孤立子及其应用ppt课件.ppt

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1、孤立子及其应用Solitons and their Applications,广州大学数学与信息科学学院尚 亚 东,一、 孤立波的发现历史,1834年8月，英国科学家、造船工程师John Scott Russell 在运河河道上看到了由两匹骏马拉着的一只迅速前进的船突然停止时，被船所推动的一大团水却不停止，它积聚在船头周围激烈地扰动，然后形成一个滚圆、光滑而又轮廓分明的大水包，高度约为0.30.5米，长约10米，以每小时约13公里的速度沿着河面向前滚动。,罗素骑马沿运河跟踪这个水包时发现，它的大小、形状和速度变化很慢，直到34公里后，才在河道上渐渐地消失。罗素马上意识到，他所发现的这个水包决不

2、是普通的水波。,普通水波由水面的振动形成，振动沿水平面上下进行，水波的一半高于水面，另一半低于水面，并且由于能量的衰减会很快消失。他所看到的这个水包却完全在水面上，能量的衰减也非常缓慢(若水无阻力，则不会衰减并消失)。并且由于它具有圆润、光滑的波形，所以它也不是激波。,罗素将他发现的这种奇特的波包称为孤立波，并在其后半生专门从事孤立波的研究。他用大水槽模拟运河，并模拟当时情形给水以适当的推动，再现了他所发现的孤立波。罗素认为孤立波应是流体力学的一个解，并试图找到这种解，但没有成功。,十年后，1844年9月Russell在向英国科学促进会第14次会议提交的论文论波动（Report on Wave

3、s)中报告了自己的观点。Russell的结论包括以下几点：1. 他在长、浅水这种固定形式下观察了孤立波。由此他推出孤立波的存在，这是他得出的意义最为重大的结果。在一致长度为h的河道中，孤立波的传播速度v由,给出，其中是波的振幅，g为重力加速度。但Russell却没能说服他的同事们，在他的有生之年（1882年死去），无法从理论上对他观察到的孤立波现象给出圆满解释。罗素所发现的孤立波现象也未能引起人们的注意。在罗素逝世100周年即1982年,人们在罗素发现孤立波的运河河边树起了一座罗素像纪念碑，以纪念148年前他的这一不寻常的发现。,Russell当时发现孤立波的河流，是流经在苏格兰、爱丁堡Her

4、iot-Watt大学校园附近的UnionCanal。为纪念Russell这一重要的科学发现，他当年发现孤立波的地方，已被列为历史名胜受到保护。英国Heriot-Watt大学在1982年曾举办了纪念Russell逝世100周年学术讨论会，来自世界各地拾几个学科的科学家聚集一堂，热烈地交谈和讨论有关孤立波和孤立子的学术问题。,当时的波动研究专家Airy爵士, Stokes爵士对他的观点提出了怀疑，Boussinesq和Rayleigh进行了进一步地研究试图去理解这种现象。后二人各自分别假设孤立波的速度远大于水深。为了近似地描述孤立波，Boussinesq提出了一个一维非线性演化方程，即后来人们命名

5、的Boussinesq方程。,它的解是双曲正割的平方.此外, 他还引入守恒密度，非线性与色散之间的平衡等。,从Russell观察到浅水孤立波到形成关于这种现象的理论之间过了60年。1895年瑞典阿姆斯特丹大学数学教授D J Korteweg指导他的学生De Vries在后者的博士论文中提出了流体中单向波传播的数学模型，即后来著名的KdV方程，其运动方程是,作适当的自变量和未知函数的线性变换，可得标准的KdV方程,这里为相对于静止水平面的波峰高度，l是静水深度，g是重力加速度，均为与水的密度、表面张力有关的物理常数。他们对孤立波现象做了较为完整的分析，并从方程求出了行波解，它属于周期性椭圆函数，

6、所以称为椭圆余弦波，在波长趋于无限情形，它描述Russell所发现的孤波的运动，而且波形是sech平方函数。,KdV方程的孤立波解,可以看出孤立波具任意常数波速，传播过程中波形不变，振幅为 ，振幅与波速成正比，波速越快，波峰愈高，波形愈窄，或者说，大波总是比小波的速度快。,这一结果回答了Airy和Stokes的反对意见，得到的孤立波解的形式也与Boussinesq 方程的双曲正割平方解一致。从而在理论上证明了孤立波的存在性。然而，这种波是否稳定，两个波碰撞后是否产生变形？这些问题长期得不到解答，以至于有些人怀疑，既然方程是非线性偏微分方程，解的迭加原理不再成立，碰撞后解的形状很可能破坏，这种波

