初数期中期末复习课程（共10讲）第09讲.doc

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1、期中考试复习一、二次根式知识详解1. 二次根式（1）二次根式的定义：形如（）的式子叫做二次根式注意：被开方数是正数或；二次根式（）表示非负数的算术平方根（2）二次根式的性质：二次根式的非负性：；当时，2. 最简二次根式（1）最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这样的二次根式叫做最简二次根式（2）最简二次根式满足的条件：被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；分母中不含二次根式3. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫

2、同类二次根式4. 二次根式的大小比较能直接比较大小的直接比较；不能直接比较大小的，先平方再比较5. 二次根式的乘除（1）二次根式的乘法法则：（，）（2）二次根式的除法法则：（，）注意：利用乘除法则时注意、的取值范围，对于，、都非负，否则不成立6. 二次根式的加减同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式合并同类二次根式：同类二次根式才可加减合并7. 二次根式的混合运算分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式与互为有理化因式；分式有理化

3、时，一定要保证有理化因式不为08. 二次根式与配方法三个非负数：（1）；（2）；（3）若，则有：9. 多重二次根式双重二次根式：形如，二次根式的被开方数（式）中含有二次根式的式子叫双重二次根式多重二次根式：形如，二次根式的被开方数（式）中含有多于一个二次根式的式子叫多重二次根式习题巩固【习题1】 函数中自变量的取值范围是（ ）ABCD【习题2】 若与都有意义，则的值是（ ）A0B0C=0D【习题3】 对任何实数，下列结论正确的是（ ）A的算术平方根是BCD【习题4】 下列计算中，正确的是（ ）ABCD【习题5】 下列计算正确的是（ ）ABCD【习题6】 已知的值为（ ）A B C D【习题7】

4、 的倒数是（ ）ABCD【习题8】 若实数、满足，则的值为_ _【习题9】 若实数满足；则的值为 【习题10】 当= 时，最简二次根式和可以合并【习题11】 比较大小： 【习题12】 计算：【习题13】 计算：【习题14】 化简：【习题15】 已知实数满足，求的值【习题16】 先化简，再求值，其中【习题17】 观察下列计算：；从计算结果中找规律，并利用这一规律计算：的值二、一元二次方程知识详解1. 一元二次方程的概念（1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程（2）一元二次方程的一般形式：，为二次项系数，为一次项系数，为常数项要判断一个方程是否是一元二次

5、方程，必须符合以下三个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是任何一个关于的一元二次方程经过整理都可以化为一般式要特别注意对于关于的方程，当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程（3）关于的一元二次方程式的项与各项的系数为二次项，其系数为；为一次项，其系数为；为常数项2. 一元二次方程的解一元二次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根3. 直接开平方法若，则叫做的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫

6、做直接开平方法4. 直接开平方法的基本类型解为：解为：解为：解为：5. 配方法配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解的这样一种方法就叫做配方法6. 配方法的一般步骤解形如的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：二次项系数化；常数项右移；配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）；化成的形式；若，选用直接开平方法得出方程的解注意：在化成直接开平方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的，如果是则利用直接开平方法求解即可，如果不是，原方程就没有实数解7. 公式法一元二次方程，用配方法将其变形为：根的判别式，是方程的两根，若，则8.

7、 公式法解一元二次方程的一般步骤公式法解方程的步骤：把方程化为一般形式；确定、的值；计算的值；若，则代入公式求方程的根；若，则方程无解注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用；在用公式法求解方程的解时，一定要判断“”的取值范围，只有当时，方程才有实数解9. 因式分解法（1）因式分解法：当一元二次方程的一边是，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于，那么这两个因式至少有一个为，即：若，则或；（2）因式分解法的条件：方

8、程左边易于分解，右边等于（3）因式分解法的一般步骤：将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解注意：因式分解法适用于右边为（或可化为），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法.另外，用因式分解法要求对因式分解的方法比较熟练，如提公因式法，分组分解法，公式法，十字相乘法等10. 可化为一元二次方程的分式方程的解法（1）解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想是：把分式方程“转化”为整式方程（2）解分式方程

