弹性力学平面问题课件.ppt

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1、弹性力学,主讲 ：张 盛 能源科学与工程学院,2-5 物理方程 弹性模量， 泊松比2-6 边界条件 应力边界，位移边界，混合边界2-7 圣维南原理 静力等效， 原理应用,上讲回顾（引言）,2,2022/12/9,平面问题的基本方程,1. 平衡微分方程,（2-2）,2. 几何方程,（2-9）,3. 物理方程,（平面应力问题）,（2-15）,4. 边界条件,位移：,（2-17）,应力：,（2-18）,例7,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面：,代入应力边界条件公式,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,上端面：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,

2、y方向力等效：,对O点的力矩等效：,x方向力等效：,注意：,必须按正向假设！,上端面：,（方法2）,取图示微元体，,可见，与前面结果相同。,由微元体的平衡求得，,2-8 按位移求解平面问题2-9 按应力求解平面问题 相容方程 （重点）2-10 常体力情况下的简化,本讲主要内容,6,2022/12/9,2-8 按位移求解平面问题,2022/12/9,ZS,平面问题的基本方程,1. 平衡微分方程,（2-2）,2. 几何方程,（2-9）,3. 物理方程,（平面应力问题）,（2-15）,4. 边界条件,位移：,（2-17）,应力：,（2-18）,2、弹性力学问题的求解方法,（1）按位移求解（位移法、刚

3、度法）,以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。,（2）按应力求解（力法，柔度法）,以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。,（3）混合求解,以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。,3、按位移求解平面问题的基本方程,（1）将平衡方程用位移表示,由应变表示的物理方程,将几何方程代入，有,（2-19）,（a）,将式(a)代入平衡方程，化简有,（2-20）,（2）将边界条件用位移表示,位移边界条

4、件：,应力边界条件：,（a）,将式（a）代入，得,（2-21）,（2-17）,式（2-20）、（2-17）、（2-21）构成按位移求解问题的基本方程,说明：,（1）对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。,（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。,（3）按位移求解平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2-20）,（2）边界条件：,位移边界条件：,（2-17）,应力边界条件：,（2-21）,相容方程,2-9 按应力求解平面问题,2022/12/9,ZS,1、变形协调方程（相容方程）,按应力求解平面问题的未知函数：,（2-2）,平衡微分方程：,2个方程方程，3个未知量，为超静定问

5、题。,需寻求补充方程，,从形变、形,变与应力的关系建立补充方程。,将几何方程：,（2-9）,作如下运算：,显然有：,（2-22）, 形变协调方程（或相容方程）,即： 必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能求得这些位移分量。,例：,其中：C为常数。,由几何方程得：,积分得：,由几何方程的第三式得：,显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。,2、变形协调方程的应力表示,（1）平面应力情形,将物理方程代入相容方程，得：,（2-22）,利用平衡方程将上述化简：,（a）,将上述两边相加：,（b）,将 (b) 代入 (a) ，得：,将 上式整理得：,（2-23）,应力表示

6、的相容方程,（2）平面应变情形,将 上式中的泊松比代为： ， 得,（2-24）,（平面应力情形）,应力表示的相容方程,（平面应变情形）,注意：,当体力 fx、fy 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,（2-25）,3、按应力求解平面问题的基本方程,（1）平衡方程,（2）相容方程（形变协调方程）,（2-23）,（3）边界条件：,（平面应力情形）,说明：,（1）对位移边界问题，不易按应力求解。,（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。,（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。,例8：例9：图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用

7、，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。,课堂练习与讨论,2022/12/9,ZS,例8,下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。,（1）,（2）,解,（a）,（b）,（1）,将式（a）代入平衡方程：, 满足,将式（a）代入相容方程：,式（a）不是一组可能的应力场。,（2）,解,将式（b）代入应变表示的相容方程：,式（b）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。,例9,图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力

8、 和剪应力 的表达式，并取挤压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。,解,材料力学解答：,式（a）满足平衡方程和相容方程？,（a）,式（a）是否满足边界条件？,代入平衡微分方程：,显然，平衡微分方程满足。,式（a）满足相容方程。,再验证，式（a）是否满足边界条件？, 满足,满足,近似满足,近似满足,结论：式（a）为正确解,代入相容方程：,上、下侧边界：,右侧边界：,左侧边界：,例7,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面：,代入应力边界条件公式,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,上端面：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,y方向力等效

9、：,对O点的力矩等效：,x方向力等效：,注意：,必须按正向假设！,2-10 常体力情况下的简化,2022/12/9,ZS,1、常体力下平面问题的相容方程,令：, 拉普拉斯（Laplace）算子,则相容方程可表示为：, 平面应力情形, 平面应变情形,当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,或,（2-25）,2、常体力下平面问题的基本方程,（1）平衡方程,（2）相容方程（形变协调方程）,（3）边界条件,（2-18）,（4）位移单值条件, 对多连通问题而言。,讨论：,（1）, Laplace方程，,或称调和方程。,（2）,常体力下，方程中不含E、,（a）,（b）,不同材料，具有相同

