计算结构力学（全套ppt课件）.ppt

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1、计算结构力学,第一章 绪 论,1-1 概 述,结构矩阵分析利用矩阵代数理论来分析结构力学问题，是随着计算机的迅速发展而兴起的结构分析方法。计算结构力学利用计算机来进行结构的力学分析。,计算结构力学的开课目的本课程属于技术基础课，主要是强化计算机在结构分析方面的应用，是现代结构分析重要的不可缺少的手段，是专业技术能适应现代化需要的组成部分。,本课程主要研究杆系结构，可对六种杆系结构进行分析。主要采用矩阵位移法或称杆系有限元法进行分析。主要内容为建立结构刚度方程的矩阵形式及求解，程序设计和上机。要求掌握杆系有限元进行结构分析的过程；进行程序设计及计算机应用方面的训练；要求在其它专业课中融汇贯通，借

2、此达到专业技能与全面素质的提高。,本课程的主要内容和任务,1、矩阵位移法(刚度法)：以结点位移为基本未知量，建立结构的刚度方程。 2、矩阵力法(柔度法)：以结点力为基本未知量，建立结构的柔度方程。 3、矩阵混合法(杂交法)：以部分结点位移、部分结点力为未知量，建立结构的混合法方程。,结构矩阵分析的主要方法,由结构力学内容可知:刚度法只需满足平衡条件，在荷载形式一定的情况下自然满足，故普遍得到使用。柔度法要确立多余约束建立基本结构，并满足位移协调条件，要具体分析，故很难规范化统一格式编程，不易实现计算自动化。所以，工程计算一般采用矩阵位移法。,但在梁、板、壳等问题中，所假设的位移场在某些情况下不

3、能满足一些单元的协调性(C连续性问题)，故混合法或柔度法仍得到运用，并能进一步发展，现主要在板壳结构中使用。本课程主要介绍矩阵位移法。,在矩阵位移法中所有的方程组均采用矩阵的形式表示。所有的推导和运算均借助于矩阵代数，形式紧凑明了，方便程序设计。采用矩阵结构分析方法，并不改变结构力学的基本原理和基本假设。如平衡原理、叠加原理、变形协调原理、能量原理等。,本课程基本假设：,小变形假设；材料线性行为假设(结构联接为理想联结)。满足以上两个假设的结构称为线性结构。,1-2 有限单元法简介,结构理想化的概念：结构理想化是一种简化手段，如同材料力学中的计算简图的概念。在结构力学中，就是假设结构为连续体，

4、理想连接、均匀各向同性的线性结构。经上述理想化以后，即可画出结构的计算简图，其主要特点有：1、以杆件轴线代替实际杆线；2、结构联结主要有刚结、铰结、链杆联接等；3、支座可简化为活动支座、固定铰支座和固定支座等。,结构矩阵分析所采用的主要方法为有限单元法，其基本思想是：把整个结构看成是由有限个单元(杆件、平面、壳体、块体等)所组成的集合体，各个单元由结点相互连结，这就是结构的离散化，由各单元的平衡条件建立单元刚度方程，再利用整体平衡条件将各单元集合在一起，恢复为原结构，得到结构整体平衡方程(结构刚度方程)。,结构刚度方程形式为线性代数方程组，利用矩阵代数和数值计算方法编制成计算机程序，上机求解未

5、知量。由此可知有限单元法的中心思想是一分一合。由于单元的个数有限，故称其为有限单元法。,单元的类型主要有：杆单元平面单元及板单元壳单元块体单元,杆单元,平面单元及板单元,壳单元,块体单元,本课程主要研究杆系结构，称为杆系有限元。由于采用结点位移为未知量，故称为有限元位移法。在实施中，由单元的刚度方程，依各结点的集约条件，可直接形成结构刚度方程，其方法称为直接刚度法。,结构的离散化过程本课程可以对六种杆系结构进行分析：梁 刚架 桁架 排架 框排架 刚铰混合结构(或梁桁组合结构)。无论对哪一种结构，总可以假想地将它拆开，视为有限个单杆在其端点联结，可以自然剖分，亦可以细分，这些单杆称为单元，联结点

6、就称为结点(节点)。,1,2,3,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,结构的离散化过程：,(a)梁,(b)刚架,(c)桁架,(d)排架,(e)框排架,(f)梁桁组合,11,12,13,14,15,16,17,18,1-3 结点位移和结点力,结点位移包括：线位移和角位移。单元两端的结点位移又称单元的杆端位移，或称其为单元结点位移。已知杆端位移及荷载情况便可了解整个单元的变形状态，用i表示结点i的结点位移列阵；表示单元的结点位移列阵；表示结构的结点位移列阵。,桁架：,连续梁

