南京财经利息理论(金融数学)ppt课件.ppt
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1、利息理论 Interest Theory 讲授: 南京财经大学 曾卫,使用教材: 21世纪保险精算系列教材金融数学孟生旺中国人民大学出版社,课程概述,利息理论是用数理分析的方法对利息及其相关问题进行定量分析的理论。它是精算学的主要基础之一,也是金融产品定价理论和保险产品定价理论的基础。利息理论是金融学、保险学等专业的一门基础课,它要探讨的主要内容是与利率和利息有关的理论及应用问题。本课程由理论部分和应用部分两部分组成。理论部分介绍了利息理论的主要内容,包括利率、贴现率、利息力、贴现函数和累积函数等利息的度量工具,并讨论了各种年金的计算等;应用部分探讨了利息理论在投资分析和财务管理等领域的具体应
2、用,包括收益率、债务偿还、证券价值、衍生工具、利率风险、利率期限结构等内容。这门课程所涉及的内容以及所提供的方法具有极为广泛的适用性,其应用范围已远远超出了保险精算领域,在投资分析、资产定价、财务管理、理财规划等方面都有很大的应用价值。,课程概述,1997年的诺贝尔经济学奖获得者罗伯特默顿 (ROBERT C.MERTON) 教授指出货币的时间价值、资产定价和风险管理是现代金融理论的三大支柱。 利息理论这门课自始至终都贯穿着货币时间价值的思想,围绕资产定价的主题,讨论金融保险领域中的理论和实际问题。,教材和参考书目,教 材:孟生旺:金融数学(第三版),中国人民大学出版社,2011年8月。参考书
3、目:1、孟生旺,袁卫:利息理论及其应用,中国人民大学出版社,2001年版;2、刘占国:利息理论,南开大学出版社,2000年版;3、李晓林:利息理论,经济科学出版社,1999年版;4、 美S.G.Kellison:利息理论,上海科学技术出版社,1995年版;5、熊福生:利息理论,武汉大学出版社,2004年版;6、张连增:利息理论,南开大学出版社,2005年版;7、张运刚:利息理论与应用,西南财经大学出版社,2006年版; 8、陈伟森(香港)、谢耀权(新加坡)著,庄新田、苑莹译:金融与保险精算数学,机械工业出版社,2009年版。,课程简介,利息理论(又称复利数学),它是以经济理论为基础,应用简单的
4、数学工具给出有关利息和年金的计算方法。美国耶鲁大学著名经济理论家欧文费雪(Irving Fisher)在1930年出版的利息理论(The Theory of Interest,1930)标志着利息理论学科的诞生。费雪(I.Fisher)在其利息理论中对利息的概念刻划得淋漓尽致。“任何物品都是不同程度的耐用品,耐用品能在未来某个时段内提供一连串的服务,而其全部价值的折现之和,构成这物品的现值”,这个观点解释了人们为什么会悉心照顾一桶十年后才开的红酒、为什么要盖一所能用上两百年的房子。随着社会经济的发展,利息理论已经渗透到保险精算、财务分析、证券投资、资产定价、金融风险管理等各个领域。,课程简介,
5、中华人民共和国保险法(2009年修订)第八十五条规定:“保险公司应当聘用经国务院保险监督管理机构认可的精算专业人员,建立精算报告制度。保险公司应当聘用专业人员,建立合规报告制度。”中国保险监督管理委员会1999年组织了中国首次精算师资格考试,当年有43人获得中国精算师资格。中国精算师考试科目共有19门课(其中准精算师有9门课,精算师10门课)。北美精算学会(SocietyofActuaries,SOA)的精算师资格考试课程是为寿险精算人员所设计的。其考试分为两部分,准精算师课程和精算师课程。2000年学会开始实行新的考试制度,一共包括8门课程。利息理论是中国准精算师和北美精算学会准精算师的必考
6、科目,也是许多财经类大学保险精算专业研究生入学考试的必考科目。,中国精算师资格考试,中国精算师资格考试,中国精算师资格考试(金融数学),考试形式: 选择题考试要求:本科目要求考生具有较好的数学知识背景。通过学习本科目, 考生应该熟练掌握利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金融衍生工具定价理论、投资组合理论的主要内容,在了解基本概念、基本理论的基础上,掌握上述几部分内容涉及的方法和技巧。,中国精算师资格考试(金融数学),考试内容(结构):A、利息理论 (分数比例约为30%)1. 利息的基本概念(分数比例约为4%)2. 年金(分数比例约为6%)3. 收益率(分数比例约为6%)4. 债务偿还(分数