10、外力和边界条件时，其计算结果相同。, 光弹性实验原理。,（3）,用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。,3、常体力下体力与面力的变换,平衡方程:,相容方程:,边界条件:,令：,常体力下， 满足的方程：,(a),将式(b)代入平衡方程、相容方程、边界条件，有,(b),(c),表明：,（1）变换后的平衡方程、相容方程均为齐次方程（容易求解）；,（2）变换后问题的边界面力改变为：,结论：,课堂练习与讨论,2022/12/9,ZS,例10：,p,图示深梁在重力作用下的应力分析。,原问题：,体力：,边界面力：,所求应力：,变换后的问题：,体力：,边界面力：,(1) 当 y

11、 = 0 时，,(2) 当 y = h 时，,(3) 当 y = 2h 时，,所求得的应力：,原问题的应力,常体力下体力与面力转换的优点（好处）：,原问题的求解方程,变换后问题的求解方程,常体力问题,无体力问题,作用：,(1),方便分析计算（齐次方程易求解）。,(2),实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。,注意：,面力变换公式： 与坐标系的选取有关，,因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。,（1）按位移求解基本方程,（2）按应力求解平面问题的基本方程,相容方程,应力表示的相容方程,按应力求解的基本方程,常体力下可以简化：,求解方法？,逆解法与半逆解法,应力函数解法,2

12、022/12/9,ZS,常体力下问题的基本方程：,边界条件、位移单值条件。,(a),(b),式(a)为非齐次方程，其解：,全解 = 齐次方程通解,1、平衡微分方程解的形式,(1) 特解,常体力下特解形式：,+非齐次方程的特解。,(1),(2),(3),(2) 通解,式(a) 的齐次方程：,(c),(d),的通解。,将式(d)第一式改写为,由微分方程理论，必存在一函数 A(x,y)，使得,(e),(f),同理，将式(d)第二式改写为,(g),(h),比较式( f )与(h)，有,也必存在一函数 B(x,y)，使得,由微分方程理论，必存在一函数 (x,y)，使得,(i),(j),将式 (i)、(j

13、) 代入 (e)、(f)、(g)、(h)，得通解,(k), 对应于平衡微分方程的齐次方程通解。,(3) 全解,取特解为：,则其全解为：,(2-26), 常体力下平衡方程（a）的全解。,由式（2-26）看：不管(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。,(x,y) 平面问题的应力函数, Airy 应力函数,2、相容方程的应力函数表示,将式（2-26）代入常体力下的相容方程：,(2-25),有：,注意到体力fx、 fy 为常量，有,将上式展开，有,(2-27), 应力函数表示的相容方程,给出了应力函数满足的条件。,式（2-27）可简记为：,或：,式中：,满足方程(2-27)的函数(x,y) 称为重调

14、和函数（或双调和函数）,结论：,应力函数应为一重调和函数,按应力求解平面问题（fx = 常量、fy = 常量）的归结为：,（1）,(2-27),（2）,然后将 代入式（2-26）求出应力分量：,先由方程（2-27）求出应力函数：,(2-26),（3）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,3. 应力函数 求解方法,(2-28),（无体力情形）,3. 应力函数 求解方法,（1）,逆解法,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设各种满足相容方程（2-27）的(x,y) 的形式；,（2）, 主要适用于简单边界条件的问题。,然后利用应力分量计算式（2-26），

15、求出 （具有待定系数）；,（3）,再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数(x,y) 对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求解什么问题。,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设部分应力分量 的某种函数形式 ；,（2）,根据 与应力函数(x,y)的关系及 ，求出(x,y) 的形式；,（3）,最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。, 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。,第二章小结,2022/12/9,ZS,1.,两类平面问题：,平面应力问题；平面应变问题。,（两类平面问题中基本方程的异同）,2.,平

16、面问题的基本方程：,平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件（位移、应力）。,（几何特点、受力特点、应力或应变特点）,3.,平面问题的求解,（1）,按位移求解平面问题,（2）,按应力求解平面问题,基本方程：,（1）用位移表示的平衡微分方程；,（2）用位移表示的应力边界条件；,（3）边界条件：应力、位移边界条件。,相容方程（形变协调方程）：,（应变表示形式、应力表示形式、应力函数表示。）,应力函数表示的应力分量表达式：,(2-26),常体力下的简化；,应力函数的求解方法：,（逆解法、半逆解法。）,按应力求解平面问题的基本步骤：,（1）,(2-27),（2）,然后将 代入式（2-26）求出应力分量：,先由方程（2-27）求出应力函数：,(2-26),（3）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,按应力求解平面问题的基本步骤：,4.,应力边界条件的列写及圣维南原理的应用.,5.,任意斜面上应力、主应力、主方向；任意方向正应变的计算。,6.,任意斜面上线应变、变形后两线段夹角改变量的计算。,习 题：预习弹性力学简明教程第三章内容,本讲作业,2022/12/9,ZS,下一讲再见！,