9、的方法：去分母法；换元法（3）用去分母法解分式方程的具体步骤是：把方程两边都乘以最简公分母，约去分母；解所得的整式方程；验根（4）用换元法解分式方程的具体步骤是：观察、分析方程的特点，探索换元的途径；设辅助未知数；用辅助未知数的代数式表示原方程中另外含未知数的式子，把原方程化为只含辅助未知数的方程；解含有辅助未知数的方程，求出辅助未知数的值；把辅助未知数的值代入原设辅助未知数的方程，求出原未知数的值；验根，作答11. 含字母系数的二次方程的解法解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定、和的值，然后求解但解字母系数方程时要注意：哪个字母代表未知数，也

10、就是关于哪个未知数的方程；不要把一元二次方程一般形式中的、与方程中字母系数的、相混淆；在开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能注意：解含字母系数的二次方程时，如果题目只说是解关于“”的方程，那么一定要分类讨论：二次项系数等于零，可能是一元一次方程；二次项系数不等于零，是一元二次方程如果题目明确说明是解关于“”的一元二次方程，则需要注意隐含条件：二次项的系数不为零12. 一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 ，显然只有当时，才能直接开平方得：也就是说，一元二次方程只有当系数、满足条件时才有实数根这里叫做一元二次方程根的判别式13. 判别式与根

11、的关系在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定设一元二次方程为，其根的判别式为：则方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根注意：用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）当时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根14. 一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的

12、应用：（1）运用判别式，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；（3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；15. 韦达定理如果的两根是，则，（隐含的条件：）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，16. 韦达定理与根的符号关系在的条件下，我们有如下结论：（1）当时，方程的两根必一正一负若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值（2）当时，方程的两根同正或同负若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根更一般的结论是：若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地： ， 且， 且，特殊地：

13、当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件17. 韦达定理的应用（1）已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；（2）已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；（3）已知方程的两根，求作方程；（4）结合根的判别式，讨论根的符号特征；（5）逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；（6）利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的一些考试中，往往利用这一点设置陷阱18. 一元二次方程的整数根对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整

14、数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质方程有整数根的条件：如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：（1）为完全平方数；（2）或，其中为整数以上两个条件必须同时满足，缺一不可另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根（其中、均为有理数）19. 列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审题；（2）设未知数；（3）根据找出的等量关系列出方程；（4）解一元二次方程；（5）将方程的解代入原方程检验，回到实际问题中检验；（6）作答结论注意：列方程解应用题的关键是将实际问题中内在、本质的联系抽象为数学问题，进而建立方程模型，

15、解决问题习题巩固【习题1】 下例关于x的方程中，一元二次方程的个数有（ ）A0个B1个C2个D3个【习题2】 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）AB CD 【习题3】 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）ABCD【习题4】 已知是方程的一个根, 则的值为（ ）ABCD【习题5】 方程的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D无法确定是否有实数根【习题6】 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）ABCD【习题7】 把化成一元二次方程的一般形式是 【习题8】 方程的根为 【习题9】 关于方程，当= 时，它有两个相等实数根【习题10】

16、 若，则的值为_ _【习题11】 已知：是方程的两个实数根，则的值等于 【习题12】 已知如下一元二次方程:第1个方程:；第2个方程:；第3个方程:；按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律，则第8个方程为 ；第n(n为正整数)个方程为 ，其两个实数根为 【习题13】 解方程：（1）；（2）【习题14】 已知是方程的一个根，求的值【习题15】 若关于的一元二次方程有实数根（1）求的取值范围；（2）若中，,、的长是方程的两根，求的长【习题16】 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不

