第七章微元法重点课件.ppt

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1、第七章 定积分的应用与广义积分,1. 微元法的提出,2.微元法求面积,体积,弧长及 物理应用,3.广义积分,定积分的微元分析法,用定积分表示的量U必须具备三个特征 :,一 . 能用定积分表示的量所必须具备的特征,(3) 部分量 的近似值可表示为,则U相应地分成许多部分量;,(1) U是与一个变量x的变化区间a,b有关的量;,(2) U 对于区间a,b具有可加性.,即如果把区a,b 分成许多部分区间,根据问题的具体情况,选取一个变量,(2) 在区间a,b内任取一个小区间 ,求出相应于这个小区间的部分量 的近似值.,在 处的值 与 的乘积,就把 称为量U的微元且记作 ,即,如果 能近似地表示为a,

2、b上的一个连续函数,例如x为积分变量,并确定其变化区间a,b;,二、用定积分表示量U的基本步骤:,这个方法通常叫做微元法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,曲边梯形的面积,曲边图形的面积,一、直角坐标系情形,微元法求面积,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 为积分变量,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,2a,2a,a,x = a (t sint)y = a (1 cost),摆线,.,的第一拱与x轴所围成的图形的面积,二. 极坐标情形,1. 曲边扇形,其中r()在 ,上连续,且r()0.,相应

3、于, +d的面积微元为,则图形面积为,设图形由曲线r=r()及射线=, =所围成.,取为积分变量,其变化区间为 ,2. 一般图形,及射线=, =所围图形的面积微元为,则面积为,由曲线,例4 求阿基米德螺线r=a(a0)上,相应于从 0到2的一段弧与极轴所围图形的面积.,解 如图,可视为=0, = 2及r=a 围成的曲边扇形.则其面积为,解,利用对称性知,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,例 求r=1与r=1+cos所围公共面积.,解 如图,曲线交点为,由对称性,则,而,一、平面曲线弧长的概念,微元法求曲线的弧长,弧长元素,弧长,二、直角坐标情形,曲线弧为,弧长,三、参数方程情形,曲线

4、弧为,弧长,四、极坐标情形,例 求,的全弧长.,解 y=y(x)的定义域为,故弧长为:,例 求星形线,的弧长.,解 由对称性及公式,例 求阿基米德螺线r=a(a0)上相应于从0到2的一段弧长.,解,一、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,微元法求体积,x,设立体介于x=a,x=b之间,立体体积,取x为积分变量,其变化范围为a,b.,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,边长分别为y和ytan .因此,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,底边长为2y,高为h.因此,

5、旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,二、旋转体的体积,y,y,则,y,图1,例 求如图直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体的体积.,解 可求得过点O及P(h,r)的直线方程为,例 求星形线,绕x轴旋转而成的立体体积,解 由对称性及公式,例 求圆心在(b,0),半径为a(ba)的圆 绕y轴旋转而成的环状体的体积.,y,x,o,b,a,解 圆的方程为,则所求体积可视为,曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积之差.,分别与直线y=-a,y=a及y轴所围成的,则,例 证明：由平面图形,绕 轴旋转所成的旋转体的体积为,即为圆柱薄壳,当dx很小时,此小

6、柱体的高看作f(x)，,以此柱壳的体积作为体积元素，,柱壳法就是把旋转体看成是以y 轴为中心轴的一系列圆柱形薄壳组成的，,在区间 上,柱壳体的体积元素为,例 求圆心在(b,0),半径为a(ba)的圆 绕y轴旋转而成的环状体的体积.,y,x,o,b,a,解 圆的方程为,则,第三节 定积分的物理应用,一. 变力沿直线作功,若物体在常力F作用下沿F方向移动s距离,由x=a移到x=b,可用微元法解决做功问题.,dW=F(x)dx,则,则W=Fs,若物体在变力F(x)作用下沿力的方向,取x为积分变量,变化区间为a,b.,相应于任意小区间x,x+dx的功微元,解,功微元,所求功为,例2 设9.8牛顿的力能

7、使弹簧伸长1厘米,解,由公式,(焦耳),求伸长10厘米需作多少功?,所以k=980.,F=9.8牛顿,而x=0.01米时,已知 F=kx,F=980 x.,分析：将链条拉上来所作的功,即变力沿直线作的功.,书361页的例六,解 将水桶从井里提上来所作的功为,将绳子从井里提上来所作的功,则所作的总功为,即变力沿直线作的功为,例 一桶水重10kg,由一条线密度0.1kg/m的绳子系着,将它从20m深的井里提上来需作多少功?,x,例 在直径为,，高为,的圆柱形气缸内,Pa的气体.若要将气体的体积,充满了压强为,压缩到原来的一半，问需作功多少？,压缩至,处气体压强,断面受气体压力,解,建立坐标系如图,

8、设想将水分成许多薄层,吸出各层水所作的功的总和即为所求.,这一薄层水的重力为,功微元为,(千焦),例4 形如圆台的水桶内盛满了水(如图),问将全部水吸出需作多少功?,0,y,x,1,3,(3,2),解 设想将水分成许多薄层,吸出各层水所作的功的总和即为所求.,取x为积分变量,变化区间为0,3.,相应于任意小区间x,x+dx,的薄层水近似于圆柱,吸出这层水的位移近似于x.,则,因此功的微元,二、液体对侧面的压力,取x为积分变量,变化区间为a,b.,近似于水深x处水平放置的长方形窄条所受的压力.,相应于x,x+dx的窄条所受到的压力,以如图曲边梯形为例:,则压力微元为dP=,因此整个平板所受压力为

9、,解,建立坐标系如图,面积微元,例4 一个横放的半径为R的圆柱形油桶内有半桶油, 求一个端面所受的压力.,解 由对称性,x,三、引力,例6 设有质量为M,长度为l的均匀细杆,任意小段x,x+dx近似于质点,且质量为,则引力微元为,另有一质量为m的质点位于同一直线上,且到杆的近段距离为a,求杆对质点的引力.,解:取x为积分变量,变化区间为0,l,则引力为,解,建立坐标系如图,将典型小段近似看成质点,小段的质量为,小段与质点的距离为,引力微元,水平方向的分力微元,由对称性知，引力在铅直方向分力为,(1) 变力所作的功,(2) 水压力,(3) 引力,第五节 广义积分,1.无穷区间上的广义积分,2.无界函数的广义积分,3.小结,一、无穷限的广义积分,例1 计算广义积分,解,无穷限积分的牛顿-莱布尼兹公式,性质：,且当它们同时收敛时有,例2,证,例4 计算广义积分,解,无穷限积分的分部积分公式,注意：仅仅是收敛的充分条件,例5,无穷限积分的第二类换元公式,二、无界函数的广义积分,例1 计算广义积分,解,同样，瑕积分也有牛顿莱布尼兹公式,证,解：,例3 计算广义积分,解,瑕点,瑕积分的分部积分公式,例4,瑕积分的换元积分公式,例5,无界函数的广义积分（瑕积分）,无穷限的广义积分,（注意：不能忽略内部的瑕点）,三、小结,