，如图所示，课堂检测基础巩固题,知识点,如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1 ， S2 2，试求出S3的面积.,知识点 如图，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半,解：如图，由圆的面积

23、公式得 所以c225，a216.根据勾股定理，得b2c2a29.所以,解：如图，由圆的面积公式得能力提升题课堂检测,一艘快艇以每小时12海里的速度离开A地，向西北方向航行，另一小船以每小时5海里的速度离开A地，同时出发向西南方向航行，求1小时后快艇与小船之间的距离.,思路提示：解题的关键是要能够根据题意，将实际问题抽象成数学问题（数形结合），运用所学新知识解决问题.或者说：画出图形，运用勾股定理.,一艘快艇以每小时12海里的速度离开A地，向西北方向,验证勾股定理及应用,拼图验证,首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理,应用,拼出图形,写

24、出图形面积的表达式,找出相等关系,步骤,恒等变形,导出勾股定理,思路,验证勾股拼图验证首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积,1.2 一定是直角三角形吗,北师大版 数学 八年级 上册,1.2 一定是直角三角形吗（1） （2） （3） （4,小明找来了长度分别为12cm,40cm的两根线,利用这两根线采用固定三边的办法画出了如图所示的两个图形,他画的是直角三角形吗?,问题思考,小明找来了长度分别为12cm,40cm的两根线,利用,1. 探索和掌握勾股定理的逆定理，并能理解勾股数的概念.,2. 经历证明勾股定理的逆定理的过程，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.,素养目标,1.

25、 探索和掌握勾股定理的逆定理，并2. 经历证明勾股定理的,据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.,勾股定理的逆定理,据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角.这种方法对吗？,三边分别为3，4，5，满足关系：32+42=52，则该三角形是直角三角形,345三边分别为3，4，5，探究新知,问题1 用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？,是,做一做 下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形(单位：cm). 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17,问题1 用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？是做一做 下列,下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:

26、 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17.问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？, 5,12,13满足52+122=132, 7,24,25满足72+242=252, 8,15,17满足82+152=172.,问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？,因为32+42=52，所以满足.,a2+b2=c2,下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: ,我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.,我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.,问题4 据此你有什么猜想呢?,由上面几个例子，我们猜想： 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=

27、c2,那么这个三角形是直角三角形.,我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.我也觉得猜想不,已知：如图，在ABC中，AB=c，BC=a，CA=b， 并且 .,A,B,b,c,证明：作A1B1C1,在ABC和A1B1C 1中，,C,a,求证：C=90.,使C1=90,根据勾股定理，则有,B,A,B1C1=a，C1A1=b,A1B1 2=B1C1 2+C1A1 2=a2+b2,因为a2+b2=c2,所以A1B1 =c，,所以AB=A1B1,已知：如图，在ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，AB,符号语言：在ABC中，若a2 + b2 = c2则ABC是直角三角形.,提示：勾股定理的逆定理

28、是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角.,如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.,勾股定理的逆定理：,符号语言：探究新知 提示：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定,例 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？,(1) a=15 ， b=20 ，c=25;,解：(1)因为152+202=625，252=625，所以152+202=252，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且C是直角.,(2) a=

29、13 ，b=14 ，c=15.,(2)因为132+142=365，152=225，所以132+142152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.,利用勾股定理的逆定理判断直角三角形,点拨：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.,例 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( )A. 1,2,3 B. 2,3,4 C. 4,5,6 D. 6,10,8,D,下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( )D巩,一个零件的形状如下图(左)所示,按规定这个零件中

30、A和DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如下图(右)所示,这个零件符合要求吗?,例,一个零件的形状如下图(左)所示,按规定这个零件中A和,分析：如果三角形三边之间的关系存在着a2+b2=c2,那么就可以判定是直角三角形.,解:在ABD中,AB2+AD2=9+16=25=BD2,所以ABD是直角三角形,A是直角.在BCD中,BD2+BC2=25+144=169=CD2,所以BCD是直角三角形,DBC是直角.因此,这个零件符合要求.,分析：如果三角形三边之间的关系存在着a2+b2=c2,那么就,勾股定理与其逆定理的关系:勾股定理是已知直角三角形,得到三边长的关系,它是直角三角形的重要性质

31、之一;而勾股定理的逆定理是由三角形三边长的关系判断一个三角形是不是直角三角形,这是直角三角形的判定,也是判断两直线是否垂直的方法之一.二者的条件和结论刚好相反.,方法点拨探究新知 勾股定理与其逆定理的关系:勾股定理,如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流.,解:ABE，DEF，FCB 均为直角三角形, 由勾股定理知 BE2=22+42=20，EF2=22+12=5， BF2=32+42=25, 所以BE2+EF2=BF2, 所以BEF是直角三角形.,如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中,勾股数,如果三