17、到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【习题17】 某农户利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形养鸡场（一边靠墙）（1）若要围成面积为150的矩形养鸡场，请你求出此矩形养鸡场的长和宽各是多少？（2）养鸡场的面积能达到60吗？若能，请求出此矩形养鸡场的长和宽各是多少？若不能，请说明理由【习题18】 阅读下面的材料：的根为，；请利用这一结论解决问题：（1）若的两根为和3，求和的值（2）设方程的两根为、，求的值【习题19】 已知关于x的两个一元二次方程：方程：； 方程：（1）若方程有两个相等的实数根，求解方程；（2）若方程和中只有一个方程有实数根；请说明此时哪个方

18、程没有实数根，并化简；（3）若方程和有一个公共根；求代数式的值【习题20】 如图四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，、是和的三边长，易知这时我们把形如的方程称为关于的 “勾系一元二次方程”请解决下列问题：（1）构造一个“勾系一元二次方程”： （2）证明：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积【习题21】 请阅读下列材料：问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍解：设所求方程的根为，则，所以把代入已知方程，得：；化简，得：故所求方程为这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”（1）已知方程，

19、求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍，则所求方程为_ _（2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；（3）已知关于的方程有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方【习题22】 已知关于的一元二次方程（1）求证：当取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；（2）若（）是此方程的两根，并且直线：交轴于点，交轴于点坐标原点关于直线的对称点在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式；（3）在（2）成立的条件下，将直线绕点A逆时针旋转角，得到直线，交轴于点，过点作轴的平行线，与上述反比例函数的图象交于点，当四边形的面

20、积为时，求的值.三、旋转知识详解1. 旋转的有关概念旋转：把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转，点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点注意：研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角每一组对应点所构成的旋转角相等2. 旋转的性质（1）转后的图形与原图形是全等的；（进而得到相等的线段、相等的角）（2）旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等（进而得到等腰三角形）（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角（若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形）3. 旋转作图（1）旋转作图的条件：旋转中心；旋转方向及旋转角度（

21、2）旋转作图的步骤：连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点连：即连接所得到的各点4. 中心对称（1）中心对称的有关概念：把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做中心对称点，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点注意：两个图形成中心对称是旋转角为定角()的旋转问题，它是一种特殊的旋转，反映的是两个图形的一种特殊关系中心对称阐明的是两个图形的特殊位置关系（2）中心对称的特征：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都

22、经过对称中心，而且被对称中心所平分关于中心对称的两个图形是全等图形关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等如果连接两个图形的对应点的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称5. 中心对称图形（1）定义：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心（2）中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的一个图形若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则他们成中心对称；若把中心对称的两个图形看作一个整体，则为中心对称图形（3）中

23、心对称图形与旋转对称图形的比较：名称定义区别联系旋转对称图形如果一个图形绕着某一点旋转一定角度(小于周角)后能与原图形完全重合，那么这个图形叫做旋转对称图形旋转角度不一定是旋转对称图形只有旋转才是中心对称图形，而中心对称图形一定是旋转对称图形中心对称图形如果一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形必须旋转6. 等腰三角形旋转模型等腰三角形的旋转模型比较多，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化，证明的基本思想“SAS”（1）一般等腰三角形的旋转（2）等边三角形的旋转（3）等腰直角三角形的旋转7. 四边形旋转模型（1）正方形的旋转：（2）对角互补模型的

24、旋转：已知,；可将绕点旋转，使与重合8. “半角”旋转模型“半角”旋转模型，经常会出现在等腰直角三角形、正方形中，在一般的等腰三角形中也会有涉及习题巩固【习题1】 下列图形中，是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）A等边三角形B等腰梯形C平行四边形D直角梯形【习题2】 如图在中，可以由绕点顺时针旋转得到点与点B是对应点，点与点C是对应点），连接，则的度数是（ ）ABCD【习题3】 下列各图是一些交通标志的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D.【习题4】 如图，在44的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则其旋转中心可以是（ ）A. 点EB. 点FC. 点GD. 点H【习题

