第十一章第9节离散型随机变量的均值与方差.doc

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1、第第 9 节节 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、 方差的概念； 2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题 知 识 梳 理 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn (1)均值 称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差 称 D(X)ni1_(xiE(X)2pi为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值E(X)的平均偏离程

2、度，其算术平方根 D（X）为随机变量 X 的标准差. 2.均值与方差的性质 (1)E(aXb)aE(X)b. (2)D(aXb)a2D(X)(a，b 为常数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p). (2)若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p). 微点提醒 1.若 x1，x2相互独立，则 E(x1 x2)E(x1) E(x2). 2.均值与方差的关系：D(X)E(X2)E2(X). 3.超几何分布的均值：若 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，则 E(X)nMN. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在

3、括号内打“”或“”) (1)期望值就是算术平均数，与概率无关.( ) (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.( ) (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.( ) (4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.( ) 解析 均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(选修 23P68A1 改编)已知 X 的分布列为 X 1 0 1 P 12

4、 13 16 设 Y2X3，则 E(Y)的值为( ) A.73 B.4 C.1 D.1 解析 E(X)11201311613， E(Y)E(2X3)2E(X)323373. 答案 A 3.(选修 23P68 练习 2 改编)若随机变量 X 满足 P(Xc)1，其中 c 为常数，则D(X)的值为_. 解析 P(Xc)1，E(X)c1c， D(X)(cc)210. 答案 0 4.(2018 浙江卷)设 0p1，随机变量 的分布列是 0 1 2 P 1p2 12 p2 则当 p 在(0，1)内增大时( ) A.D()减小 B.D()增大 C.D()先减小后增大 D.D()先增大后减小 解析 由题可得

5、 E()12p，所以 D()p2p14p12212，所以当 p在(0，1)内增大时，D()先增大后减小. 答案 D 5.(2019 合肥检测)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为： X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_. 解析 E(X)00.410.320.230.11. E(Y)00.310.520.20.9， 所以 E(Y)E(X)，故乙技术好. 答案 乙 6.(2017 全国卷)一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取

6、一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 D(X)_. 解析 有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中 p0.02，n100，则 D(X)np(1p)1000.020.981.96. 答案 1.96 考点一 离散型随机变量的均值与方差 【例 1】 (2019 青岛一模)为迎接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过 1 小时免费，超过 1小时的部分每小时收费标准为 40 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).有甲、 乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 1 小时离开的概率分别为14，16；1小时以上

7、且不超过 2 小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过 3 小时. (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 (单位：元)，求 的分布列与数学期望 E()，方差 D(). 解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为 0，40，80 元， 两人都付 0 元的概率为 p11416124， 两人都付 40 元的概率为 p2122313， 两人都付 80 元的概率为 p311412116231416124， 则两人所付费用相同的概率为 pp1p2p312413124512. (2)由题设甲、乙所付费用之和为 ， 可能取值为 0，40，8

8、0，120，160，则： P(0)1416124； P(40)1423121614； P(80)141612231416512； P(120)1216142314； P(160)1416124. 的分布列为 0 40 80 120 160 P 124 14 512 14 124 E()01244014805121201416012480. D()(080)2124(4080)214(8080)2512(12080)214(16080)21244 0003. 规律方法 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. (2)

9、注意 E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的应用. 【训练 1】 从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14. (1)记 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数， 求随机变量 X 的分布列和数学期望； (2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率. 解 (1)随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3， P(X0)11211311414， P(X1)1211311411213114112113141124， P(X2)11213141211314121311414， P(X

10、3)121314124. 所以，随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 14 1124 14 124 随机变量 X 的数学期望 E(X)0141112421431241312. (2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0) P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0) 1411241124141148. 所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为1148. 考点二 二项分布的均值与方差 【例 2】 (2019 顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过 w立方米的部分按 4 元/