7、：,刚架：,结点力包括：力和力偶矩。单元结点力：单元杆端力，这是结构内力，对单元而言是作用在单元两端结点上的外力。结构结点力：由于汇交于每一结点的各单元杆端力的总和即等于该结点所受的力，故结构结点力是外力，为相应的结点荷载或结点支座的支座反力。结点i的结点力列阵用Fi表示；单元的杆端力列阵用F表示 ；,结构结点力列阵用P表示；反力用R表示；结点位移与结点力的各个分量应相互对应，如： i与Fi,与P；结点位移编号(或结点力编号)与结点编号有关。结点编号是人为的，现已可用程序实现结点自动编号；在进行结构分析时，首先应编好结点号。结点编号的好坏直接影响计算精度及内存，其原理是应尽量使每个单元两端结点

8、号的差值最小。,1-4 基本未知量,如何确定结构的基本未知量?根据有限单元法的离散化要求，各个单元仅在结点处联结，因此只有结点处的力学量(结点位移或结点力)可以作为基本未知量。由于矩阵位移法采用位移为未知量，故在有限元位移法中采用结点位移作为未知量。因为荷载已知，此时相应的结点力向量应为已知，这对于一般结点均满足。,关于支座情况，需要进行约束处理。因为结点力包括了支座结点反力，这在通常情况下为未知，这点看来与上述要求不符。但由于在不考虑弹性支承情况下，有结点反力的这部分支座位移通常已知(零或已知沉降量)，不需求解，可在结构刚度方程中将这一方程划去，这就是约束处理。直接刚度法分为前处理法及后处理

9、法。,前处理法在形成结构刚度矩阵之前，也就是在建立结构刚度矩阵之前考虑到实际的约束情况，再形成结构刚度矩阵。后处理法在形成结构刚度矩阵之前，先不考虑支承情况，而在形成结构刚度矩阵之后，再根据约束情况对结构刚度矩阵进行修改。很明显，前处理法可减少存贮单元。,本课程采用前处理法，具体的约束处理如下： 对于一般结点(指无约束的结点)的未知量编号，在对结构的全部结点编号后即可确定；对于整个结构的全部未知量编号，还需要加上支座的未知量编号；这实际上就是要对结构的支座约束进行处理，这是结构分析中非常重要的环节。,例1：对图示一般刚架进行结点和未知量编号。解：先编结点号，后根据每个结点三个未知量进行未知量编

10、号。,对支座进行约束处理，可通过约束特征数来实现。支座约束特征数：表示支座结点的某一位移未知量有无刚性约束的人为赋值数字。有约束：约束特征数为1；无约束：约束特征数为0。显然，有约束则无位移未知量，无约束则有位移未知量。对于采用刚架单元的平面杆系结构，其支座约束特征数如下：,例2：对图示结构进行结点未知量编号。解：结点编号如图所示，未知量编号见表1。若不考虑杆件的轴向变形，则未知量编号见表2。,例3：刚铰混合结构解：因铰处有两个转角未知量，因此多编一个结点号！（见表1）若不考虑杆件的轴向变形，则未知量编号见表2。,2,例4：梁桁组合结构,1-5 轴力杆单元刚度方程(桁式单元),首先介绍坐标系的

11、概念。 1、结构坐标系(整体坐标系)； 2、自身坐标系(局部坐标系)。局部坐标系建立在单元上，由始结点至终结点，用“ ”作记号。,由结构力学位移法可知，杆单元的平衡方程可写成k=F的形式，其中,k为22阶的单元刚度矩阵，现予详细介绍。单元刚度系数kij的定义：仅当：时在i处所需施加的力。取单元两端轴向位移为未知量：u1、 u2如右图所示。,当u1=1、 u2=0时，由刚度系数的定义可知：F11=k11u1=k11F21=k21u1=k21当u1=0、 u2=1时，F22=k22u2=k22F12=k12u2=k12,这里也可由刚度系数的定义直接得到,当局部坐标系和整体坐标系不重合时，如竖杆、斜

12、杆等，其刚度方程（或刚度矩阵）如何推得？一般可通过坐标变换（后面再详细介绍），现再利用静力法推导杆单元在整体坐标系中的刚度方程。,此时，杆单元每端有两个未知量：,而u1、v1所引起的杆端力可由类似方法得到，令cos=l,sin=m，最后可将单元的刚度方程写成：,可将上面的单元刚度方程写成矩阵形式：,1-6 刚度法的基本概念,采用结构力学中位移法的基本方法，建立结构的刚度方程，现以下面的超静定桁架为例来说明。例： 求图示结构各杆的轴力，A=2000mm2, E=200KN/mm2。,解： 为未知量，刚度法基本步骤：1、列出结点的平衡方程（如有多个结点，均应依次列出）,3、物理量线刚度,(*),最

