同济版大一高数第十章习题课ppt课件.ppt
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1、1,高等数学,第十八讲,2,习题课,一、 重积分计算的基本方法,二、重积分计算的基本技巧,三、重积分的应用,第十章,重积分的 计算 及应用,3,一、重积分计算的基本方法,1. 选择合适的坐标系,使积分域多为坐标面(线)围成;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2. 选择易计算的积分序,积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .,图示法,列不等式法,(从内到外: 面、线、点),3. 掌握确定积分限的方法, 累次积分法,4,二、重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1. 交换积分顺序的方法,2. 利用对称性或质心公式简化计算,3. 消去被积函数绝对值符号,练习题,4. 利用重积分换元公式,
2、P181 1 (总习题十) ; P182 4, 7(2), 9,解答提示: (接下页),5,1、二重积分的定义,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I , 使,可积 ,在D上的二重积分.,是定义在有界区域 D上的有界函数 ,、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时,,当被积函数小于零时,,二重积分是柱体的体积,二重积分是柱体的体积的负值,6,性质,为常数时,,性质,、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,为D的面积,若,性质,若在D上,,7,性质,性质,(二重积分中值定理),8,特别:,轮换对称:,若D关于直线,对称,则.,例如计算:,9,、二重积分的
3、计算,X型,X-型区域的特点: 穿过区域且平行于y 轴,()直角坐标系下,Y型区域的特点:穿过区域且平行于x 轴的直线,Y型,的直线与区域边界相交不多于两个交点.,与区域边界相交不多于两个交点.,10,()极坐标系下,11,两个方面。,1若 关于 轴对称,,时,,当 时,,运用对称性时,,当,则有,必须兼顾被积函数与积分区域,两个方面的对称性要相匹配,才能利用,对,12,6、重积分的应用,(1) 体积,设S曲面的方程为:,曲面S的面积为,(2) 曲面面积,13,(3) 质心,若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积),得D 的形心坐标:,则它的质心坐标为,其面密度,1
4、4,如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,(4) 转动惯量,15,(4) 转动惯量,16,例1,计算积分,其中D 由,所围成 .,提示:如图所示,连续,所以,17,解,例2.,18,解,例3.,19,例4.,计算,其中,解: 对于含有绝对值的函数 , 通常分区域积分,原式 =,利用极坐标,20,例5. 计算二重积分,其中:,(1) D为圆域,(2) D由直线,解: (1) 利用对称性.,围成 .,21,(2) 积分域如图:,将D 分为,添加辅助线,利用对称性 , 得,例5. 计算二重积分,其中:,(2) D由直线,围成 .,22,(2) 提示:,两部分,说明: 若不用对
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