25、5】 如图，ABC绕着点O逆时针旋转到DEF的位置，则旋转中心及旋转角分别是（ ）A. 点B，ABOB. 点O，AOBC. 点B，BOED. 点 O，AODEDOCBAF【习题6】 4张扑克牌阵图（1）所示放在桌面上，小敏把其中一张旋转180后得到如图（2）所示，那么她所旋转的牌从左到右数起是（ ）A、第一张B、第二张C、第三张D、第四张 图（1）图（2）【习题7】 在平面直角坐标系xOy中，点关于原点O的对称点为 【习题8】 如图，将含30角的直角三角尺ABC绕点B顺时针旋转150后得到EBD，连接CD若BCD的面积为3cm2，则AC=_cm【习题9】 如图所示，点是正方形内一点，经旋转能与

26、重合（1）旋转中心是哪个点？（2）旋转了多少度？（3）若，求的面积PCPBAD【习题10】 如图，请你画出四边形关于点O对称的图形ADBC O【习题11】 已知，如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为A（0，0），B（1，0），C（2，2）以A为旋转中心，把逆时针旋转，得到（1）画出；（2）点的坐标为_；（3）求点C旋转到所经过的路线长yx-1-2-2-13221BAC【习题12】 如图, 已知正方形ABCD, 点E在BC边上, 将DCE绕某点G旋转得到CBF, 点F恰好在AB边上（1）请画出旋转中心G (保留画图痕迹) , 并连接GF, GE;（2） 若正方形的边长为2a, 当CE=

27、 时, 当CE= 时, FCBEDA【习题13】 如图，点C在线段BD上,ABD与ACE都为等边三角形,求BDE的度数.【习题14】 已知：在ABC中，ACB为锐角，D是射线BC上一动点（D与C不重合）以AD为一边向右侧作等边ADE（C与E不重合），连接CE（1）若ABC为等边三角形，当点D在线段BC上时，（如图1所示），则直线BD与直线CE所夹锐角为_度；（2）若ABC为等边三角形，当点D在线段BC的延长线上时（如图2所示），你在（1）中得到的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）若ABC不是等边三角形，且BCAC（如图3所示）试探究当点D在线段BC上时，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若

28、成立，请说明理由；若不成立，请指出当ACB满足什么条件时，能使（1）中的结论成立？并说明理由【习题15】 已知DCE的顶点C在AOB的平分线OP上，CD交OA于F, CE交OB于G.（1）如图1，若CD OA, CE OB, 则图中有哪些相等的线段, 请直接写出你的结论： ；（2）如图2, 若AOB=120, DCE =AOC, 试判断线段CF与线段CG的数量关系并加以证明；（3）若AOB=a，当DCE满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立, 请直接写出DCE满足的条件DOAFCBGEEGBCFAODPOABCP图1图2图3四、 圆知识精讲1. 圆的概念（1）描述性定义: 在一个平面内

29、，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径（2）集合性定义: 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径（3）圆的表示方法:用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作“”，读作“圆”（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆注意：同圆或等圆的半径相等2. 弦与弧的相关概念：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距（4）弧：圆上任意两点间的

30、部分叫做圆弧，简称弧以为端点的圆弧记作，读作弧（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形3. 圆心角与圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角4. 圆的对称性（1）轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴圆的轴对称性垂径定理（2）旋转对

31、称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合圆的旋转对称性圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系5. 垂径定理:（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧（2）垂径定理的推论1：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧（3）垂径定理的推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等6. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：（1）定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等（2）推论：同

32、圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等7. 圆周角与圆心角的概念圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角8. 圆周角定理（1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（2）圆周角定理的推论:推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，

