数学史几何学的变革下解析课件.ppt

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1、几何学的变革,第九章,几何，就是研究,空间,结,构及性质的一门,学科,。它是,数学中最基本的研究内容之,一，与分析、,代数,等等具有,同样重要的地位，并且关系,极为密切。,几何学发展,?,几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、,数论等等关系极其密切。,?,几何思想是数学中最重要的一类思想。目前的数学各,分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法,去探讨各数学理论。,9.4,射影几何的繁荣,非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空间,的欧氏几何变成了某种特例,实际上，如果将,欧几里得几何,限制于其原先的涵,义,三维、平直、刚性空间的几何学,，那么,19,世,纪的几何学就可以理解为一场广

2、义的“非欧”运动：,从三维到高维；从平直到弯曲；,而射影几何的发,展，又从另一个方向使“神圣”的欧氏几何再度,“降格”为其他几何的特例,在,19,世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框,架下被研究的，其早期开拓者,德沙格（法国）、帕,斯卡（法国）,等主要是以欧氏几何的方法处理问题，,并且他们的工作由于,18,世纪解析几何与微积分发展,的洪流而被人遗忘,到,18,世纪末与,19,世纪初，蒙日（画法几何,学）等人的工作，重新激发了人们对综合射影几何,的兴趣,不过，将射影几何真正变革为具有自己独立的目,标与方法的学科的数学家，是曾受教于蒙日的,庞斯列,(J-V,.Poncelet,，,1788,18

3、67),庞斯列曾任拿破仑远征军的工兵中尉，,1812,年,莫斯科战役法军溃败后被俘，度过了两年铁窗生,活,然而正是在这两年里，庞斯列不借助于任何,书本，,以炭代笔,，在俄国萨拉托夫监狱的墙壁上,谱写了射影几何的新篇章,庞斯列获释后对自己在狱中的工作进行了修,订、扩充，于,1822,年出版了论图形的射影性,质,，这部著作立即掀起了,19,世纪射影几何发展,的巨大波澜，带来了这门学科历史上的黄金时,期,与德沙格和帕斯卡等不同，庞斯列并不限于考虑,特殊问题,他探讨的是一般问题：,图形在投射和截影下保持,不变的性质,，这也成为他以后，射影几何研究的主,题,由于距离和交角在投射和截影下会改变，庞斯列,选

4、择并发展了对合与调和点列的理论而不是以交比的,概念为基础,与他的老师蒙日也不同，庞斯列采用中心投影而,不是平行投影,，并将其提,高,为研究,问,题的一,种方,法在庞斯列实现射影几何目标的一般研究中，有两,个基本原理扮演了重要角色,首先是,连续性原理,，它涉及通过投影或其他方法,把某一图形变换成另一图形的过程中的几何不变,性用庞斯列本人的话说，就是：“如果一个图形从,另一个图形经过连续的变化得出，并且后者与前者一,样地,般，那么可以马上断定，第一个图形的任何性,质第二个图形也有”,而如果其中的一条割线,变成圆的切线，那么这个定,理仍然成立，只不过要把这,条割线的截段之积换成切线,的平方。,作为这

5、个原理的一个例,子，庞斯列举了圆内相交弦的,截段之积相等的定理，当交点,位于圆的外部时，它就变成了,割线的截段之积的相等关系,这个原理卡诺也曾用过，但庞斯列将它发展到,包括无穷远点的情形因此，我们总可以说两条,直线是相交的，交点或者是一个普通的点，或者,是一个无穷远处的点,(,平行线的情形,),除了无穷远元素，庞斯列还利用连续性原理,来引入,虚元素,例如两个相交的圆，其公共弦当,两圆逐渐分离并变得不再相交时，就成为虚,的,无穷远元素与虚元素,在庞斯列为达到射影几,何的一般性工作中发挥了重要作用,庞斯列强调的另一个原理是,对偶原理,射影几何,的研究者们曾经注意到，,平面图形的“点”和“线”,之间