7、是不稳定的，研究它没什么物理意义。,在这种观点的束缚下，KdV方程和孤立波长期受到埋没，似乎无人理睬。另外一个问题是，象Russell描述的这种孤立波是否在流体力学以外的其他物理领域也存在呢？,从19世纪末到20世纪中，关于孤立波的研究工作处在寂静时期，没有明显的进展。尽管在非线性电磁学、固体物理、流体动力学、神经动力学等学科中，相继提出了一些与孤立波有关的问题，但当时有关孤立波的已有的知识，在新问题面前显得很不够用，且这些问题与应用数学之间相互促进的关系，也没有得到足够的重视。人们似乎已忘记了Russell发现孤立波的重要意义。,“ 有时真理可能黯淡无光，但是任何时候也不会熄灭。” 孤立波的

8、长期埋没沉寂，并不意味着它已折戟沉沙。,二、孤立子的发现,本世纪五十年代，一个计算机数值实验开始改变孤立波的命运。美国的三位物理学家Enrico Fermi 、John Pasta和Stan Ulam于1952年开始，利用当时美国用来设计氢弹的Maniac 号计算机，对由64个谐振子组成的、振子间存在微弱非线性相互作用的系统进行了数值计算实验，企图证实统计物理学中的“能量均分定理”。,初始时刻这些谐振子的所有能量都集中在某一振子上，其它63个振子的初始能量为零。按照能量均分定理，只要非线性效应存在，就会有能量均分、各态历经等现象出现，即任何微弱的非线性相互作用都可导致由非平衡态向平衡态的过渡。

9、但是，1955年的计算结果却使他们大吃一惊，因为经过几万次计算的长时间演化后，能量并没有均分到其它振子上去，而是出现了奇怪的“复归”现象：,绝大部分能量又集中到原先那个初始能量不为零的谐振子上。经典的能量均分定理竟然没有得到证实。这就是著名的FPU问题，它与催生爱因斯坦相对论的迈克尔逊莫雷（Michelson-Morley）实验一样，被认为是对传统科学的有力挑战。,令人遗憾的是，Fermi等人当时只在频率空间考察这个实验，未能发现孤立波解，没有得到正确的解释，就这样与孤立子理论失之交臂。后来人们把晶体看成是具有质量的弹簧联接的链条，并近似模拟这种情况，Toda研究了这种模式的非线性振动，果然得

10、到了孤立波解，使FPU问题得到了正确解答。,FPU问题的出现和解决，依赖于刚诞生不久的电子计算机技术，它第一次通过数值计算的手段向人们证实了孤立波的存在，从而进一步激起了人们对孤立波研究的兴趣。1962年，Perring和Skyrme将Sine-Gordan方程用于基本粒子的研究，他们的计算结果表明，这样的孤立波并不散开，即使两个孤立波碰撞后也仍保持原有的形状和速度。,1965年，美国普林斯顿（Princeton）大学的两位数学家M. D. Kruskal和N. Zabusky基于FPU问题，将实验中能量分布几乎回归的性质与孤立波奇特的相互作用性质联系起来， 用数值模拟方法详细地研究了等离子体

11、中的孤立波碰撞的非线性相互作用过程，得到了比较完整和丰富的结果，进一步证实了孤立波在碰撞后其波形和速度保持不变的性质，这一结果彻底解除了人们此前对孤立波稳定性的怀疑。,对于两个KdV孤立波的碰撞，可以看到三个特点：1.孤立波在碰撞前后保持高度不变，像是“透明地”穿过对方；2. 碰撞时两个孤立波重叠在一起，其高度低于碰撞前孤立波高度较高的一个（这表明在非线性过程中，不存在线性叠加原理）；3. 碰撞后孤立波的轨道与碰撞前有些偏离（即发生了相移）。,他们在数值实验中，既研究了两个孤立波的碰撞，也研究了四个孤立波的碰撞，并首次引入“孤立子”（Soliton）这一术语，用来描述这种具有粒子性质的孤立波。