11、立方米收费，超出 w 立方米的部分按 10 元/立方米收费，从该市随机调查了 100 位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列. (1)求 a，b，c 的值及居民月用水量在 22.5 内的频数； (2)根据此次调查，为使 80%以上居民月用水价格为 4 元/立方米，应将 w 定为多少？(精确到小数点后 2 位) (3)若将频率视为概率，现从该市随机调查 3 名居民的月用水量，将月用水量不超过 2.5 立方米的人数记为 X，求其分布列及均值. 解 (1)前四组频数成等差数列， 所对应的频率组距也成等差数列， 设 a0.2d，b0.22d，c0.23

12、d， 0.50.2(0.2d)20.22d0.23d0.131， 解得 d0.1，a0.3，b0.4，c0.5. 居民月用水量在 22.5 内的频率为 0.50.50.25. 居民月用水量在 22.5 内的频数为 0.2510025. (2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于 2.5 的频率为 0.70.8， 为使 80%以上居民月用水价格为 4 元/立方米， 应规定 w2.50.80.70.32.83. (3)将频率视为概率，设 A(单位：立方米)代表居民月用水量， 可知 P(A2.5)0.7， 由题意，XB(3，0.7)， P(X0)C030.330.027， P(X1)C130.320

13、.70.189， P(X2)C230.30.720.441， P(X3)C330.730.343， X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 XB(3，0.7)，E(X)np2.1. 规律方法 二项分布的均值与方差. (1)如果 B(n，p)，则用公式 E()np；D()np(1p)求解，可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E(ab)aE()b 以及 E()np 求出 E(ab)，同样还可求出 D(ab). 【训练 2】 (2019 湘潭三模)某饭店从某水产养殖厂

14、购进一批生蚝，并随机抽取了40 只统计质量，得到结果如表所示： 质量(g) 5，15) 15，25) 25，35) 35，45) 45，55 数量(只) 6 10 12 8 4 (1)若购进这批生蚝 500 kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)； (2)以频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选 4 个，记质量在5，25)间的生蚝的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望. 解 (1)由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为 140(61010201230840450)28.5(g)， 所以购进 500 kg 生蚝，其数量为 500 000 28.51

15、7 544(只). (2)由表中数据知，任意挑选一只生蚝，质量在5，25)间的概率为25， 由题意知 X 的可能取值为 0，1，2，3，4， P(X0)35481625， P(X1)C14251353216625， P(X2)C24252352216625， P(X3)C3425335196625， P(X4)25416625， X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 81625 216625 216625 96625 16625 E(X)081625216625396625316625485. 考点三 均值与方差在决策问题中的应用 【例 3】 某投资公司在 2019 年年初准备将 1 0

16、00 万元投资到“低碳”项目上， 现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29； 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解 若按“项目一”投资，设获利为 X1万元.则 X1的分布列为 X1 300 150 P 79 29 E(X1)30079(150)29200(万元). 若按“项目二”投资，设获利 X2

17、万元， 则 X2的分布列为： X2 500 300 0 P 35 13 115 E(X2)50035(300)130115200(万元). D(X1)(300200)279(150200)22935 000， D(X2)(500200)235(300200)213(0200)2115140 000. 所以 E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资. 规律方法 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重

18、要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定. 【训练 3】 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站.过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在 40 以上.其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，

19、并有如下关系： 年入流量 X 40X120 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为 5 000 万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损 800 万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大， 应安装发电机多少台？ 解 (1)依题意，得 p1P(40X120)5500.1. 由二项分布，在未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 pC04(1p3)4C14(1p3)3p39104491031100.947 7. (2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元). 安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为

20、1， 对应的年利润 Y5 000，E(Y)5 00015 000. 安装 2 台发电机的情形. 依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，此时 Y5 0008004 200，因此 P(Y4 200)P(40X80)p10.2； 当 X80 时， 两台发电机运行， 此时 Y5 000210 000，因此 P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得 Y 的分布列如下： Y 4 200 10 000 P 0.2 0.8 所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840. 安装 3 台发电机的情形. 依题意，当 40X80 时，一台发电机运行，此时 Y5 0001 6003 4

