矢量分析与场论(定理一及例题)ppt课件.ppt

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1、2. 有势场的判定,充要条件是 为无旋场.,定理1.,在线单连域内,矢量场 为有势场的,证,设,必要性,如果 为有势场，,则存在函数,满足,即,即 为无旋场.,函数P,Q,R具有一阶连续偏导数,函数u具有二阶连续偏导数.,1. ；读作“grad”，此时必须是个标势函数或标量，表示的梯度。2. A；读作“divA”,此时A必须是矢势函数或矢量，A标势A的散度。3. A，读作“rotA”,此时A必须是矢势函数，或矢量，A标势A的旋度。,充分性,设 为无旋场，,即在场中处处有,对于场中的任何封闭曲线l,则,因此曲线积分 与路径无关.,其积分值只,与起点,和终点 有关.,记,下面证明这个u(x,y,z

2、)满足,只要证明,同理可证,充要条件是 为无旋场.,在线单连域内,矢量场 为有势场的,定理1.,此性质表明：,即表达式,是函数u的全微,分,也称函数u为表达式,原函数.,一般地,称具有曲线积分 与路径,无关性质的矢量场为保守场.,在线单连域内,以下四个命题彼此等价：,1) 场有势(梯度场);,2) 场无旋；,3) 场保守；,4)表达式 是某个函数的全微分.,3.势函数的求法,以任一路径从点,到点,积分,求出函数u后，,再令v =-u就会得到势函数.,一般为了简便,常选取平行于坐标轴的折线来,作为积分路径.,在场中选定一点 用公式,选取积分路径：,则,例1. 证明矢量场,为有势场，并求其势函数.,解：由,例1. 证明矢量场,为有势场，并求其势函数.,解：,为简便计算，取 为坐标原点O（0,0,0）,于是得势函数,而全体势函数为,否则，求出的势函数与此只相差一个常数,例2. 用不定积分法求例1中矢量场的势函数.,解：在例1中已经证得A为有势场，故存在函数u满足,即有,由第一个方程对x积分，得,从而，势函数,例3. 证明,为保守场，并计算曲线积分,解：显然,所以,代入公式,例4. 若,为保守场，,则存在函数,得,