13、后结构刚度方程（）是由平衡、变形、物理条件形成，若能由计算机直接形成（），即这三步均可不列，过程得以简化，关键在于求K、P;求K的主要过程在于第3步，相当于单元分析，如果能求得各类单元的统一公式，求K则只是程序设计而已。 上述二点为刚度法的主要点，由此可设想直接刚度法的具体过程。,讨 论,1-7 坐标系与单元定位向量,确定结构上各点(特别是结点)的位置及几何参数，坐标系类型主要有： 1、整体坐标系(结构坐标系、固定坐标系)。 2、局部坐标系(自身坐标系、活动坐标系)。,一、建立坐标系的目的,说明：图示中所示方向均为正向；结构坐标的原点可任意设置，通常设在左下角；单元坐标系的原点规定设在单元的始

14、结点，由此可确定y轴的正向，及转角的正方向。,二、单元定位向量,定 义：它是按单元结点编号顺序由单元各结点的未知量编号所组成的一列数字(列向量)，其分量即为该单元结点的未知量编号。,1、直接确定各单元刚度矩阵在结构刚度矩阵中的位置，由此可极其方便且准确无误地形成经约束处理后的K； 2、可将单元的等效结点力Fe叠加到P中； 3、可从中取出； 4、解决一维变带宽存贮的寻址问题； 5、边界或约束处理； 6、利用主从关系可模拟各种类型的结构等。,单元定位向量的主要用途(在直接刚度法中)：,可以说，程序设计的自始至终，在每一个环节都离不开单元定位向量，计算机自动化计算所需的信息主要由它提供，所以在程序设

15、计中是各模块的组织者，起到主线的作用，占有非常重要的地位，值得深入研究。对每个单元 ，只要知道i、j及两端结点的未知量编号，即可确定每个单元的定位向量 MW (6)。,e,e,例：求图示刚架各单元的定位向量MW(6)。解：结点及单元编号如图，单元定位向量列表如下：,1-8 形成结构单元定位向量的程序设计,采用平面刚架单元进行分析，首先介绍几个概念： 1、特殊结点凡未知量不足三个的结点称特殊结点。介绍一些常用的数组和变量： NJ：结点(总)数 NJT：特殊结点数,2、约束特征数表示结点的某一位移方向有无约束或该位移是否是无效未知量的人为赋值数字。,1：表示有约束，沿该方向位移为零。0：表示无约束

16、，沿该方向可以有自由位移。10001：表示无效的未知量。,3、主从关系表示非独立的结点位移未知量与主结点位移之间的从属关系。主从关系由约束特征数表示：即从结点相应未知量的约束特征数可直接填主结点号，当主结点为1时，以1001代替。,4、结点未知量编号数组JW(3，NJ)这是形成单元定位向量所必须的数组，要形成JW(3，NJ)，则要了解结点约束情况，杆系类型 (无效未知量情况)，主从结点情况，故应先输入特殊结点信息，以JTX(4，NJT)表示。以上过程简称约束处理，需事先在程序中作为输入语句。,例1 形成图示刚架结构的JTX(4,NJT)。,解：本例特殊结点数NJT=2，特殊结点信息数组JTX(

17、4,2)为,凡从属结点都应作为特殊结点处理，要填约束信息，允许一主多从，而不允许一从多主。 JTX(4，NJT)的填写是项很认真的工作。编写好这个数组，就可以用一般平面刚架单元的程序设计来分析各种类型的杆系结构。,注 意：,例1连续梁,解：本例NJT=4,例2桁架,解：本例NJT=4,例3刚铰混合结构分二种情况 EA=const； EA=,EA=， NJT=6,解： EA=const ，NJT=3,C PROGRAM OF MWEXAM DIMENSION JH(2,20), JTX(4,20),JW(3,20),MW(6) WRITE(*,*) FINDING THE MW(6) OF *

18、ELEMENTS OPEN(1, FILE = MWE.DAT ) READ(1,*) NE,NJ,NJT READ(l, *) (JH(I,J),I=1,2),J= 1,NE) READ(1, *) (JTX(I,J),I=1,4),J = 1,NJT) CALL QJW(NJ,NJT,JTX,JW, N),形成单元定位向量的程序设计,DO 10 M= 1 ,NE CALL QMW ( M, NE, NJ ,JH,JW, MW)10 WRITE(*, 100) M, (MW(I), I = 1,6)100 FORMAT(1X,ELEMENT No. =,I5,/6X,MW * = ,615)

19、 STOP END,SUBROUTINE QMW(M,NE,NJ,JH,JW,MW) DIMENSION JH ( 2, NE ), MW(6 ), JW ( 3 , NJ ) JL = JH(1, M) JR = JH(2, M) DO 100 J=l,3 MW(J) = JW(J ,JL )100 MW(J + 3) = JW(J ,JR ) RETURN END,子程序QJW见书14页子程序QMW为：,数据文件为： 9,8,2 3,1,4,2,5,3,6,4,7,5,8,6,1,2,3,4,5,6 7,1,1,1,8,1,1,1习题2：就本节三个例题，分别写出相应结构 的单元定位向量 上