12、 Kruskal和Zabusky根据孤立波具有类似于粒子碰撞后不变的性质，正式命名为 “孤立子（soliton）”。这是孤立波走出科学冷宫的重要里程碑。,之后，在固体物理、非线性电磁学和神经动力学等学科里也发现了与孤立波有关的问题，促使人们考虑在流体以外的领域，孤立波是否存在？若存在的话，其表示孤立波演化的微分方程应如何求解？这些问题引起了人们的关注。,目前在不同的著作中，孤立波和孤立子两者含意的区别，并不完全一致。多数作者称波形分布在有限的空间范围内，且具有弹性碰撞性质，即碰撞后保持原有的速度和波形的孤立波为孤立子。而对呈非弹性碰撞的一类，仍称为孤立波。还有的作者称KdV方程和其他类似的方程

13、的单孤立波解为孤立波，多孤立波解为孤立子。,孤立子概念的提出，开启了孤立子理论研究的新时代，各个领域的科学家们陆续对孤立子投入了巨大的热情和兴趣，迄今为止，已逐步形成了较为完整、系统的孤立子理论。,今天，对于孤立子的定义，数学家们理解为非线性发展方程局部化的行波解，经过相互碰撞后，不改变波形和速度，但相位有可能改变。物理学家理解为非线性发展方程能量有限的解，即能量集中在空间的有限区域，并不随时间的增加而扩散到无限区域中。,当然，也有作者认为，孤立波与孤立子两词沿用至今，已无严格的区别。现在物理学界，亦有人将孤立子简称为“孤子”。 从事孤立子理论研究的数学家们，多数采用以是否弹性碰撞来区分的意见

14、。但物理学家，对孤立子的定义要宽松些，认为只要波的能量有限，且分布在有限的空间或时间范围内，即使在传播过程中波形发生变化（例如光纤中的高阶光孤立子），也都称为孤立子。,现在,一般称非线性发展方程的局域化行波解为孤立波.这里的局部化是指行波解由 时的一个渐近态到 的另一个渐近态之间的过渡,本质上是在 变化的某个局部范围内完成的. 孤立波的类型有三种:钟状孤立波(bell-shape solitary wave)环状孤立波(loop solitary wave)扭状孤立波(kink-shape solitary wave),如果一个发展方程的孤立波,在与其它孤立波相互作用后,仍保持其波形和波速不变

15、,仅有相位发生变化,则称这种孤立波为孤立子.孤立子的形状有多种多样: 除钟状孤立子,环状孤立子,扭状孤立子,还有包络孤立子,反孤立子,哨孤立子,呼吸孤立子等等.,孤立子理论的初期研究主要集中在数学问题上。1967年，Gardner等发现了求解KdV方程的逆散射方法（IST）。随后，人们发现了至少数十种除KdV方程外具有孤立子解的非线性方程，而且发展了丰富多彩、行之有效的数学物理方法。随着研究的深入，科学家们开始不满足从纯数学的形式来研究孤立子，企图在流体力学以外的领域寻找其它类型的孤立子。,结果令人大为振奋，人们在不同的自然科学领域都发现了孤立子的存在。例如，科学家们发现，在生物大分子的蛋白质

16、和DNA中存在各种类型的孤立子，这些孤立子担负着生命活动中不可缺少的重任：传递生物能量和生物信息，完成复制、遗传与转录功能等。到目前为止，可以说孤立子现象无所不在：,：宇宙涡旋星系的密度波、海上冲击波、等离子体、分子系统、生物系统、光纤中光的传输、激光的传播、超导Josephson结、磁学、结构相变、液晶.，都能找到孤立子神奇的身影。孤立子这朵数学物理之花在大至宇宙的宇观世界、小至基本粒子的微观世界里显示出它奇妙的魅力，令越来越多的科学家倾心不已。,三、孤立子的应用,一位科学家说过: “科学发展的全部历史证明，掌握自然现象任何新的领域永远会导致实际应用。这种实际应用往往是完全出乎意料的。” 对

17、孤立子的发现也是这样，尽管孤立子看起来似乎只是数学上非线性方程的解或实验室里发现的现象，但人们很快找到了它在实际中的应用。最典型的例子就是光孤立子在现代通信技术中的应用,科学家们提出并预言了光孤立子的存在。1980年在实验中得到了证实。由于光孤立子具有在传播中不损失波形、不改变速度、保真度高、保密性好等优点，是以光电为媒介的通信手段的最佳信息载体，受到科学家们的青睐，人们很自然地希望将它运用于现代光纤通信，从而产生了现代光纤孤立子通信技术。,这一高新技术正在不断发展，并开始进入部分实用的阶段。1993年美国与日本成功地进行了9000公里的光纤孤立子通信实验，1994年日本又成功地进行了9100

