小学几何五大模型.doc

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1、鸟头模型，是平面图形中常用的五个模型之一，其特点是通过边与面积的关系来解决问题。对于初学者来说，最重要的是理解什么是鸟头模型并熟记它的特征。一、鸟头模型的相关知识1.定义：两个三角形中有一个角相等或互补（相加等于180度），这两个三角形就叫共角三角形。这个模型就叫鸟头模型。其中存在的比例关系就叫做共角定理。2.核心：比例模型有：二、鸟头模型的原理剖析三、鸟头模型的方法运用鸟头模型解题四部曲：第一步：观察：图中是否有鸟头模型第二步：构造：鸟头模型第三步：假设：线段长度或图形面积第四步：转化：将假设的未知数转化到鸟头模型中计算例1：如图，已知AD:BD=2:3，AE:EC=3:1，三角形ADE的面

2、积是6平方厘米，求三角形ABC的面积?第一步：标条件第二步：确定等角位置A小夹边ADAE(小夹边指的是：小三角形夹着等角A的两边)大夹边ABAC第三步：利用鸟头模型结论SADE：SABC=小夹边乘积:大夹边乘积=(23):(54)=6:20=3:103:10的意思是：三角形ADE的面积是3份，三角形ABC的面积是10份。第四步：先除后乘算面积三角形ADE的面积是6平方厘米，对应3份，63=2平方厘米/份;所求三角形ABC的面积是10份，210=20平方厘米。例2：如图，已知BC：CD=5:2，AE:EC=1:1，三角形ABC的面积是20平方厘米，求三角形CDE的面积?第一步：标条件第二步：确定

3、补角位置C小夹边CDCE(小夹边指的是：小三角形夹着补角C的两边)大夹边CACB第三步：利用鸟头模型结论SCDE：SABC=小夹边乘积：大夹边乘积=(21):(25)=2:10=1:51:5的意思是：三角形CDE的面积是1份，三角形ABC的面积是5份。第四步：先除后乘算面积三角形ABC的面积是20平方厘米，对应5份，205=4平方厘米/份;所求三角形CDE的面积是1份，41=4平方厘米。比例模型版块威力最大且最难掌握的就是风筝模型！风筝模型命题很容易拉开难度，既可以出基础题，也可以作为爆难的华杯赛全国总决赛题目（2013年第18届华杯赛全国总决赛笔试二试第4题），所以筝模型是各大杯赛命题老师非

4、常喜欢考察的知识点。观察发现，可以用来算比值的都是这个“风筝的骨架”，而能算的面积都是骨架连起来之后构成的三角形！所以应用风筝模型的时候，第一步是找“风筝的骨架”，第二步是把骨架连起来，即先找叉叉，再包叉叉。命题老师最喜欢考的是标红的面积比，因为这种大块的面积比较隐蔽，适合考察同学们在图形中的观察能力。【题目】沙漏模型【小升初奥数专题】几何之五大模型(已更新完)2015-12-12 00:00几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图所示，Ssub1/sub：Ssub2/sub=a:b； 3、两个三角形底相

5、等，面积在之比等于高之比，如图所示，Ssub1/sub：Ssub2/sub=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图所示，SsubACD/sub=SsubBCD/sub；反之，如果SsubACD/sub=SsubBCD/sub， 则可知直线AB平行于CD。 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。 （2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点

6、 则有：SsubABC/sub：SsubADE/sub=（ABAC）：（ADAE） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ 如图连接BE，根据等积变化模型知，SsubADE/sub：SsubABE/sub=AD：AB、SsubABE/sub：SsubCBE/sub=AE：CE，所以SsubABE/sub：SsubABC/sub=SsubABE/sub：（SsubABE/sub+SsubCBE/sub）=AE：AC，因此SsubADE/sub：SsubABC/sub=（SsubADE/sub：SsubABE/sub）（SsubABE/sub：SsubABC/sub）=（AD：AB）（AE：A

7、C）。例、如图在ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，ADE的面积为12平方厘米，求ABC的面积。 （3）蝴蝶模型 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) 例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知AOB、BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： 例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2、DO=3，求CO的长度是DO长度的几倍。 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题

8、的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。（4）相似模型 1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似； 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相 交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质： 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线！ 例、如图，已知在平行四边形

9、ABCD中，AB=16、AD=10、BE=4，那么FC的长度是多少？ （5）燕尾模型 由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型,看一下它都有哪些性质：SsubABG/sub：SsubACG/sub=SsubBGE/sub：SsubCGE/sub=BE：CESsubBGA/sub：SsubBGC/sub=SsubGAF/sub：SsubGCF/sub=AF：CFSsubAGC/sub：SsubBGC/sub=SsubAGD/sub：SsubBGD/sub=AD：BD例、如图，E、D分别在AC、BC上，且AE：EC=2:3，BD：DC=1:2，AD与BE交于点F

10、，四边形DFEC的面积等于22平方厘米，求三角形ABC的面积。 二、五大模型经典例题详解（1）等积变换模型例1、图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？ 例2、如图所示，Q、E、P、M分别为直角梯形ABCD两边AB、CD上的点，且DQ、CP、ME彼此平行，已知AD=5、BC=7、AE=5、EB=3，求阴影部分三角形PQM的面积。 （2）鸟头（共角）定理模型例1、如图所示，平行四边形ABCD，BE=AB、CF=2CB、GD=3DC、HA=4AD，平行四边形ABCD的面积为2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。 例2、如图

11、所示，ABC的面积为1，BC=5BD、AC=4EC、DG=GS=SE、AF=FG，求FGS的面积。 （3）蝴蝶模型例1、如图，正六边形面积为1，那么阴影部分面积为多少？ 例2、如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC的面积。 例3、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G为BF的中点，求三角形BDG的面积。 （4）相似模型例1、如图，正方形的面积为1，E、F分别为AB、BD的中点，GC=1/3FC,求阴影部分的面积。 例2、如图，长方形ABCD，E为AD的中点，AF与BD、BE分别交于G和H

12、，OE垂直于AD，交AD于E点，交AF于O点，已知AH=5,HF=3,求AG的长。 （5）燕尾模型例1、如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF的面积。 例2、如图，在ABC中，BD=2DA、CE=2EB、AF=2FC，那么ABC的面积是阴影GHI面积的几倍？ 例3、如图，在ABC中，点D是AC的中点，点E、F是BC的三等分点，若ABC的面积是1，求四边形CDMF的面积。 三、巩固练习1、如图，在角MON的两边上分别有A、C、E、B、D、F六个点，并且OAB、ABC、BCD、CDE、DEF的面积都等于1，求DCF的面积。 2、如下图，ABCD

13、为平行四边形，EF平行AC，如果ADE的面积为4平方厘米，求三角形CDF的面积。 3、如下图，在三角形ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求四边形DGFE面积占三角形ABC的几分之几？ 4、如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB、CB=BF、DC=CG、HD=DA，求四边形ABCD的面积。 5、边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC、FC=DF，求三角形AGE的面积。 6、如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积为11，三角形BCH的面积为23，求四边形EGFH的面积。 7、如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，BC=120毫米，高AD=80毫米。现在要把它加工成一个正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？ 8、如图，已知正方形ABCD的面积为120平方厘米，E是AB边的中点，F是BC边的中点，求四边形BGHF的面积。 9、如图，正方形ABCD的边长是12厘米，E、F分别是AB、BC的中点，AF与CE交于点G，求四边形AGCD的面积。 10、如图，在四边形ABCD中，AB=3BE、AD=3AF，四边形AEOF的面积是12，求平行四边形BODC的面积。