20、机计算并打印结果,例4：编写本节例1三层刚架求MW的数据文件。,第二章 功能原理,计算结构力学,1、静力法推导桁式单元的单元刚度矩阵已较为麻烦，复杂单元就更为困难只能求助于功能原理。2、静力法推导结构刚度矩阵也很困难，由功能原理可推导出组装结构刚度矩阵的直接刚度法。3、处理单元荷载。4、由于实际问题的复杂性，用静力法往往较为困难，求助于功能原理可以求得各种问题的精确解或近似解。5、了解功能原理和力学上的平衡原理(或变形协调原理)的等价性。,2-1 概述:学习功能原理的目的,一、基本知识,1、静力加载(比例加载)。 2、应变能：弹性体因受外力作用变形而具有恢复原状态的能力，即具有做功的能力，又称

21、为形变势能。 3、功能方程(前提：静力加载；无耗散功Q=0)：在微小的t 内，荷载在结构位移上所作的功全部转变为应变能：W=U。 4、总势能：结构的形变势能+荷载势能=U+V,二、先修有关概念,1、虚位移：为约束所允许的，在平衡附近的，可任意虚设的微小位移。所谓虚，并非指不存在，而是指与实际的力态独立无关。 2、理想约束：实际力态的约束力在虚设的位移态上所做的功恒等于零的那种约束。 3、虚功 W*=F u* (1)虚功并非不存在，只是强调功的两要素独立无关。,2-2 虚位移原理,一、几个概念,4、虚应变能(内力虚功、虚变形能、虚变形功)。 式中：力F所引起的应力(力态)； *：虚位移u* 所引

22、起的虚应变(虚设的位移态)。,(2),虚位移原理的叙述：弹性结构处于平衡状态的必要与充分条件是对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功W*等于虚变形功U* (虚应变能，内力虚功)。研究对象：实际的力态。虚 设：位移态(满足变形协调条件)。 于是，虚功原理可表述为： 体系平衡 W*=U* (3) 其中：在虚设的任一几何可能的位移态上。,二、虚位移原理及其证明,证明： 以最简单的杆件结构为例，如图：杆端力：结点对单元的作用力。结点力：杆端对结点的作用力称为结点力。杆端力和结点力是作用力和反作用力。对结点1，由平衡条件X=0:P1-F12=0对结点2，由平衡条件X=0:P2-F21-F23=0,(4),

23、外力虚功为： 式中：表示微小，* 表示虚设。虚应变能为：,注意:虽然是就上述特殊情况进行的证明，但可推广到其它的受力状态及由若干个单元所组成的弹性结构。,关于虚位移原理的讨论： 1、仍然是一个(虚功)体系，两个状态； 2、力态静力可能的证明，建立在位移态(虚设)的几何可能上； 3、若力态转换成位移表达式，则要求力态变形协调； 4、力态和虚设的位移态一定是独立无关。,2-3 虚应变能与外力虚功,利用虚位移原理于具体问题时，必须列出虚应变能U*和各种荷载的外虚功W*，本节以平面杆系为例，具体介绍虚位移、虚应变、虚应变能、外力虚功的概念及表达式。,一、虚应变能,这里，“*”表示“虚设”，为一阶变分算

24、子，“”与“d”的运算规律相同，意义类似，亦可看成是“微小”。3、虚应变能(内力虚功),1、虚位移,2、虚应变,忽略剪切应变,(5),(6),1）、轴向拉压实际的力态x；虚设的位移态u*，所引起的虚应变为,(7),2）、弯曲实际的力态Mz；虚设的位移态,则,(8),对于三维应力状态。设实际的力态为：虚设的位移态为：则虚应变能为:对于仅考虑拉压、弯曲的杆件，由小变形假设，故可分开表示为：,(9),与前述单独变形的结果一致。,1、集中荷载情况实际的力态Pi虚设的位移态 则2、分布荷载情况实际的力态q(x)虚设的位移态则3、既有1又有2的情况，则W*为1与2之和。,(10),(11),二、外力虚功,

25、2-4 虚位移原理的应用,应熟练了解运用虚位移原理的前提条件。 虚位移原理的研究对象是实际的力态，实际力态的平衡关系以及实际力态中力与位移之间的关系。为此，需任意虚设一位移态，此位移态一定要几何可能。,杆件位移态的几何可能条件,主要应用： 1、推导各类单元的刚度矩阵，将在后面章节重点介绍； 2、求结构内力与位移，注意方法过程，详请参考结构力学教程，运用中应特别注意u*、 v*为任意虚设的位移，u、v为实际的位移，两种位移应独立无关。,式中h2i称为转移系数，具体可求出。现求：仅当发生变形e2时，求相应的i(如图)。为此，可虚设此位移态，则力态的外力在此位移态上的外力虚功为：W*=Pii,虚位移