32、角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.,常见勾股数：,3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.,勾股数拓展性质：,一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.,探究新知知识点 3勾股数 如果三角形的三边长a，b，,下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3，4，6 B.6，7，8 C.0.3，0.4，0.5 D.5，12，13,D,温馨提示：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于

33、其他两边的平方和即可.,下列各组数是勾股数的是 (,（2019威海模拟）已知M、N是线段AB上的两点，AMMN2，NB1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则ABC一定是（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形,B,连接中考（2019威海模拟）已知M、N是线段AB上的两点，,1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A.3，4，7 B.5，12，13 C.1.5，2，2.5 D.1，3，5,2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形 D.不可能是直

34、角三角形,B,A,1.下列各组数是勾股数的是 ( )2.将直角三角形,3.若ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，试判断ABC的形状.,解：设a=3k,b=4k,c=5k(k0),因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,所以ABC是直角三角形，且C是直角.,3.若ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5,A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？,解：因为AB2+BC2 = 122+52 =144+25 =169，AC2=132=169，所以AB2+BC2=AC2，所以A

35、BC为直角三角形，且B=90，由于A地在B地的正东方向，所以C地在B地的正北方向.,A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正,勾股定理的逆定理,内容,作用,从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.,如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.,注意,最长边不一定是c， C也不一定是直角.,勾股数一定是正整数,勾股数,勾股定理内容作用从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角,1.3 勾股定理的应用,北师大版 数学 八年级 上册,1.3 勾股定理的应用北师大版 数学 八年级 上册NEP Q,在同一平面内，两点之间,线段最短,从行政楼A点走到

36、教学楼B点怎样走最近？,教学楼,行政楼,B,A,你能说出这样走的理由吗？,在同一平面内，两点之间,线段最短 从行政楼A点走到教学楼,1. 灵活会用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离问题.,2. 运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.,素养目标,3.培养学生的空间想象力，并增强数学知识的应用意识.,1. 灵活会用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离问题.,以小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的A点沿侧面爬行 到B点的问题.,讨论 1.蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A点爬行到B点？ 2 .有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎样找到的？,B,A,我要从A点沿侧面爬行到B点，怎么爬呢？大家快帮我想想呀

37、！,利用勾股定理解答最短路径问题,以小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的A点沿侧面爬行,想一想 蚂蚁走哪一条路线最近？,A,蚂蚁AB的路线,BAdABAABBAO 想一想 A 蚂蚁AB的路线探究,若已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 cm，则:,侧面展开图,小结：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.,A,A,AB2=122+(182)2 所以AB=15.,若已知圆柱体高为12 cm，底面周长为18 c,例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2m，高

38、AB是5m，取3）,A,B,A,B,A,B,解：油罐的展开图如图，则AB为梯子的最短距离. 因为AA=232=12, AB=5m,所以AB=13m. 即梯子最短需13米.,例1 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点,数学思想：,立体图形,平面图形,转化,展开,数学思想：立体图形平面图形转化展开探究新知,3勾股定理的应用,如图所示,一个圆柱体高20cm,底面半径为5cm,在圆柱体下,解:如图所示,将圆柱侧面沿AC剪开并展平,连接AB,则AB的长即为蜘蛛爬行的最短路程.根据题意得AC=20 cm,BC=25=15(cm).在ABC中,ACB=90,由勾股定理得AB2=BC2+AC

39、2=152+202=252,所以AB=25 cm,最短路程是25cm.,3勾股定理的应用,解:如图所示,将圆柱侧面沿AC剪开并展平,连接AB,则AB的,B,牛奶盒,A,例2 学习了最短问题，小明灵机一动，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程吗？,6cm,8cm,10cm,B牛奶盒A例2 学习了最短问题，小明灵机一动，拿出了牛奶盒，,长方体爬行路径,前（后）,上（下）,B,C,G,F,E,H,右（左）,上（下）,前（后）,右（左）,B,C,A,E,F,G,分析,长ABFEHGABCDEFGH前（后）上（下）ABCDEFG,B,B1,

40、8,A,B2,6,10,B3,AB12 =102 +（6+8）2 =296,AB22= 82 +（10+6）2 =320,AB32= 62 +（10+8）2 =360,因为360320296所以AB1 最短.,BB18AB2610B3AB12 =102 +（6+8）2,A,B,点A和点B分别是棱长为10cm的正方体盒子上相对的两点,一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走最短路程的平方是多少？,AB点A和点B分别是棱长为10cm的正方体盒子上相对的两点,解:如图所示在RtABC中,利用勾股定理可得，AB 2 =AC2+BC2=20 2+102= 500,10,10,10,所以AB2=500.,