33、那么这个三角形是直角三角形9. 点与圆的位置关系：（1）确定圆的条件圆心(定点)，确定圆的位置；半径(定长)，确定圆的大小注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定（2）点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定设的半径为，点到圆心的距离为，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内.如下表所示：位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部点在的外部.点在圆上点在圆周上点在上点在圆内点在圆的内部点在的内部10. 过已知点的圆：（1）过已知点的圆过一点的圆有无数个；圆心为平面内除点以外的任意一点过两点的圆有无数个；这些圆的圆

34、心在线段的垂直平分线上过三点的圆； 若点共线，则过三点的圆不存在；若点不共线，则存在唯一的圆过三点，且圆心为线段、中垂线的交点过n（）个点的圆；可做1个或0个.（2）定理：不在同一直线上的三点确定一个圆“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”11. 三角形的外接圆及外心（1）三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处；钝角三角形外接圆的圆心

35、在它的外部.（2）三角形的外心的性质三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；对于给定的三角形，其外心是唯一的;但一个圆的内接三角形有无数个，这些三角形的外心重合12. 圆内接四边形的概念如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，这个四边形就叫做圆内接四边形，这个圆就是四边形的外接圆13. 圆内接四边形的性质性质1：圆内接四边形的对角互补性质2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角14. 圆内接四边形的判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆15. 直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，

36、则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线直线与相交16. 切线的性质（1）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）推论：推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点：推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：垂直于切线过切点过圆心过圆心，过切点垂直于切线过圆心，过切点，则过圆心，垂直于切线过切点过圆心，则过切点过切点，垂直于切线过圆心，过切点，则过圆心17. 切线的判定（1）定义法：和圆只

37、有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线注意：定理的题设是“经过半径外端”，“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：连接半径，证直线与此半径垂直；作垂直，证垂点在圆上18. 切线长（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角如图，由可得：，即：是的平分线19. 三角形的内切圆与内心（1）三角

38、形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形（2）多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形（3）直角三角形内切圆的半径与三边的关系： 设、分别为中、的对边，面积为，则内切圆半径为，其中若，则20. 圆与圆的位置关系设两个圆为、，半径分别为、，且，与间距离为，则和的位置关系如下表：位置关系图形公共点个数性质及判定相离0与相离外切1与相切相交2与相交内切1与内切内含0与内含21. 圆心连线的性质（1）连心线定义：连心线是指通过两圆圆心的一条直线连心线是它的对称轴（2）性质：两圆相切时

39、: 切点在连心线上两圆相交时: 如果两圆、相交于、两点，那么垂直平分两圆相离时：如果两个半径不相等的圆、圆相离，那么内公切线交点、外公切线交点都在直线上，并且直线平分两圆外公切线所夹的角和两圆内公切线所夹的角两圆相离时：如果两条外公切线分别切圆于、两点、切圆于、两点，那么两条外公切线长相等，且、都被垂直平分22. 公切线的相关概念（1）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线 内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线（2）公切线的长：公切线上两个切点的距离叫公切线长23. 公切线的长（1）求外公切线的长：构造外公

40、切线、圆心距、大圆与小圆半径的差为边的特征直角三角形如图，设大圆的半径为，小圆的半径为，两圆的圆心距为，则两圆的外公切线长为： （2）求内公切线的长：构造内公切线、圆心距、大圆与小圆半径的和为边的特征直角三角形如图，设大圆的半径为，小圆的半径为，两圆的圆心距为，则两圆的内公切线长（3）公切线的性质（选讲）： 性质1：两圆的公切线长相等（两圆的外公切线长相等，两圆的内公切线长相等）性质2：如果两圆相切，则过切点且垂直于两圆连心线的直线是这两圆的公切线24. 圆的相关计算（1）弧长公式：圆的周长：弧长公式：（期中，表示弧长，表示这段弧所对圆心角度数值；表示该弧所在圆的半径）（2）扇形面积公式：圆的面积公式：扇形面积公式：（表示扇形圆心角度数值；表示半径）25. 圆锥、圆柱的侧面积与全面积（1）圆锥 圆锥的侧面积： 圆锥的全面积：圆锥