6、存在着异乎寻常的对称性，如果在它所涉及的定,理,中,，,将,“,点,”,换,成,“,线,”,，,同,时,将,“,线,”,换,成,“点”，,那么就可以得到一个新的定理例如考虑著,名的,帕斯卡定理：,如果将一圆锥曲线的,6,个点看成是一,个六边形的顶点，那么相对的边的交点共线,。,它的对偶形式则是：,如果将一圆锥曲线的,6,条切线,看成是一个六边形的边，那,么相对的顶点的连线共点。,帕斯卡定理的对偶形式是布里昂雄,(C.J.Brianchon),在,1806,年发现的，所以常被称为,布里昂雄定理,，而这离帕斯卡最初陈述他的定理,已有近二百年的光景,虽然,布里昂雄,发现了,帕斯卡定理,的对偶定理，,

7、但包括他在内的许多数学家对于对偶原理为什么行,得通仍是不清楚，事实上，布里昂雄还曾怀疑过这,个原理,庞斯列射影几何工作中很重要的一部分，就是,为建立对偶原理而发展了,配极,的一般理论他深入,研究了,圆锥曲线的极点与极线,的概念，给出了从极,点到极线和从极线到极点的变换的一般表述,与庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时，,德国数学家,默比乌斯,(A.P.Mobius,，,1790,1868),和,普吕克,(J.Plucker,，,1801,1868),开创了射影几何研究,的解析,(,或代数,),途径,默比乌斯,在重心计算,(1827),一书中第一次引,进了,齐次坐标，,这种坐标后被普吕克发展为

8、更一般的,形式，它相当于把笛卡儿坐标,换成,y,x,3,2,3,1,x,x,y,x,x,x,?,?,齐次坐标,成为代数地推导包括对偶原理在内许多,射影几何基本结果的有效工具,但这种代数的方法遭,到了,以庞斯列为首的综合派学者,的反对，,19,世纪的射,影几何就是在综合的与代数的这两大派之间的激烈争,论中前进的,支持庞斯列的数学家还有斯坦纳,(J.Steiner),、沙,勒,(M.Chasles),和施陶特,(K.G.C.von,Staudt),等，其中,施陶特的工作对于确立射影几何的特殊地位有决定性,的意义,到,1850,年前后，数学家们对于射影几何与欧,氏几何在一般概念与方法上已作出了区别，

9、但对,这两种几何的逻辑关系仍不甚了了即使是综合,派的著作中也依然在使用长度的概念，例如作为,射影几何中心概念之一的交比，就一直是用长度,来定义的，但长度在射影变换下会发生改变，因,而不是射影概念,施陶特在,1847,年出版的位置几何学中提出一套方案，,通过给每个点适当配定一个识别标记,(,也称作坐标,),而给交比作,了重新定义如果四点的“坐标”记为,，那么交,比就定义为,4,3,2,1,x,x,x,x,.,4,2,3,2,4,1,3,1,x,x,x,x,x,x,x,x,?,?,?,?,这样施陶特不借助长度概念就得以建立射影几何的基,本工具，从而使射影几何摆脱了度量关系，成为与长,度等度量概念无

10、关的全新学科。,9.5,几何学的统一,在数学史上，罗巴切夫斯基被称为,“,几何学,上的哥白尼,”,这是因为非欧几何的创立不只是,解决了两千年来一直悬而未决的平行公设问题，,更重要的是它引起了关于几何观念和空间观念的,最深刻的革命,在,19,世纪，占统治地位的是欧几里得的绝对空,间观念非欧几何的创始人无一例外地都对这种传,统观念提出了挑战,首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极,其深远的影响,“,我越来越深信我们不能证明我们的欧几里得,几何具有物理的必然性，至少不能用人类的理智一,一给出这种证明或许在另一个世界中我们可能得,以洞悉空间的性质，而现在这是不可能达到的”,高斯早在,1817,年就在

11、给朋友的一封信中写道：,高斯曾一度把他的非欧几何称为,“星空几何”，,而从罗巴切夫斯基到黎曼，他们也都相信天文测量,将能判断他们的新几何的真实性，认为欧氏公理可,能只是物理空间的近似写照,他们的预言，在,20,世纪被爱因斯坦的相对论,所证实正是,黎曼几何为爱因斯坦的广义相对论提,供了最恰当的数学表述,，而根据广义相对论所进行,的一系列天文观测、实验，也证实了,宇宙流形,的非,欧几里得性,其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一,种几何学即欧几里得几何学的局面,19,世纪中叶以后，通过否定欧氏几何中这样或那样的公,设、公理，产生了各种新而又新的几何学，除了,上述几种非,欧几何、黎曼几何,外，还有