26、原理应用举例设仅有Pi=1时，在单元中引起的内力的h2i；则由于为线性结构，当为Pi时， 中内力为 F2=h2iPi (12),1,i+1,虚变形功为： U*=F2e2=h2iPie2由虚位移原理 W*=U*便有 Pii=h2iPie2最后得 i=h2ie2 (13)这就是应用虚位移原理的实例。,即当单元有单位变形时，未知量i方向上的位移亦为h2i，因此可说系数h2i是把Pi“转移”为中内力F2的系数，或者说是把单元的变形“转移”为i方向位移的系数。这是很重要的概念 (逆步变换的概念)，反映了结构本身的属性。,力和位移、应力和应变均称为结构分析中的对偶参数，本节主要完善虚功的对偶性原理。介绍虚

27、力原理的目的：导出柔度矩阵，作为在特殊情况下推导刚度矩阵的补充，其它应用情况暂略。研究对象：实际的位移态。虚设状态：任一静力可能的力态。,2-5 虚力原理简介,与外力虚功对应的是虚余功： (1)与虚应变能对应的是虚应变余能： (2),弹性结构处于变形协调状态的必要与充分条件是：对于平衡的任意虚力系在结构实际位移上所作的虚余功等其虚应变余能。即： (3)其中：在任一静力可能的虚力态上。,虚力原理,2-6 能量原理,介绍结构在外力和在该外力所引起的位移及变形上的功能情况。主要内容包括 ：结构总势能，势能驻值原理和势能极小原理。1、结构总势能的定义以杆件为例=U+V=U-W(1),可知W是位移的二次

28、函数；由于应变和位移是线性关系，故U亦是位移的二次函数。,（2）（3）（4）,3、势能极小原理 即：对于稳定平衡，真实位移总是使取极小值。(证明参见结构力学教程),2-7 互等定理,1、功的互等定理 当结构处于线弹性状态时，力P1在由P2所引起的位移上所作的虚功等于力P2在由力P1所引起的位移上所作的虚功，即P1T2=P2T1(1),在单个力的作用下，功的互等定理可表为P112=P221（4）,求。解：由功的互等定理：,例：已知,3.反力互等定理：由功的互等定理亦可得到r12=r21或k12=k21上式中rij为反力影响系数，kij为刚度系数。,例2：已知=1时M=6i/l，求=1时Q=？解：

29、令侧移为1(序号)，转角为2 (序号)，则M=K21=6i/l由反力互等定理可知Q=K12=6i/l,=1,M=6=K,i,l,21,=1,Q=6=K,l,i,12,计算结构力学,第三章 坐标变换,物理量的内涵与所描述时选用的坐标系无关，如力F(F),引 言,O,4,3,F,F,x,x,y,y,在xoy系:在xoy系:显然，在x oy系中描述较为简单。又如桁架单元的刚度矩阵，在x oy系中为：,在xoy系中为：,所以，坐标系的选择，可以简化问题的描述。由于在结构分析中需要列出在结构坐标系下的刚度方程并进行求解，而单元刚度矩通常都在自身坐标系(xoy)中形成较为方便，故要找出二者的变换关系。,此

30、外，在整体坐标系下求得位移后，还需找出在单元坐标系下的位移，才能求得单元杆端力。单元等效结点力也需要变换到整体坐标系中去，故需要找出：杆端位移； 杆端力； 单元刚度矩阵在局部坐标系与整体坐标系之间的变换关系，并找出相应的变换矩阵。,3-1 坐标变换的几何概念,仅考虑平面变换，三维问题可类推。1、坐标系的平移变换设o(x0 y0)，显然有（1）,2、坐标系的旋转变换,x,O,y,y,x,P(x,y),P(x,y),3、旋转变换矩阵的讨论R：坐标系旋转的变换矩阵，由(7)式可得： (9)式中J为变换Jacobi矩阵，显然|J|0，回忆高数定理：|J|0 变换存在且可逆(两坐标系之间的关系单值连续)

31、。如仍由(7)式，得逆变换形式为X=R-1X=J-1X (10) 当|J|=1时，为正交变换(正交坐标系之间的变换)。,正交变换的性质：R-1=RT对于本例上述结论很容易推广到三维甚至是多维情形，如对三维则,(12)(13)(14),4、向量的旋转变换因为点可看成是向量的矢端，故力矢、位移矢的旋转变换矩阵与坐标变换矩阵一致。 5、空间直角坐标系旋转变换矩阵中各元素的关系旋转变换矩阵共有9个元素；由正交性可列出共六个独立方程，因此，只要知道三个元素即可得到R。,3-2 逆步变换,对一个力或一个位移进行变换，通常仅仅意味着用另一种方式来描述这些量，如对力F的坐标旋转变换。 广义力 广义位移,1、逆

