二维傅里叶变换课件.ppt

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1、1,傅里叶变换的存在条件,要保证函数存在二维傅里叶变换对，函数就应该满足狄里赫利条件和绝对可积条件，这个条件是从纯数学的角度来考虑的，是数学理论研究的范畴，信息光学来说，应该从应用的观点来考虑：,在应用傅里叶变换的各个领域的大量事实表明，作为时间或空间函数而实际存在的物理量，总具备保证其傅里叶变换存在的基本条件。从应用的角度看，可以认为，傅里叶变换实际上总是存在的。,在应用问题中，也会遇到一些理想化的函数，如常数函数、阶跃函数等光学领域中常用的函数，但是他们不满足保证其傅里叶变换存在的充分条件；同时他们在物理上也不能够严格实现，对这类数学难以讨论其经典意义下的傅里叶变换。但是可以借助函数序列极

2、限概念得到这类函数的广义傅里叶变换。,物理上所用到的函数总存在FT,2,可分离变量的傅立叶变换,如果一个二维函数可以分离，那么他的傅立叶变换可以表示成两个一维傅立叶变换的乘积：如果那么,3,3. 极坐标系内的二维傅立叶变换,空域频域,具有圆对称的函数在极坐标下描述起来更加方便,r,4,5,6,极坐标系下的Fourier transformation,本节给出一些重要的FT性质，间或加以推导利用这些性质，只要知道不多的几个函数的FT，就很容易求出其他函数的FT，起到化难为简的作用这些性质和定理在线性系统分析，信号处理，图像处理等领域经常使用。,7,1.5 FT的基本性质和有关定理,8,1.5.1

3、 FT的基本性质,线性性质 设 有a.和的FT等于FT的和叠加性b.幅值按同样的比例缩放均匀性c.同时具有叠加性和均匀性线性性质性,a,b为常数,9,对称性 若 则证明：,10,对称性的一些其他情形若f(x,y) 为偶函数，则F(u,v) 也是偶函数， 即: 若f(-x,-y) = f(x,y), 则F(-u,-v) = F(u,v)。若f(x,y) 为奇函数，则F(u,v) 也是奇函数， 即：若f(-x,-y) = -f(x,y), 则F(-u,-v) = -F(u,v)。,11,迭次FT 以连续两次FT为例，二元函数f(x,y)的连续两次FT变换，得到原函数的倒立像，即：,12,4、FT的

4、坐标缩放性质 若a,b为不等于零的实常数，若F(u,v)=Ff(x,y),则有：证明：略光学上，空域中空间坐标的放大或缩小，导致空间频域中的空间频谱坐标缩小或放大。 如：孔径夫琅和费衍射。,13,、FT的平移性 若Ff(x,y)=F(u,v),且x0,y0为常数，则有证明：空域中的平移造成频域中频谱的相移。光场复振幅不具有平移不变性。但强度具有平移不变性。,14,FT的体积对应关系假设，Ff(x,y)=F(u,v)，则有,卷积定理(Convolution Theorem)相关定理(Correlation Theorem),15,1.5.2 FT的基本定理,16,卷积定理 (convolution theorem)设Ff(x,y)=F(u,v), Fg(x,y)=G(u,v)，则有 即两个函数卷积的FT等于它们的FT之积。 两个函数乘积的FT等于它们的FT的卷积。 若f(x,y)和g(x,y)表示两幅图像, 卷积定理即表示: 两图像卷积的频谱等于两图像频谱之积；两图像乘积的频谱等于两图像频谱之卷积。,17,证明：,同样可证：,18,卷积定理在FT理论及应用中非常重要：,对于一个复杂函数，其FT难求，若它可表示成几个简单函数的卷积，而这些简单函数的FT易求，则可用卷积定理。如：当两个函数或图像的卷积难求时，可先求得各自的FT，乘积后，再求IFT，即可得两者之卷积。,