18、公里、传输速率达100亿bps的光纤孤立子通信实验，使得光孤立子通信已接近实用阶段。,到90年代中期，光孤立子已能被无变形地传输到14,000公里和1,000,000公里（后者需经过再生）。科学家们热切地期盼在未来的通信技术中，光孤立子能够施展其巨大的威力，使得地球上每一个人都能享受光纤孤立子通信带来的快捷、方便。,四、孤立子的数学理论,1883年，瑞典数学家Bcklund在研究负常曲率曲面时，得到方程的一个有趣性质，即从一个方程的已知解，经过一个变换，可以求得另一个新解，这种变换后来称为Bcklund变换，成为后来发展孤立子理论的重要基础。,1967年， Gardner, Greene, K

19、ruskal, 和Miura 提出了可以利用Schrdinger方程的逆散射理论求解KdV方程初值问题。随后，用逆散射方法解决了一大类非线性偏微分方程的求解问题。逆散射方法是应用数学的一次重大突破， 被称为非线性Fourier变换法。1968年P.D. Lax把GGKM方法的思想推广，提出了逆散射方法的一般框架，并提出Lax对表示。,1972年Zakharov，Shabat获得非线性Schrdinger方程的Lax对，并首次求出该方程的孤立子解。同年，Wadati用类似方法求出MKdV方程的精确解。1973年， Ablowitz, Kaup, Newell, Segur 通过逆散射方法求出si

20、ne-Gordan等一批方程的精确解。,1968年， Miura发现了 KdV方程与MKdV方程之间的一个变换Miura变换，证明了KdV 方程有无穷多个守恒律。1972年， Hirota提出了双线性算子变换方法，用于构造很多方程的多孤子解和Bcklund变换 。,1975年， Wahlpuist和Estabrook利用Lie代数提出了延拓结构方法，获得了Lax 对。1983年，Weiss, Tabor, Carnval提出了偏微分方程可积的 Painlev 分析判定，并用来获得可积方程的Bcklund变换 。我国数学家谷超豪、屠规彰、李翊伸、胡星标、曾云波、王明亮、陈登远等在Darbou变换

21、、 Bcklund变换、无穷守恒律 、双线性等有很好工作。,求解非线性微分方程远比求解线性微分方程要困难得多，线性方程的一些基本性质比如迭加原理在非线性微分方程中不再成立，很难用一个统一方法来处理非线性微分方程。在大多数情况下，非线性微分方程的求解只能依赖于数值方法。,多年来，数值解法在非线性微分方程的求解上取得了另人瞩目的进展，但这种方法存在着明显的局限性：首先，它只能针对给定的个别初值计算数值解，而且只能计算有限次。这样，数值解无法包含原方程解能够表示无穷情况的全局特征。,在很多情况下，人们不但需要知道一个别解的具体性质，更希望了解方程解的一般定性性质，它对问题的描述往往更深刻；其次，数值

22、解本身还存在非线性计算不稳定和解的可靠性问题。因此，非线性微分方程求解析解的工作，显示出重要理论和应用价值。精确解还可以用来检验数值方法的优良好坏，用于预测系统的变化趋势。,近年来，出现了许多求解非线性偏微分方程的精确解的直接方法，如：tanh方法，推广的tanh方法，齐次平衡方法，sine-cosine方法，广义双曲函数方法，椭圆函数展开方法， F-展开法等。这些方法的特点是可以将偏微分方程求解化成程序化的代数计算，利用计算机符号代数进行计算机机械化计算。,孤立子理论与数学的许多分支都有关系，经典分析和泛函分析，李群李代数，近代微分几何，拓扑学，动力系统以及计算数学都对孤立子的研究发挥重要作

23、用。,Bcklund的Bcklund变换工作最早展现了孤立子理论与几何的联系。 陈省身等在上世纪70年代末80年代初给出了KdV方程的微分几何推导。谷超豪先生在孤立子的几何理论方面也有许多很好工作。近来，香港中文大学曹启升、西北大学屈长征教授也在Klein仿射几何中推导出许多孤子方程。,在数学领域内，孤立子理论提供了一个新的求解非线性偏微分方程的途径，发现有这么一类方程，它们的某一特解都具有孤立子的特性。,称这类方程为孤子方程，它们的孤立波解称为孤子解。李政道指出：“在一个场论系统中，若有一个经典解，它在任何时间都束缚于空间的一个有限区域内，那么，这样的解叫做经典孤子解。”。为了深入理解孤子，