32、步变换的概念设在xoy坐标系,在x oy坐标系,现在研究与力矢相应的位移之间的变换关系,且由于坐标的变换不会引起虚功的变化，即TF=TF(5)或FT=FT(6)在(6)式中代入(3)式，得FT=(HF)T=FTHT由上式即得到=HT(7)(7)便称为(3)的逆步变换。现在设位移之间的变换为：=R(8),代入(5)式:TF=(R)TF=TRTF亦得到F=RTF(9)(9)式便是(8)式的逆步变换。逆步变换之所以能够成立，关键在于虚功的不变性!,涉及力之间或位移之间的各种线性变换在一定条件下都遵循逆步变换规则。搞清楚这个规律，不仅有助于系统地理解和记忆有关公式，而且更重要的是在进行单元或整体分析时

33、，它是一个有力的工具。例如：有时通过物理关系很容易求得力的变换关系，而不易求得位移的变换关系，但通过逆步变换即可方便地求得，反之亦然。,注 意,例1 如下图已知求与之相应的。,例2 如图3.6，设当Pi=1时，在单元中引起的内力为h2i，则当为Pi时，中内力为：F2=h2iPi 求：仅由发生单元变形e2时，i=?,解：由逆步变换，一步可得：i=h2iTe2，由于h2i为一个数h2iT=h2i 亦即：i=h2ie2,2、杆单元的旋转变换设杆单元在结构坐标系及单元坐标系小的刚度方程分别为F=K F=K 若已知单元结点位移的变换为：=T 这里 ,则的逆步变换为F=TTF 在中分别带入、式，有：F=T

34、TK=TTKT比较，可知K=TTKT 这就是直接刚度法中普遍运用的公式，在有些教材中的推导是在式中联立F=TF ,由此F=T-1F再代入、F=T-1K=T-1KT比较：K=T-1KT再利用T为正交矩阵T-1=TT将式化为式。实际上式成立与否与T是否是正交矩阵无关，当T不是正交矩阵时，式成立而式是不成立的。这应引起我们的充分重视，这只能运用逆步变换的概念才能说清楚。,1、若把向量的分量看成是坐标系中某点坐标的话，则坐标系旋转变换的公式自然适用向量的旋转变换；故力向量或位移向量的旋转变换公式与坐标变换公式一致。2、若旋转变换式V=RV(1)其中R可逆，则上式的逆变换为V=R-1V(2)若两个坐标系

35、都是正交的，则R-1=RT(3),3-3 向量的旋转变换,3、重点介绍应力向量的旋转变换 设空间直角坐标系下一点的应力和应变状态分别为=x y z xy yz zx=x y z xy yz zx以及旋转变换后该点的描述及。设=H由此得到=H-1(4)由逆步交换=HT(5),并设=H亦可得到：=H-1(6)由逆步交换得=HT(7)故有H-1=HT(8)或H-1=HT(9)可方便地使我们从一种已知变换求出另一变换。,而求逆相当于变换-角度，亦可将x, y和x, y的方向余弦对换即可换成x, y分别对x, y的方向余弦,3-4 矩阵的旋转变换,本节纯粹从数学上描述矩阵的旋转变换。设在旧系中定义方阵A

36、，求坐标系旋转后的其表达式A。令U=AV(1)式中V为任意向量，若这个向量在新坐标系中存在U=AV(2)则由向量的旋转变换可知U=RU(3),V=RV (4)其中R为旋转变换矩阵，将(1)代入(3)式U=RAV (5)将(4)代入(2)U=ARV (6)比较(5)、(6)RAV=ARV (7)V0，且任意RA=AR (8),由上式并得A=RAR-1(9)这就是坐标系在旋转变换后在新系中A表达式。若是正交变换，R-1=RT则A=RART(10)逆变换为A=R-1AR(11)当为正交变换时A=RTAR(12),设k为在局部坐标系下的单元刚度矩阵，k为在整体坐标系下的单元刚度矩阵，则有变换：k=TT

37、kT(13)式中T为单元的坐标变换矩阵。,第四章 单元刚度矩阵,计算结构力学,形成单元刚度矩阵是整个结构分析中的一个重要环节。静力法推导利用了结构力学中的转角位移方程，也是采用了Euler梁理论的结果。Euler梁：简单梁有限元分析的计算精度在很大程度上取决于单元刚度矩阵，也就是取决于单元形状函数(位移函数)的选择。,4-1 概 述,单元位移函数：指单元位移场，或称形状函数。在形成单元刚度矩阵前需事先假设，如梁单元可假设为三次多项式等，位移函数一般选取代数多项式。,一、单元位移函数,二、选择位移函数应遵守的准则,1、允许发生刚体位移(不产生单元自应变)；2、能反应常应变。,Kij的定义K的某一