7、比例约为4%)5. 债券及其定价理论(分数比例约为10%)B、利率期限结构与随机利率模型(分数比例约为 16%)1. 利率期限结构理论(分数比例约为10%)2. 随机利率模型(分数比例约为6%)C、金融衍生工具定价理论(分数比例约为26%)1. 金融衍生工具介绍(分数比例约为16%)2. 金融衍生工具定价理论(分数比例约为10%)D、投资理论(分数比例约为28%)1. 投资组合理论(分数比例约为12%)2. 资本资产定价(CAPM)与套利定价(APT)理论(分数比例约为16%),世界主要国家的保险精算资格考试,北美精算学会,世界主要国家的保险精算资格考试,英国精算学会,利息理论在保险专业课程体
8、系中的地位,教学目的,在保险学专业开设利息理论这门课,其目的是为学习保险精算的其他几门专业课打下一个扎实的基础,同时也为学习金融学、保险学的其他相关课程提供理论和方法支撑。学习这门课程,要求掌握它的基本理论、基本方法和基本技能。通过对本课程的学习,能够比较完整地掌握利息理论的基本理论框架和基本方法体系,并将它们运用于现代保险、银行、投资分析、财务管理、理财规划等领域的实务工作中去。,第1章 利息的度量,内容提要:利息是借款人使用他人资金所需支付的代价,或贷款人出让资金所获得的报酬。对利息恰当的度量是利息理论应用于金融和保险领域的基础。度量利息与计算利息的方式(单利,复利,连续时间复利)有关;任
9、何时刻资金的累积值依赖于其所经历的时间;不同时刻资金价值是不能直接比较的,须按一定的计算(折现,累积)把不同时刻的资金价值换算到同一时刻进行比较。关键词:累积函数;金额函数;单利;复利;实际利率;实际贴现率;名义利率;名义贴现率;利息力;贴现力;累积因子;贴现因子。,第1章 利息的度量,本章要解决以下问题:复利和单利有何区别?复利产生的利息是否总大于单利产生的利息?如果复利在一年内有多次利息结转,甚至按时间连续结转利息时,复利的利息会有何变化?贴现率和利率有何关系?实际利率与名义利率有何关系?实际贴现率和名义贴现率有何关系?,第1章 利息的度量,教学要求:本章的重点是围绕利息的度量和利息问题的
10、求解这两大问题展开讨论。要求掌握有关利息的各种度量工具以及与此相联系的累积函数和贴现函数,能够熟练地运算与利息有关的一些问题,特别要求重点掌握与复利有关的计算问题。要求对利息的各种度量工具之间的相互关系比较熟悉。 教学内容: 1.1 累积函数与实际利率 1.2 单利 1.3 复利 1.4 累积函数的证明 1.5 贴现函数 1.6 贴现率 1.7 名义利率 1.8 名义贴现率 1.9 利息力 1.10 贴现力 1.11 利率概念辨析,1.1 累积函数与实际利率,关于利息的几个基本概念本金(principal):初始投资的资本金额。累积值(accumulated value):过一段时期后收到的总
11、金额。利息(interest)累积值与本金之间的差额。1.1.1 累积函数(Accumulation function)累积函数a(t)及其性质累积函数:0时刻的1单位货币到t时刻时的累积值,记为a(t)。累积函数a(t)也称为t期累积因子,因为它是单位本金在t期末的累积值。 1 a(t) 性质: 0 1 2 t (1)a (0) = 1; (2)a (t) 通常是时间t的递增函数,即利息0 ; (3)如果按时间连续结转利息,a(t)是时间t的连续函数;如果间断结转利息,a(t)为间断函数(若在每期末结转利息,则是以结转利息时刻为间断点的阶梯函数)。 (注):一般假设利息是连续产生的。,1.1
12、 累积函数与实际利率,1.1.1 累积函数金额函数(Amount function)当原始投资不是1个单位的本金,而是 k 个单位时,则把 k个单位本金的原始投资在时刻 t 的累积值记为A (t) ,称为金额函数(也称为总额函数、总量函数)。金额函数:0时刻的k单位货币到t时刻时的累积值,记为A(t)。 k A(t)性质: 0 1 2 t (1)A(0)=k ; (2)A(t)=ka(t), k 0, t 0; (3)如果按时间连续结转利息,A(t)为关于时间t的连续函数。金额函数和累积函数可以互相表示:A(t)= A(0)a(t) (1-2),1.1 累积函数与实际利率,1.1.1 累积函数
13、利息(interest)的数学定义金额函数 A(t) 在时间段 t1 , t2 内所获得的利息金额为 I (t1,t2) = A(t2) A(t1)从投资之日算起,在t个时期所获得的利息金额记为 I(t)=A(t)-A(0)A(0)a(t)-1 ,n 1 (1-3) 其中A(s)-A(s-1)表示金额函数在时间段(s-1,s)上产生的利息。(注):利息金额 I(t) 在整个时期内产生,但在最后时刻实现(支付、获取)。,1.1 累积函数与实际利率,1.1.2 实际利率(effective rate of interest)利息率的基本含义 利息率:是一定时期内产生的利息与投入或贷出的本金之比率,