24、以下三点是基本的：,1.孤立子（孤波）是波动问题中一种能量有限局域解；2. 能量比较集中于一个较小的区域（或能在空间给定区域稳定存在）3. 两个孤立波相互作用时出现弹性 散射现象。,究竟什么样的方程有孤子解，给定一个非线性方程如何寻找散射反演方法中所需的线性方程？冯康教授提出下列五个共同特征：1.有孤立子解；2. 可用逆散射方法求解；3. 具有无穷多守恒律；4. 具有Backlund 变换；,5. 可约化为完全可积的Hamilton系统。 对于孤立子方程的各种定解问题解的定性研究和数值分析方法的研究成为非线性偏微分方程研究和微分方程数值解法的重要研究内容, 引起国内外数学家的极大兴趣. 周毓麟

25、、郭柏灵院士、郭本渝教授等是国内孤立子方程的各种定解问题解的定性研究和数值分析方法研究的先驱代表、领军人物,最近的新进展是Camassa-Holm类方程的提出和尖孤子的发现；紧孤子的发现和完全非线性色散方程的出现。Camassa-Holm方程,其具有下列形式的尖孤子解,不象经典孤立子，这种孤立子在波的波峰或波谷处一阶导数不连续。最近发现的DegasperisProcesi方程,和描述细柱状可压缩超弹性杆中有限长小幅形变波的非线性色散方程,也有这样的尖孤子解。关于这些方程的定解问题研究和精确解是当前的热点研究领域。,完全非线性色散KdV方程,具有所谓尖孤子解，这种孤立子具有紧支撑集。,即这种孤立

26、子仅在一个有限区间上取值，而在此区间外为零。,五、启示,从1834年流体运动中孤立波的发现，至今已有170多年的历史。60年的争论、60年的寂静，和当今在多学科、多领域的重要应用，充分说明了数学物理基础研究的重要性。科学中基本规律的发现与研究，有极其深刻的意义。 以史为鉴，由这段170年的历史不难看出：那种用急功近利的眼光，来看待基础研究和教学的观点看法，显然是违背科学史和短视有害的。,色散波动和扩散波动,考虑一般的线性发展方程,仅限于一个空间变量情形, 对多个自变量情形有类似结果. 设这里 是常系数线性偏微分算子.设,只要是齐次方程,可得,称为方程的色散关系. 它确定了频率 与波数 之间的关

27、系.显然, 方程和色散关系之间有一一对应关系, 可以互相推出. 若从色散关系中解出,一般而言, 表示一组函数, 其个数决定于色散关系方程中 的次数 ,而 是方程中关于变量 的最高阶导数的阶数. 上式右端的每一个函数,称为一个模式(mode). 对应于每一个模式,有方程的一个特解.,当 是一个模式,其对应的Fourier分量是,随 的演化性质决定 于 的 性质. 1.当 是实的, 相应的Fourier分量是表示一个谐波.,2. 当 为纯虚数时, 其相应的Fourier分量是 表示一个驻波.,若 , 将随 的增加指数地变成无界,这是一种增长波,系统将称为关于这种模式是不稳定的;若 , 则 将随 的

28、增加而指数地衰减,这是一种衰减的波,系统将称为关于这种模式是不稳定的.,3. 当 , 其中 及 是实的, 得Fourier 分量,故当 时,这种波是具有指数衰减振幅的谐波,系统关于相应的模式是稳定的; 当 时,这种波是具有指数增长振幅的谐波,关于这种相应的模式是不稳定的.,若 是复值的, 则称相应的波动是扩散波动(diffusive wave);若 是实的 ,则称相应的波动是非扩散的.这时,如果 是 的非线性实函数,即 则称这种非扩散波动 为色散波动.,色散波动的例子很多, 如梁的弯曲方程 弹性杆中的纵波方程(水波等离子声波) 都是色散波方程,线性KdV方程 也是色散方程.但热传导方程,是扩散方程.而线性方程 既不是色散方程,也不是扩散方程.Klein-Gordon 方程,也是色散方程. 仅含有偶数阶导数或仅含有奇数阶导数的实系数线性方程,一定具有实的色散关系, 故是非扩散波动,既含有奇数阶又含有偶数阶导数的实系数线性方程,不可能有实的色散系数,故是扩散运动.,但 Schrdinger方程 也是色散方程.这是因为它具有复系数. 如果一个非线性发展方程所对应的线性方程是色散方程,则称由此非线性发展方程所描述的波动是非线性色散波动. 对非线性扩散波动也有类似理解.,孤立波解正是由于非线性项和最高阶线性色散项的相互作用而产生的稳定行波解.,