12、如,非阿基米德几何、非德沙格几,何、非黎曼几何、有限几何等等,，加上与非欧几何并行发展,的,高维几何、射影几何，微分几何,以及较晚出现的拓扑学等，,19,世纪的几何学展现了无限广阔的发展前景,在这样的形势下，寻找不同几何学之间的内在,联系，用统一的观点来解释它们，便成为数学家们,追求的一个目标,统,几何学的第一个大胆计划是由,德,国,数,学,家,克,莱,因,(F.Klein,，,1849-,1925),提出的,1872,年，克莱因被聘为,爱尔朗根大学的数学教授，按惯例，,他要向大学评议会和哲学院作就职演,讲，克莱因的演讲以爱尔朗根纲领,著称，正是在这个演讲中，克莱因基,于自己早些时候的工作以及

13、挪威数学,家李,(S.Lie),在群论方面的工作，阐述,了几何学统一的思想：,克莱因,所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群,保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何学,只是研究与特定的变换群有关的不变量,这样一,来，不仅,19,世纪涌现的几种重要的、表面上互不,相干的几何学被联系到一起，而且变换群的任何,一种分类也对应于几何学的一种分类,克莱因用群的观点来研究几何学。他的,基本观点是，每种几何都由变换群所刻划，,并且每种几何所要做的实际就是在这种变换,群下考虑其不变量。,例如,(,就平面的情况,),，欧几里得几何研究的是,长度、角度、面积等这些在平面中的,平移和旋转下,保持不变的性质,平

14、面中的平移和旋转,(,也称刚性,运动,),构成,个变换群,刚性平面变换,可以用代数,式表示出来：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,23,22,21,13,12,11,a,y,a,x,a,y,a,y,a,x,a,x,其中,这些式子构成了一个群的元素，而将,这种元素结合在一起的“运算”就是依次进行这种类型的变,换容易看出，如果在进行上述变换后紧接着进行第二个变换：,1,21,12,22,11,?,?,a,a,a,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,23,22,21,13,12,11,b,y,b,x,b,y,b,y,b,x,b,x,其中,那么相继进行这两个变换的结果，就等,价于某个单一的这一

15、类型的变换将点,变成点,.,1,21,12,22,11,?,?,b,b,b,b,),(,y,x,),(,y,x,如果在上述变换中，将限制,用更一般的要,求,来替代，那么这种新变换也构成一个群然,而，,在这样的变换下，长度和面积不再保持不变,，不过一个已,知种类的圆锥曲线,(,椭圆，抛物线或双曲线,),经过变换后仍是同,一种类的圆锥曲线这样的变换称为,仿射变换,，它们所刻画的,几何称为,仿射几何,因此，按照克莱因的观点，欧几里得几何,只是仿射几何的一个特例,1,21,12,22,11,?,?,a,a,a,a,0,21,12,22,11,?,?,a,a,a,a,仿射几何则是更一般的几何,射影几何的

16、一,个特例一个射影变换可以写成如下形式：,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,33,32,31,23,22,21,33,32,31,13,12,11,a,y,a,x,a,a,y,a,x,a,y,a,y,a,x,a,a,y,a,x,a,x,其中,的行列式必须不为零射影变换下的不变量有线性、,共线性、交比、调和点组以及保持圆锥曲线不变等显然，,如果,并且,，射影变换就成了仿射变换,ij,a,0,32,31,?,?,a,a,1,33,?,a,下表反映了以射影几何为基础的克莱因几,何学分类中一些主要几何间的关系：,在克莱因的分类中，还包括了当时的代数几何,和拓扑学,克莱

17、因对拓扑学的定义是“研究由无限,小变形组成的变换的不变性”,这里“无限小变形”,就是一一对应的双方连续变换。,拓扑学,在,20,世纪才获得独立的发展并成为现代,数学的核心学科之一,并非所有的几何都能纳入克莱因的方案，例如,今天的代数几何和微分几何，然而克莱因的纲领,的确能给大部分的几何提供一个系统的分类方法，,对几何思想的发展产生了持久的影响,克莱因发表爱尔朗根纲领时,年仅,23,岁,1886,年，他受聘到哥廷根大学担任教授克莱因是这,样一位数学家，在他身上，创造天才与组织能力,完美地融合在一起,他的到来，使哥廷根这座具,有高斯、黎曼传统的德国大学更富科学魅力。,克莱因,在被引向哥廷根的许多年