21、00，因此P(Y3 400)P(40X120 时，三台发电机运行，此时 Y5 000315 000，因此 P(Y15 000)P(X120)p30.1.因此得 Y 的分布列如下： Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台. 思维升华 1.掌握下述均值与方差有关性质，会给解题带来方便： (1)E(aXb)aE(X)b，E(XY)E(X)E(Y)， D(aXb)a2D(X)； (2)若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np

22、(1p). 2.基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量 X 的均值、方差，求 X 的线性函数 YaXb 的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解； (3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)， 可直接利用它们的均值、方差公式求解. 易错防范 1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式. 2.对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差. 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1.已知离散型

23、随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 P 35 310 110 则 X 的数学期望 E(X)( ) A.32 B.2 C.52 D.3 解析 由数学期望公式可得 E(X)1352310311032. 答案 A 2.已知离散型随机变量 X 的概率分布列为 X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其方差 D(X)( ) A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4 解析 由 0.5m0.21 得 m0.3，E(X)10.530.350.22.4，D(X)(12.4)20.5(32.4)20.3(52.4)20.22.44. 答案 C 3.(2019 宁波期末)一个箱子中装有形状完全相同的 5

24、 个白球和 n(nN*)个黑球.现从中有放回的摸取 4 次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为 X，若 D(X)1，则 E(X)( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由题意，XB(4，p)，D(X)4p(1p)1， p12，E(X)4p4122. 答案 B 4.签盒中有编号为 1，2，3，4，5，6 的六支签，从中任意取 3 支，设 X 为这 3 支签的号码之中最大的一个，则 X 的数学期望为( ) A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6 解析 由题意可知，X 可以为 3，4，5，6，P(X3)1C36120，P(X4)C23C36320，P(X5)C24C36310，P(X

25、6)C25C3612.由数学期望的定义可求得 E(X)3120432053106125.25. 答案 B 5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 X 的期望 E(X)为( ) A.24181 B.26681 C.27481 D.670243 解析 依题意，知 X 的所有可能值为 2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为23213259. 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，

26、此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有 P(X2)59， P(X4)49592081，P(X6)4921681， 故 E(X)259420816168126681. 答案 B 二、填空题 6.已知随机变量 的分布列为 1 2 3 P 0.5 x y 若 E()158，则 D()_. 解析 由分布列性质，得 xy0.5. 又 E()158，得 2x3y118，可得x18，y38. D()1158212215821831582385564. 答案 5564 7.在一次随机试验中，事件 A 发生的概率为 p，事件 A 发生的次数为 ，则数学期望 E()_，方差 D()的最大值为_. 解

27、析 记事件 A 发生的次数 可能的值为 0，1. 0 1 P 1p p 数学期望 E()0(1p)1pp， 方差 D()(0p)2(1p)(1p)2pp(1p)14. 故数学期望 E()p，方差 D()的最大值为14. 答案 p 14 8.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字 0、两个面上标有数字 1、一个面上标有数字 2.将这个小正方体抛掷 2 次，则向上的数之积 X 的数学期望是_. 解析 随机变量 X 的取值为 0，1，2，4，则 P(X0)C13C13C13C13C13C13C16C1634，P(X1)C12C12C16C1619，P(X2)C12C11C11C12C16C16

28、19，P(X4)C12C12C16C16136，因此 E(X)49. 答案 49 三、解答题 9.(2019 淮北模拟)某班共 50 名同学，在一次数学考试中全班同学成绩全部在 90分到 140 分之间.将成绩按如下方式分成五组：第一组：90，100)，第二组：100，110)，第五组：130，140.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.将成绩大于或等于 100 分且小于 120 分记为“良好”，120 分以上记为“优秀”，不超过 100 分记为“及格”. (1)求该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数； (2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记 X 为取得第一组成绩的个数，求

29、 X的分布列与数学期望. 解 (1)由频率分布直方图知，成绩在100，120)内的人数为 500.01610500.0381027， 该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数为 27. (2)由频率分布直方图可知第一组有 0.00610503 个成绩，第五组有0.00810504 个成绩，即第一、五组中共有 7 个成绩. 由题意，X 的可能取值为 0，1，2， P(X0)C03C24C2727，P(X1)C13C14C2747， P(X2)C23C04C2717， 则 X 的分布列为 X 0 1 2 P 27 47 17 E(X)02714721767. 10.(2016 全国卷)某公司计划