38、行的元素表示中六个分量分别发生单位位移时所引起F中某一分量的值； K的某一列的元素表示中某一分量发生单位位移时所引起F中六个分量的值。,三、单元刚度矩阵中行列元素的物理意义,4-2 平面刚架的单元刚度矩阵(静力法推导),分别采用静力法、能量法(虚位移原理和势能驻值原理)推导局部坐标系下的单元刚度矩阵。为方便计，均省略“ ”的记号。,1、单刚是对称的，Kij=Kji 反力互等定理,讨论：,2、单刚是奇异的，不存在逆矩阵，如第一行(列)加第四行(列)等于零，或第二行(列)加第五行(列)等于零。 奇异性的说明：没有约束的自由体是不能求解位移的，故要引入足够的约束条件消除刚体位移，这样也就消除了矩阵的

39、奇异性。,令则单刚便可写成简洁的形式，以利编程。3. Kii0,4-3 利用能量原理推导轴力杆单元的刚度矩阵(积分法),1、选择位移函数考虑图示桁架单元(等截面直杆)在杆端力作用下杆内应力应变均为常量，根据轴力杆单元的几何条件(应变-位移关系)，故可将单元位移场选为：u=a1+a2x(1)其中：u=u(x)即为单元位移函数(单元位移模式),式(1)中：a1刚体位移项；a2常应变项。满足单元位移模式的选择准则。将(1)式写成矩阵形式u=XTa(2)式中：XT=1 x aT=a1 a2,y,(11)(12)(13),5采用虚位移原理推导任给单元一个虚位移u*(x)，并设结点虚位移为*，于是虚应变能

40、可写为,(14)(15)(16),(17),(18)(19)(20),4-4 利用能量原理推导梁单元的刚度矩阵(积分法),仍采用虚位移原理和势能驻值原理进行推导，现讨论较复杂的等截面直梁单元(如图)，采用Euler梁理论。,1、选择位移函数因不考虑分布荷载(均简化为等效结点荷载处理)，故有EI=q(x)=0，由此得 v=v(x)=a1+a2x+a3x2+a4x3=XTa (1)v(x)满足刚体位移及常应变准则。,(2)(3),Ni(x)仍满足： 0l 特性； 在区间内仍按(1)式的形式变化(三次函数)。(7)式称Hermite型插值(不考虑函数本身，包括函数的导数均作为内插函数)。 3(广义)

41、应变的插值形式,4(广义)应力的插值形式=(x)=M(x)=EIXz(x)=EIB(10)5用虚位移原理 任给梁单元一个虚位移v*，则结点虚位移为*，虚应变能为,(11)(12)(13),将桁式单元和梁式单元的单元刚度矩阵进行归并，便得到一般刚架单元的刚度矩阵。 上述推导均是在局部系进行的，实际上应为K，由矩阵的旋转变换，在整体坐标系下的单元刚度矩阵应为K=TTKT,在上式K中代入(4-2-3)式,并在T中令cos=l，sin=m，完成矩阵相乘，得到,上面给出了经坐标变换后单元刚度矩阵K的表达式，要仔细研究，发现其刚度元素共有7个常数(其余只是符号的变化)，根据对称性，单元刚度矩阵共有21个系

42、数，均由这7个常数通过符号变化组成。 程序没计详见附录程序中的SUB.QXS，SUB.DKX 也就是说，组成每个变换后的单刚只需7个系数，将其存入计算机(程序)，只需输入该单元相应的参数s，s1，s2，s3，s4，便可得到这7个系数，从而由上式可直接得到坐标交换后的单元刚度矩阵K。,习题3 试用静力法和能量法两种方法推导图示单元的刚度矩阵。可令l1=l2=l/2,EA1=2EA2进行推导。,i,j,e,习题4 用静力法推导图示梁单元的刚度矩阵。,习题5 试求图示平面桁架单元的单元刚度矩阵K 已知：E=2.0X107KNm2，A=0. 2m2。单元始端i和末端j的坐标如图示:若=10-3X0.1

43、05 0.455 0.22 0.564T求单元轴力N。(参考答案N=39.08KN),习题6 试求图示平面刚架单元的坐标变换矩阵T以及K、K。已知：E=2X 107KN/m，A=0。25m2，I=5X10-3m4。部分参考答案：K12=130.76K22=76.92K33=16.0K44=130.76K55=76.92K66=16.0X104,第五章 结构刚度矩阵 与荷载向量,计算结构力学,5-1 概述,以图示框架结构为例，设有n个未知量:,相应的结点荷载向量为:,则结构刚度方程可写为:,K-称为结构刚度矩阵(或称总刚度矩阵),本章讨论K的形成及程序设计，以及P的形成。,5-2 应用能量原理形