18、轻数学家中，最重,要的一位是,希尔伯特,(D.Hilbert,，,1862,1943),正是这位希尔伯特，在来到哥廷根,3,年以后，,提出了另一条对现代数学影响深远的统一几何学,的途径,公理化方法,公理化方法始于欧几里得，然而当,19,世纪数学家,们重新审视原本中的公理体系时却发现它有,许多隐蔽的假设，模糊的定义及逻辑的缺陷，这就,迫使他们着手重建欧氏几何以及其他包含同样弱点,的几何的基础,这项探索从一开始就是在对几何学作统一处理,的观点下进行的在所有这些努力中，希尔伯特在,几何基础,(1899),中使用的公理化方法最为成功,几何基础与希尔伯特,德国数学家大卫希,尔伯特（,1862-1943,

19、）是,20,世纪最伟大的数学家之一,他在,1899,年出版的,几何基础成为近代公理,化方法的代表作，且由此推,动形成了“数学公理化学,派”,。,公理化方法是从公理出发来建造各种几何希,尔伯特在这方面的划时代贡献在于，他比任何前人,都更加透彻地弄清了公理系统的逻辑结构与内在联,系几何基础中提出的公理系统包括了,20,条公,理，希尔伯特将它们划分为五组：,.,1,8,关联公理；,1,4,顺序公理；,1,5,合同公理；,平行公理；,1,2,连续公理,（重点）,在这样自然地划分公理之后，希尔伯特在历,史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的,原则，即：,1,相容性,从系统的公理出发不能推出矛盾，,故

20、亦称“无矛盾性”；,2,独立性,系统的每一条公理都不能是其余公,理的逻辑推论；,3,完备性,系统中所有的定理都可由该系统的,公理推出,在这样组织起来的公理系统中，通过否定或者替,换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几,何,例如用罗巴切夫斯基平行公理替代欧几里得平,行公理，而保持其余所有公理不变，就可以得到双曲,几何；,如果在抛弃欧氏平行公理的同时，添加任意两,条直线都有一个公共点或至少有一个公共点的公理，,并适当改变另外一些公理，就分别得到单重与双重椭,圆几何，等等,这样的做法，不仅给出了已有几门非欧几何的,统一处理，而且还可以引出新的几何学,最有趣的例子便是“非阿基米德几何”，即,通

21、过忽略,连续公理,(,亦称阿基米德公理,),而建造的几,何学这是希尔伯特本人的创造，几何基础中,用了整整,5,章的篇幅来展开这种新的几何学,我们在后面会看到，,希尔伯特所发展的这种,形式公理化方法,在,20,世纪已远远超出了几何学的范,围而成为现代数学甚至某些物理领域中普遍应用的,科学方法,1900,年希尔伯特,38,岁时在巴黎举行的第二,届国际数学家大会上作了题为,数学问题,的著,名讲演提出了新世纪所面临的,23,个问题这,23,个问题涉及现代数学的大部分重要领域对这些问,题的研究有力地推动了,20,世纪各个数学分支的发,展,数学问题,希尔伯特数学问题演讲,我们当中有谁不想揭开未来的帷幕,，

22、看一看今后的世纪里我们这门科学发,展的前景和奥秘呢？我们下一代的主要,数学思潮将追求什么样的特殊目标？在,广阔而丰富的数学思想领域？新世纪将,会带来什么样的新方法和新成果？,选择题与填空题,1,非欧几何的创立主要归功于数学家,高斯,、,波约、,罗巴切夫斯基,.,2,解析几何的发明归功于法国数学家,笛卡尔,和,费马,.,3.“,非欧几何”理论的建立源于对欧几里得几何体系中,_,第五公设,_,的证明，最先建立“非欧几何”理论的,数学家是,_,高斯,_.,4,希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织,公理系统的原则，即：,_,相容性,_,、,_,独立性,_,、,_,完备性,_.,作业,1.,简述非欧几何的产生。,2.,克莱茵的爱尔朗根纲领。,3.,非欧几何三位发明人是谁？他们中哪位是,最早、最系统地发表自己关于非欧几何的研,究成果？,谢,谢！,