30、购买 2 台机器， 该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. (1)求 X 的分布列； (2)若要求 P(Xn)0.5，确定 n 的最小值； (3)以购买易损零件

31、所需费用的期望值为决策依据， 在 n19 与 n20 之中选其一，应选用哪个？ 解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8，9，10，11 的概率分别为 0.2，0.4，0.2，0.2.可知 X 的所有可能取值为 16、17、18、19、20、21、22， P(X16)0.20.20.04； P(X17)20.20.40.16； P(X18)20.20.20.40.40.24； P(X19)20.20.220.40.20.24； P(X20)20.20.40.20.20.2； P(X21)20.20.20.08； P(X22)0.20.20.04； 所以

32、X 的分布列为 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)知 P(X18)0.44，P(X19)0.68，故 n 的最小值为 19. (3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元). 当 n 19 时 ， E(Y) 192000.68 (19200 500)0.2 (19200 2500)0.08(192003500)0.044 040. 当 n20 时， E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080. 可知当 n19 时所需费用的期

33、望值小于 n20 时所需费用的期望值， 故应选 n19. 能力提升题组 (建议用时：20 分钟) 11.从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球的布袋中随机摸取一球， 有放回地摸取 5 次，设摸得白球个数为 X，已知 E(X)3，则 D(X)( ) A.85 B.65 C.45 D.25 解析 由题意，XB5，3m3， 又 E(X)53m33，m2， 则 XB5，35，故 D(X)53513565. 答案 B 12.某篮球队对队员进行考核，规则是：每人进 3 个轮次的投篮；每个轮次每人投篮 2 次，若至少投中 1 次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮 1 次投中的概率为23，如

34、果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲 3 个轮次通过的次数 X的期望是( ) A.3 B.83 C.2 D.53 解析 在一轮投篮中，甲通过的概率为 p89，通不过的概率为19. 由题意可知，甲 3 个轮次通过的次数 X 的取值分别为 0，1，2，3， 则 P(X0)1931729； P(X1)C138919224729； P(X2)C2389219192729； P(X3)512729. 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1729 24729 192729 512729 数学期望 E(X)017291247292192729351272983，或由二项分布的期望公式可得 E

35、(X)83. 答案 B 13.某商场在儿童节举行回馈顾客活动， 凡在商场消费满 100 元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击 3 次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击， 否则一直射击到 3 次为止.设甲每次击中的概率为 p(p0)， 射击次数为 Y，若 Y 的数学期望 E(Y)74，则 p 的取值范围是_. 解析 由已知得 P(Y1)p，P(Y2)(1p)p， P(Y3)(1p)2， 则 E(Y)p2(1p)p3(1p)2p23p374， 解得 p52或 p12， 又 p(0，1)，所以 p0，12. 答案 0，12 14.(2019 太原五中月考)某中学为研究学生的身体素

36、质与课外体育锻炼时间的关系，对该校 200 名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成0，10)，10，20)，20，30)，30，40)，40，50)，50，60六组， 并作出频率分布直方图(如图)， 将日均课外体育锻炼时间不低于 40 分钟的学生评价为“课外体育达标”. (1)请根据直方图中的数据填写下面的 22 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？ 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 女 110 合计 (2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取 8 人，再

37、从这 8 名学生中随机抽取 3 人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为 ，求 的分布列和数学期望. 附：K2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd）. P(K2k0) 0.15 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解 (1)由题意得“课外体育达标”人数为 200(0.020.005)1050， 则“课外体育不达标”人数为 150， 列联表如下： 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 30 90 女 90 20 110 合计 150 50 200 K2200（60203090）29011015050200336.0616.635. 在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关. (2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取 2 人，在“课外体育不达标”的学生中抽取 6 人，由题意知： 的所有可能取值为 1，2，3， P(1)C16C22C38656328； P(2)C26C12C3830561528； P(3)C36C382056514； 故 的分布列为 1 2 3 P 328 1528 514 故 的数学期望为 E()132821528351494.