14、简称为利率。利息率的具体形式年利率,用本金的表示;月利率,用本金的表示;日利率,用本金的0表示。实际利率的概念 某一度量期的实际利率是指该度量期末得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比。实际利率常用字母i表示。实际利率与名义利率的根本区别 用实际利率表示的利息只在给定的时期期末支付一次;而名义利率计算的利息在一期内可能进行多次支付。,1.1 累积函数与实际利率,1.1.2 实际利率实际利率实质是单位本金在给定的某一时期上产生的利息金额。累积函数a(t)必然通过两点:(0,1)和(1,1+i) 。实际利率的表示形式单期(单阶段)实际利率计算公式:多期(多阶段)实际利率计算公式:第n个度
15、量期(时间段(n-1,n))实际利率相关的关系式: A(n)=A(0)(1+i1)(1+i2)(1+in) a(n)=(1+i1)(1+i2)(1+in)(注):若无特别说明,实际利率是指年利率,因此实际利率通常用表示。,1.2 单利(simple interest),1.2.1 单利的定义单利的概念:只有本金产生利息,投资期内任何时期已经产生的利息在后期不再计算利息。单利条件下的累积函数 : a(t)=1+it (t=0,1,2,) (1-7) 1.2.2 单利与实际利率的关系单利率为常数i时,实际利率it是时间t的单调减函数。 1.2.3 常数单利率下的若干结论在常数单利率i下, 累积函数
16、 a(t)=1+it (是时间t的线性函数) 金额函数 A(t)=A(0)a(t)=A(0)(1+it)=A(0)A(0)it 利息总额 I(t)=A(t)-A(0)=A(0)it (是时间t的单调增函数) 每期利息额 A(0)i (常数)(注):在实际应用中, i通常是年利率,时间t应以年为单位。,1.2 单利(simple interest),单利的实际应用: 累积函数中时间t 的确定 (1)严格单利规则: “实际/实际”规则,即投资天数按两个日期之间的实际天数计算,每年按实际天数计算。 (2)精确单利规则: “实际/365”规则,即投资天数按两个日期之间的实际天数计算,每年按365天计算
17、。 (3)银行家规则 ( bankers rule ) :“实际/360”规则,投资天数按两个日期之间的实际天数计算,而每年按360天计算。 (4)常规单利规则: “30/360”规则,在计算投资天数时,每月按30天计算,每年按360天计算。在此规则下,两个给定日期之间的天数可按下述公式计算: 360(Y 2 Y 1) + 30(M 2 M 1) + (D 2 D 1) 其中支取日为Y2年M2月D2日,存入日为Y1年M1月D1日。,1.3 复利(compound interest),1.3.1 复利的定义复利的概念复利条件下的累积函数 : a(t)=(1+i)t (t=0,1,2) 1.3.1
18、 常数复利率下的若干结论在常数复利率i下, 累积函数 a(t)=(1+i)t 金额函数 A(t)=A(0)a(t)=A(0)(1+i)t 利息总额 I(t)=A(t)-A(0)=A(0)(1+i)t-11.3.2 复利与实际利率的关系 复利率为常数i时,实际利率it等于复利率。 it=i,1.3 复利(compound interest),例:如果本金为2000元,年利率为5%,分别计算在单利和复利的计息方式下: (1)9个月后的累积值;(2)2年零3个月后的累积值。解:单利计息方式下, (1)2000(1+0.050.75)=2075(元) (2)2000(1+0.052.25)=2225(
19、元) 复利计息方式下, (1)2000(1+0.05)0.75=2074.54(元) (2)2000(1+0.05)2.25=2232.06(元)(注):无论是单利或复利,在使用其累积函数和金额函数进行计算时,时间t的单位要与利率i对应的时间单位一致。 如果时期不足1年,则单利的累积值比较大;如果时期超过1年,则复利的累积值比较大。,1.3 复利(compound interest),1.3.3 复利与单利的区别基本意义的比较:单利下,只有本金产生利息;复利下,本金和已生利息均能生息。实际利率与时间的关系:在常数利率i下,单利条件下的实际利率it是时间t的单调减函数;复利条件下的实际利率it等