41、ABC解:如图所示101010巩固练习所以AB2=500.,李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.（1）你能替他想办法完成任务吗？,解:连接对角线AC，只要分别量出AB、BC、AC的长度即可.,AB2+BC2=AC2,ABC为直角三角形,利用勾股定理的逆定理解答实际问题,李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是,（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？,解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，,得DAB=90，AD边垂直于AB边.,（2）量得AD长是30 cm，AB长是40 c

42、m，BD长是5,（3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？,解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N使AN=12,测量MN是否是15，是，就是垂直；不是，就是不垂直.,（3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验A,例 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？,解：因为ABDC8m，ADBC6m，所以AB2BC282626436100.又因为AC29281，所以AB2BC2AC2，ABC90，所以该农民挖的不合格,

43、例 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他,有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？,解:图形可简化为左下图，设伸入油桶中的长度为x米,即AB=x米，而AC=2米，BC=1.5米，有x2=1.52+22 ,x =2.5,故，最长是2.5+0.5=3(米),答:这根铁棒的最长3米，最短2米.,故，最短是1.5+0.5=2(米),当最短时:x =1.5,最短是多少米？,有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方,如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则

44、刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.,故滑道AC的长度为5m.,解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长也为x m，AE的长度为（x-1）m.,在RtACE中，AEC=90，,由勾股定理得AE2+CE2=AC2，,即（x-1）2+32=x2，,解得x=5.,例,利用勾股定理解答长度问题,如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与A,甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走.上午10：00，甲、乙两人相距多远？,解:如图:已知A 是甲、乙的出发点，10:

45、00甲到达B 点,乙到达C 点.则:,AB =26=12(千米),AC =15=5(千米).,在RtABC 中,所以BC =13(千米),即甲乙两人相距13千米.,BC2=AC2+AB2 =52+122=169=132,甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，,C,B,A,D,例 如图，四边形ABCD中，ABAD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.,CBAD探究新知 例 如图，四边形ABCD中，ABAD,如图，在四边形ABCD中，ACDC，ADC的面积为30 cm2，DC12 cm，AB3cm，BC4cm，求ABC的面积

46、.,解:因为SACD=30 cm2，DC12 cm.所以AC=5 cm.又因为所以ABC是直角三角形, B是直角.所以,如图，在四边形ABCD中，ACDC，ADC的面积为30,（2018黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为_cm（杯壁厚度不计）,解析：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A，连接AB，则AB即为最短距离，AB= 故答案为20,20,20（cm）,（2018黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为,B,B,1.五根

47、小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （）,D,A. B. C. D.,BB课堂检测基础巩固题1.五根小木棒，其长度分别为7，15，,2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25的方向，且到医院的距离为300 m，公园到医院的距离为400 m，若公园到超市的距离为500 m，则公园在医院的 ( )A.北偏东75的方向上 B.北偏东65的方向上C.北偏东55的方向上 D.无法确定,B,2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东2,3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B

48、组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A，B两组相距30km此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.,解：因为出发2小时，A组行了122=24(km)，B组行了92=18(km)，又因为A，B两组相距30km，且有242+182=302，所以A，B两组行进的方向成直角,3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度,4.在城市街路上速度不得超过70千米/时，一辆小汽车某一时刻行驶在路边车速检测仪的北偏东30距离30米处，过了2秒后行驶了50米，此时小汽车与车速检测仪间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向?这辆小汽车

49、超速了吗?,车速检测仪,小汽车,30米,30,北,60,解：小汽车在车速检测仪的南偏东60方向或北偏西60方向.,25米/秒=90千米/时70千米/时所以小汽车超速了.,4.在城市街路上速度不得超过70千米/时，一辆小汽车某一时刻,如图，四边形ABCD中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形ABCD的面积.,分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断ACD是直角三角形.,如图，四边形ABCD中，B90，AB3，BC,解：连接AC.,在RtABC中，在ACD中，AC2+CD2=52+122=169=AD2，所以ACD是直角三角形，且ACD=90.所以S四边形ABCD=SRtABC+SRtACD=6+30=36.,解：连接AC.在RtABC中，能力提升题课堂检测ADBC3,勾股定理及逆定理的应用,应用,最短路径问题,方法,认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题,解决不规则图形面积问题,测量问题,勾股定理及逆定理的应用应用最短路径问题方法认真审题,画出符合,课后作业,作业内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,课后作业作业教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习,