专题基本不等式及其应用ppt课件.ppt

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1、基本不等式及其应用,2.若对任意x0， a恒成立，则a的取值范围是 .,解析：因为x0，所以 x+ 2 (当且仅当x=1时取等号)，所以有 ，即 的最大值为 ，故a .,例1：(1)已知x ，求函数y= 4x-2+ 的最大值(2)已知x0，y0，且 + =1，求x+y的最小值(3)求y= 的最小值,分析：创造应用基本不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的前提在于使等号成立的条件；求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中要密切注意字母隐含的取值范围；函数y=bx+ (a0，b0，为常数)的单调性与极值(或值域)要了解，并能

2、在解题时灵活运用，特别是当问题不能满足均值不等式的条件之一“取等”时,解析：(1)因为x ，所以5-4x0，所以 当且仅当5-4x= ，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1.,(2)因为x0，y0， + =1，所以x+y=(x+y)( + )= + +106+10=16.当且仅当 = 时，上式等号成立，又 + =1，所以x=4，y=12时，(x+y)min=16.,(3) = 此时，不能使用基本不等式，等号取不到利用“对勾”函数的单调性解决，即当x=0时，得其最小值为 .,【点评】(1)用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积，然后这两项的积或和或平方和为定值

3、，然后用基本不等式求出最值；(2)在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值；(3)不管哪种题，哪种方法，求最值时要验证等号是否成立,变式1.(1)若-4x1，则 的最大值为_；(2)若a，b，c0，且a2+ab+ac+bc=4， 则2a+b+c的最小值为_(3)已知0 x ，则f(x)=sinx+ 的最小值为_,解析：(1) = = (x-1)+ = - -(x-1)+ 因为-4x1，所以-(x-1)0， 0.从而-(x-1)+ 2，,所以- -(x-1)+ -1，当且仅当-(x-1)= ，即x=2(舍)或

4、x=0时取等号即( )max=-1.,(2)由a2+ab+ac+bc=4，分解因式得(a+b)(a+c)=4，所以2a+b+c=(a+b)+(a+c)2 =2 =4.(3)因为0 x ，则0sinx1，则f(x)= sinx + 在定义域上为减函数，所以f(x)min=f( )=3.,例2：若x、y、z(0,1)，求证： + + 3.,分析：注意到三个分数的分母之和为定值3，故证明时可在不等式两边同时加3使用基本不等式，也可以通过换元法给出问题的另证,证明：证法1： + + 2+2+2-3=3，得证,证法2：令a=1-x+y0，b=1-y+z0，c=1-z+x0，则证明原不等式等价于证明 +

5、+ 3，其中a、b、c0，且a+b+c=3.因为(a+b+c)( + + )=3+( + )+( + )+( + )3+2+2+2=9，即3( + + )9，所以 + + 3.,变式2.设a、b为正实数，且a+b=1.(1)求证：ab+ 4 ；(2)探索、猜想：将结果填在括 号内：a2b2+ ()；a3b3+ ()；(3)由(1)、(2)你能归纳出更一般的结论吗？并证明你给出的结论,解析：(1)因为a0，b0，所以1=a+b2 ，当且仅当a=b= 时等号成立，即0ab .设ab=t，则t(0， ,令f (t)=t+ ，则问题等价于当t(0， 时，求f (t)的最小值因为f (t)=1- 0在(

6、0， 上恒成立，所以f (t)=t+ 在(0， 上是减函数所以f (t)min=f ( )= +4=4 ，所以f (t)4 ，即ab+ 4,(2)a2b2+ ，a3b3+ .(3)由(1)、(2)可归纳出一般的结论为：anbn+ 4n+ (nN*)证明：因为a0，b0，所以1=a+b2 (当且仅当a=b= 时等号成立)，所以0ab ，所以0anbn (nN*),设anbn=t，则t(0， 令f(t)=t+ .问题等价于当t(0， 时，求f(t)的最小值因为f (t)=1- 0在(0， 上恒成立，所以f(t)=t+ 在(0， 上是减函数，所以f(t)min=f( )=4n+ ，所以f(t)4n+

7、 ，即anbn+ 4n+ (nN*),【点评】(1)利用基本不等式证明不等式时，首先要将条件和结论化简和变形，整理成可以用基本不等式的形式(2)用基本不等式证明不等式时，仍然要注意是否有基本不等式成立的条件，但不一定要得到定值，也不一定要取到等号，因为证明不等式只需要利用条件能推出结论，而不一定要等价变形,例3：某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管)(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天

8、内总的保管费用y1关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最少(小)值；,(3)若一次购买原材料不少于6吨时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)问按此优惠条件，该厂多少天购买一次原材料才能使每天支付的总费用y最少，并求出这个最少(小)值,分析：不等式应用问题体现了一定的综合性这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件利用不等式解应用题的基本步骤：1审题，2建立不等式模型，3

9、解数学问题，4作答,解析：(1)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管费，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x-1天所以每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1=4000.03 1+2+3+(x-1)=6x2-6x(元),(2)由(1)可知，购买一次原材料的总的费用为6x2-6x+600+1.5400 x元，所以购买一次原材料平均每天支付的总费用y= (6x2-6x+600)+1.5400= +6x+594.所以y2 +59

10、4=714.当且仅当 =6x，即x=10时，取等号所以该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少，为714元,(3)按此优惠条件，则至少15天购买一次原材料，又由上问可知，按此优惠条件购买一次原材料的总的费用为6x2-6x+600+0.851.5400 x元，其中x15.,所以购买一次原材料平均每天支付的总费用y= (6x2-6x+600)+0.851.5400= +6x+504(x15)所以 = - +6.当x15时， 0，即函数y= +6x+504在15，+)上是增函数所以当x=15时，y取最小值，最小值为 +615+504=634(元),变式3.甲、乙两地相距s千米，汽车从

11、甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?,解析：(1)建模：依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ，全程运输成本为y=(a+bv2)=sb(v+ )，v(0，c,(2)依题意，有s，b，a，v都是正数因此y=sb(v+ )2s ；若 c，则当且仅当v= v= 时，y取到最小值若 c，则y在(0，c上单调递减，所以当

12、v=c时，y取到最小值综上所述，为了使全程运输成本最小，当 c时，行驶速度应该为v= ；当 c时，行驶速度应该为v=c.,1基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“一正”是指各项均为正数；“二定”就是若积为定值则和有最小值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号成立的条件，这也是最容易出错的地方若等号不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值,2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互变用,3在不等式的证明过程中，常根据不等号的方向，结合基本不等式进行适度的放缩，以期得到需要证明的不等式,本题的关键在于对式子进行巧妙地组合、分拆，为基本不等式的使用积极创造出“定”的条件，多次使用基本不等式时要注意多个等号成立的条件是否一致.,