20、于常数复利率,与时间无关。累积函数之间的关系:当t=0 or t=1时,1+it =(1+i)t ;当 0t1 时, 1+it(1+i)t ;当 t1 时, 1+it(1+i)t。1+it是t的线性函数,(1+i)t是t的凸函数。利息增长的特征:在同样长时期内,单利利息增长的绝对金额为常数;复利利息增长的相对比率为常数。,思考与讨论(1-1),1.累积函数和金额函数各有什么作用?相互之间有什么联系? 2.某一段时期的实际利率是指这段时期末得到的利息金额与期末累积值之比吗?3.累积函数a(t)的曲线必然通过哪两点?4. 复利和单利有何区别?复利产生的利息是否总大于单利产生的利息?5.单利条件下的
21、实际利率it相对于时间t表现出什么特征?复利条件下的实际利率it相对于时间t表现出什么特征?,1.4 累积函数的证明,1.4.1 单利的累积函数单利的性质:单利利息具有可加性 , i(t+s)=it+is (t0,s0)单利条件下累积函数的性质: a(ts)=a(t)+a(s)-1单利条件下累积函数的变化率为常数,单利条件下的累积函数:a(t)=1+it (t0)1.4.2 复利的累积函数复利条件下累积函数的性质:复利累积函数具有可乘积性, a(ts)=a(t)a(s) (t0,s0)复利条件下累积函数的单位变化率为常数,复利条件下的累积函数:a(t)=(1+i)t (t0),1.5 贴现函数
22、(discount function),现值(present value):未来的一笔资金在现在的价值。贴现过程和贴现函数的概念为了在t期末得到某个累积值,而在开始时投资的本金额称为该累积值的现值(折现值)。显然, t期末的累积值A(t)的现值为A(0) 。由期末累积值求其现值的过程称为贴现(折现)过程。累积和贴现(折现)是互逆的过程,a(t)表示1单位的本金在t期末的累积值,而a-1(t)表示为了在t期末得到累积值1,而在开始时投资的本金额。累积函数a(t)的倒数a-1(t)称为贴现函数(折现函数)或 t期贴现因子。特别地,把一期贴现因子a-1(1)简称为折现因子(贴现因子),记为v。,1.
23、5 贴现函数(discount function),贴现函数的常见形式常数单利率下的贴现函数: (1-12)常数复利率下的贴现函数: (1-13) 其中:t0; 是贴现因子。( )除非特别申明,今后一概用复利计算现值。贴现函数与累积函数的关系 期初1元在 t 时期末的累积值为(1+ i)t ,而 t 时期末支付1元的现值为vt =(1+i)-t。几个术语:贴现因子(discount factor):v=(1+i)-1t年贴现因子(t-year discount factor):vt累积因子(accumulation factor):(1+ i)t年累积因子(t-year accumulatio
24、n factor): (1+ i)t,1.5 贴现函数(discount function),单利和复利下累积函数之间的关系:当t=0 or t=1时, (1+it)-1=(1+i)-t ;当 0t1 时, (1+it)-1(1+i)-t ;当 t1 时, (1+it)-1(1+i)-t 。计算贴现值时的要点 无论是单利或复利,在使用其贴现函数计算现值时,时间t的单位要与利率i对应的时间单位一致。,1.6 贴现率,1.6.1 实际贴现率(effective rate of discount)实际贴现率的定义 一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可收回金额(期末累计值)之
25、比,记为d。 实际贴现率的表达式 (1-14)(注):实际利率大于实际贴现率 (di )。贴现率是利率的增函数。利率与贴现率的比较利息是在期末收取的,而贴现值(贴现利息)是在期初收取(扣除)的;利率是利息与期初本金的比率,贴现率是贴现值与期末累积值的比率;利率说明了资本在期末获得利息的强度,贴现率说明了资本在期初获得利息的强度。用实际贴现率表示实际利率 (1-15),1.6 贴现率,例:若现有面额为100元的零息债券在到期前一年的时刻价格为95元,同时,一年期储蓄的利率为5.25,如何进行投资选择? 存款还是购买债券?解: 95 100从贴现的角度看, 0 1零息债券的贴现率: d(100-9
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