44、成 结构刚度矩阵,其中:,结构在外荷载作用下的总势能可以写成：,NE是单元数,单元结点位移,整体坐标系中的单元刚度矩阵,NF单元自由度数,N结构未知量总数,C0或1。指明单元结点位移向量是由结构结点位移向量中的哪几个分量所组成,令:,(5)式反映了结构的离散过程，实际上表明了结构离散化后的变形协调条件。,将(5)式代入(3)式：,结构总势能为：,于是：,K是由k经过C变换后装配而成。,由于势能驻值原理等价于平衡方程，故装配总刚的有限元集合过程遵循平衡条件。,CNFxN是单元定位向量的增广写法：一个单元对应一个Ce，且有：,讨 论,例1：,解：给单元结点编号，并写出各单元 的定位向量：,1,2,

45、由(5)式可写出各单元的结点位移向量与结构结点位移向量的关系式：,由此可得到各单元的C,如对第单元，可写出:,即Cij的行号与MW e的行号一致，把 的序号作为C 的列号j，便可由MW e得到C e 。,5-3 按单元定位向量装 配结构刚度矩阵,MW处理了约束，以及主从关系，无效未知量等特殊结点信息，也是C矩阵的实用(增广)写法。,MW是按单元结点编号顺序由结点的结构未知量编号顺序所组成的向量(列阵)。,单元定位向量可方便地指出单元的各个未知量在结构总体未知量中的对应位置(总体序号)。由此也就可以确定单元刚度矩阵中的元素在结构刚阵中的位置。,例2：求图示连续梁的结构刚度矩阵。,注意以下写法：,

46、得到结构总刚度矩阵为：,主系数与副系数: 相关未知量：相关结点：相关单元：,结构刚度矩阵的组成规律专有名词,凡未知量i的相关结点所在单元称为末知量i的相关单元。,与未知量i在同一单元的未知量叫做未知量i的相关未知量。若i，j相关，则Kij0若i，j不相关，则Kij=0,未知量i的相关未知量所在结点称为未知量i的相关结点。,5-4 形成结构刚度矩阵的直接刚度法,不是列向量乘行向量,也不是向量的内积(点积),ai与bi不进行任何运算。,2、由单元定位向量的指标并积形成下标矩阵,如果将某个单元的定位向量代入上式，由上节中的例题可明显看出H中的元素就表示这个单元的刚度系数在结构刚度矩阵K中的下标。,解

47、：如图,各单元的定位向量为 ：MW=1 2T MW=2 3T,例3：求图示连续梁的单元刚度矩阵在结构刚度矩阵中的下标矩阵。,根据并积定义：,清楚地表明了各单刚系数在总刚中的位置，参考前节例题,例4：求图示刚架中第单元的刚度系数对结构刚度矩阵的贡献。,式中圆括号内的元素就是第单元刚度系数在K中的下标。式中含零的元素说明单刚中此元素经C夹乘后为零,参考(5-2-9)式,不须叠加,只有H中的元素与结构K中下标一致时才进行叠加。这样便可根据单元定位向量的并积作为结构刚度矩阵K的下标直接来装配结构刚度矩阵。这就是直接刚度法。,上式并积的进一步说明：单元结点位移的序号为 1 2 3 4 5 6 (I,J)

48、单元的定位向量为 0 0 0 1 0 2 (L,K)则意味着：,表示叠加到结构刚阵中去,由此可看出：由MW的并积形成下标矩阵，完全确立了单刚k中的元素在总刚K中位置，从而由数学的角度说明了用MW装配K的过程。,上述过程的FORTRAN程序模块可写成：L=MW(I)K=MW(J)ZK(L,K)=ZK(L,K)+DK(I,J),3、形成K的程序设计框图,本章新的变量和数组:NAI：EA或EI分组数(截面特性分组数)；DK(I,J)： 单元刚度矩阵，其中I,J(16):单刚的行列号；ZK(L,K)： 结构刚度矩阵,其中L,K(1N):总刚的行列号。,程序设计框图,4、形成结构刚度K的源程序设计,C

49、THE PROGRAM OF KJEXAM DIMENSION JW ( 3,20 ),J TX (4,20), JH ( 2,20 ), * MW (6), JMH ( 20 ) REA L * 8 CX (20), SY ( 20 ), SL (20),EA ( 5 ), * X (20),Y(20),XSA ( 20,7 ),ZK (50,50), El (5) WRITE(*,*) FINDING THE MW OF EI.EMENTS OPEN( 1, FILE = KJE. DA T ),数据文件名为KJE.DAT,READ( 1,*) NE, NJ,NJT,NAIREAD( 1,

50、* ) ( (JH( I,J ),I = 1,2),J =1,NE )READ( 1,* ) (JTX( I,J),I=1,4),J=1,NJT) READ( 1,* ) (JMH(I),I= 1,NE)READ( l,* ) (EA(I),I= 1,NAI)READ( l,* ) (EI(I),I=1,NAI)READ(1,* ) (X(I),I=1,NJ)READ( l,* ) ( Y(l),I=1, NJ)CALL QJW ( NJ, NJT,JTX,JW,N)DO 10 M= 1,NECALL QMW ( M,NE,NJ,JH, JW,MW)WRITE( *, 100)M, ( MW(